數(shù)字信號(hào)的最佳接收教學(xué)

2023/1/121通信原理第10章數(shù)字信號(hào)的最佳接收2023/1/122數(shù)字信號(hào)的最佳接收在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信道的傳輸特性和傳輸過(guò)程中噪聲的存在是影響通信性能的兩個(gè)主要因素。本章要討論的最佳接收，就是研究在噪聲干擾中如何有效地檢測(cè)出信號(hào)。所謂最佳是在某種標(biāo)準(zhǔn)下系統(tǒng)性能達(dá)到最佳，最佳標(biāo)準(zhǔn)也稱(chēng)最佳準(zhǔn)則。因此，最佳接收是一個(gè)相對(duì)的概念，在某種準(zhǔn)則下的最佳系統(tǒng)，在另外一個(gè)準(zhǔn)則下就不一定是最佳的。在數(shù)字通信中，最常采用的最佳準(zhǔn)則是在差錯(cuò)概率最小準(zhǔn)則和輸出信噪比最大準(zhǔn)則。下面我們分別討論在這兩種準(zhǔn)則下的最佳接收問(wèn)題。2023/1/12310.1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有

P(0)+P(1)=1 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號(hào)抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個(gè)抽樣值：，則有k＝2fHTs。2023/1/124數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性由于每個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫(xiě)為 式中，n

－噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；

n2

－噪聲的方差，即噪聲平均功率；

i＝1，2，…，k。設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個(gè)抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為2023/1/125數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性高斯噪聲通過(guò)帶限線(xiàn)性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此k維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為當(dāng)k很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為：或者將上式左端的求和式寫(xiě)成積分式，則上式變成2023/1/126數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性利用上式關(guān)系，并注意到 式中n0

－噪聲單邊功率譜密度 則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫(xiě)為： 式中: n=(n1,n2,…,nk)－

k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。需要注意，f(n)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時(shí)間變量t無(wú)關(guān)。n是一個(gè)k維矢量，它可以看作是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)。2023/1/127數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性在碼元持續(xù)時(shí)間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些則無(wú)錯(cuò)。2023/1/128數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和: r(t)=s(t)+n(t)

則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中:r=s+n—k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽樣值；

s－

k維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。似然函數(shù)2023/1/129數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為以上三式中的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時(shí)間t的函數(shù)，并且是一個(gè)標(biāo)量，而r仍是k維空間中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)矢量。似然函數(shù)2023/1/121010.2數(shù)字信號(hào)的最佳接收在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀(guān)最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯(cuò)概率”產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。判決規(guī)則設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 式中

Pe1=P(0/1)－發(fā)送“1”時(shí)，收到“0”的條件概率；

Pe0=P(1/0)－發(fā)送“0”時(shí)，收到“1”的條件概率；上面這兩個(gè)條件概率稱(chēng)為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。2023/1/1211數(shù)字信號(hào)的最佳接收 按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可以用一個(gè)k維矢量表示。接收設(shè)備需要對(duì)每個(gè)接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是“1”。 由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線(xiàn)畫(huà)在下圖中（在圖中把r當(dāng)作1維矢量畫(huà)出。）： 可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”； 若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)2023/1/1212數(shù)字信號(hào)最佳接收 顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個(gè) 互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū) 域的邊界r0確定后，錯(cuò)誤概率 也隨之確定了。 這樣，總誤碼率可以寫(xiě)為 式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1”時(shí)，矢量落在區(qū)域A0的條件概率；P(A1/0)表示發(fā)送“0”時(shí)，矢量落在區(qū)域A1的條件概率；這兩個(gè)條件概率可以寫(xiě)為： 這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)2023/1/1213數(shù)字信號(hào)最佳接收

將上兩式代入 得到 參考上圖可知，上式可以寫(xiě)為可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分點(diǎn)r0有關(guān)，在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率Pe是劃分點(diǎn)的函數(shù)。不同的r0將有不同的Pe，我們希望選擇一點(diǎn)劃分點(diǎn)使誤碼率達(dá)到最小，這個(gè)劃分點(diǎn)稱(chēng)為最佳劃分點(diǎn)。2023/1/1214數(shù)字信號(hào)最佳接收

為了求出使Pe最小的判決分界點(diǎn)r0，將上式對(duì)r0求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于0， 求出最佳分界點(diǎn)r0的條件：A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)2023/1/1215數(shù)字信號(hào)最佳接收即:當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即P(1)=P(0)時(shí)，f0(r0)=f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)處的r值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量r落在區(qū)域A0應(yīng)判為收到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時(shí)有：若則判為“0”

；反之，若則判為“1”

。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)2023/1/1216數(shù)字信號(hào)最佳接收 在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡(jiǎn)化為：這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱(chēng)為最大似然準(zhǔn)則。其物理概念是，接收到的波形y中，哪個(gè)似然函數(shù)大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。按照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。

若f0(r)>f1(r)，則判為“0”

若f0(r)<f1(r)，則判為“1”2023/1/1217在數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)輸入信號(hào)根據(jù)其特性的不同可以分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是確知信號(hào)，另一類(lèi)是隨參信號(hào)。確知信號(hào)，一個(gè)信號(hào)出現(xiàn)后，它的所有參數(shù)(如幅度、頻率、相位、到達(dá)時(shí)刻等)都是確知的。如數(shù)字信號(hào)通過(guò)恒參信道達(dá)到接收機(jī)輸入端的信號(hào)。隨參信號(hào)，根據(jù)信號(hào)中隨機(jī)參量的不同又可細(xì)分為隨機(jī)相位信號(hào)、隨機(jī)振幅信號(hào)和隨機(jī)振幅隨機(jī)相位信號(hào)(起伏信號(hào))。10.3確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)2023/1/121810.3確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)設(shè)達(dá)到接收機(jī)輸入端的兩個(gè)確知信號(hào)分別為so(t)和s1(t)，它們的持續(xù)時(shí)間為（0，Ts），且有相等的能量，即判決準(zhǔn)則當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為當(dāng)發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為判為“0”判為“1”2023/1/1219確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)若則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若則判為發(fā)送碼元是s1(t)。將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，得到若

則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即所以上式還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。2023/1/1220確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)若則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。式中W0和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子。2023/1/1221最佳接收機(jī)W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比較判決積分器積分器按照上式畫(huà)出的最佳接收機(jī)原理方框圖如下：這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀(guān)察波形y(t)與s0(t)和s1(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，稱(chēng)為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。2023/1/1222r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t=Ts最佳接收機(jī)若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則上式簡(jiǎn)化為最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡(jiǎn)化成2023/1/1223最佳接收機(jī)由上述討論不難推出M進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)上面的最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱(chēng)這種算法為相關(guān)接收法。由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器2023/1/122410.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率若上述條件成立，則判為發(fā)送碼元是s0(t)；在發(fā)送碼元是s1(t)時(shí)，將發(fā)生錯(cuò)誤判決，將r(t)

=s1(t)+n(t)代入ε<a只要求出隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)，即可計(jì)算出上述的值。高斯型隨機(jī)過(guò)程的積分是一個(gè)高斯型隨機(jī)變量。所以ξ是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。P（）2023/1/1225系統(tǒng)總的誤碼率10.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率2023/1/1226在0和1等概的條件下10.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率式中上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對(duì)于給定的噪聲功率，誤碼率僅和兩種信號(hào)碼元波形的差別[s0(t)-s1(t)]的能量有關(guān)，而與波形本身無(wú)關(guān)。差別越大，c值越小，誤碼率Pe也越小。先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)的誤碼率。就誤碼而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。2023/1/1227在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼元的區(qū)別，我們用碼元的相關(guān)系數(shù)來(lái)定量描述碼元區(qū)別：10.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率式中當(dāng)s0(t)=s1(t)時(shí)，＝1，為最大值；當(dāng)s0(t)=-s1(t)時(shí)，＝-1，為最小值。2023/1/1228當(dāng)E0=E1=Eb時(shí)，有10.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率及代入得出化簡(jiǎn)后，得2023/1/1229上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。由上式可以看出：誤碼率和噪聲功率無(wú)直接關(guān)系，和噪聲功率譜密度n0有關(guān)誤碼率和信號(hào)波形無(wú)直接關(guān)系，和Eb及相關(guān)系數(shù)有關(guān)；由互補(bǔ)誤差函數(shù)的性質(zhì)，為了得到最小的誤碼率Pe，就要使Eb(1-)/2n0最大化，當(dāng)信號(hào)能量Eb和噪聲功率譜密度n0一定時(shí)，誤碼率Pe就是互相關(guān)系數(shù)的函數(shù)?；ハ嚓P(guān)系數(shù)愈小，誤碼率也愈小。的取值范圍為

-1≤≤110.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率2023/1/1230當(dāng)=1時(shí)，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率Pe=1/2。當(dāng)=-1時(shí)，誤碼率最小。這時(shí)10.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率—2PSK當(dāng)=0時(shí)，為正交信號(hào)，這時(shí)—2FSK當(dāng)E0=0，E1=Eb時(shí)—2ASK2023/1/123110.4確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率2ASK信號(hào)的性能比2FSK信號(hào)差3dB，而2FSK信號(hào)又比2PSK信號(hào)差3dB。實(shí)際相當(dāng)于接收信號(hào)噪聲功率比在第五章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能分析中我們知道，雙極性信號(hào)的誤碼率低于單極性信號(hào)，其原因之一就是雙極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)

=-1，而單極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)

=0。2023/1/123210.5隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收假設(shè)：

2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)；通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。因此，可以將此信號(hào)表示為：

及將此信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度表示為：2023/1/1233隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有

在討論確知信號(hào)的最佳接收時(shí)，對(duì)于先驗(yàn)概率相等的信號(hào)，按照下式條件作判決： 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f0(r)<f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件.2023/1/1234隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收 最終的判決條件： 若接收矢量r使M12<M02，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使M02<M12，則判為發(fā)送碼元是“1”。 其中： 按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)示于下圖中。2023/1/1235隨相信號(hào)最佳接收機(jī)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)相關(guān)器平方cos0t相加相關(guān)器平方sin0t相關(guān)器平方cos1t相加相關(guān)器平方sin1t比較r(t)Y0X1Y1X02023/1/1236起伏信號(hào)：包絡(luò)隨機(jī)起伏、相位隨機(jī)變化的信號(hào)設(shè)：信號(hào)－2FSK調(diào)制、等能量、等先驗(yàn)概率、

相位的概率密度服從均勻分布； 噪聲－帶限高斯白噪聲信號(hào)表達(dá)式10.6起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收A0和A1服從同一瑞利分布0和1的概率密度服從均勻分布：均方值2023/1/1237判決規(guī)則：同前 若接收矢量r使f1(r)<f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f1(r)>f0(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。10.6起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收現(xiàn)在誤碼率計(jì)算結(jié)果式中，E為接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量2023/1/1238衰落對(duì)2FSK信號(hào)誤碼率的影響： 由圖可見(jiàn)，當(dāng)誤碼率等于10-2時(shí)，衰落使性能下降約10dB； 當(dāng)誤碼率等于10-3時(shí)，下降約20dB。 即，在有衰落時(shí)，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。10.6起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收2023/1/1239相干2ASK信號(hào)非相干2ASK信號(hào)相干2FSK信號(hào)非相干2FSK信號(hào)相干2PSK信號(hào)差分相干2DPSK信號(hào)同步檢測(cè)2DPSK信號(hào)10.7實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較實(shí)際接收機(jī)的Pe最佳接收機(jī)的Pe2023/1/1240兩種結(jié)構(gòu)形式的接收機(jī)誤碼率表示式具有相同的數(shù)學(xué)形式，實(shí)際接收機(jī)的信噪比r=S/N與最佳接收機(jī)中的能量噪聲功率譜密度之比Eb/n0相對(duì)應(yīng)。我們來(lái)分析r與Eb/n0之間的關(guān)系。我們知道，實(shí)際接收機(jī)輸入端總是有一個(gè)帶通濾波器，其作用主要有兩個(gè)：一是使輸入信號(hào)順利通過(guò)；二是使噪聲盡可能少的通過(guò)，以減少噪聲對(duì)信號(hào)檢測(cè)的影響。信噪比r=S/N是指帶通濾波器輸出端的信噪比。設(shè)噪聲為高斯白噪聲，單邊功率譜密度為n0，帶通濾波器的等效矩形帶寬為B，則帶通濾波器輸出端的信噪比為10.7實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較r與帶通濾波器帶寬B有關(guān)2023/1/1241對(duì)于最佳接收系統(tǒng)，接收機(jī)前端沒(méi)有帶通濾波器，其輸入端信號(hào)能量與噪聲功率譜密度之比為

S為信號(hào)平均功率，T為碼元時(shí)間寬度。對(duì)系統(tǒng)性能的比較最終可歸結(jié)為對(duì)實(shí)際接收機(jī)帶通濾波器帶寬B與碼元時(shí)間寬度T的比較。1/T是基帶數(shù)字信號(hào)的重復(fù)頻率，對(duì)于2PSK等數(shù)字調(diào)制信號(hào)，1/T的寬度等于2PSK信號(hào)頻譜主瓣寬度的一半。若選擇帶通濾波器的帶寬B≤1/T，則必然會(huì)使信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重的失真。這表明，為使信號(hào)順利通過(guò)，帶通濾波器的帶寬必須滿(mǎn)足B>1/T。在此情況下，實(shí)際接收機(jī)性能比最佳接收機(jī)差。10.7實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較2023/1/124210.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是重要部件之一，作用有兩個(gè)方面，第一使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)；第二抑制信號(hào)帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對(duì)信號(hào)判決的影響。通常對(duì)最佳線(xiàn)性濾波器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則：一種是使濾波器輸出的信號(hào)波形與發(fā)送信號(hào)波形之間的均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線(xiàn)性濾波器稱(chēng)為維納濾波器；另一種使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大，由此而導(dǎo)出的最佳線(xiàn)性濾波器稱(chēng)為匹配濾波器。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。2023/1/124310.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，只取決于抽樣時(shí)刻信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯(cuò)誤判決的概率就越小。當(dāng)選擇濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，就為輸出信噪比最大的最佳線(xiàn)性濾波器。假設(shè)條件：接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時(shí)間為T(mén)s，信號(hào)和噪聲之和r(t)為 式中，s(t)－信號(hào)碼元，

n(t)－高斯白噪聲；并設(shè)信號(hào)碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f)=n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。2023/1/1244輸出電壓假定濾波器是線(xiàn)性的，根據(jù)線(xiàn)性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào)so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即 式中2023/1/1245輸出功率輸出噪聲功率由這時(shí)的輸出噪聲功率No等于輸出信噪比在抽樣時(shí)刻t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為在輸入信號(hào)給定的情況下，輸出信噪比只與傳輸函數(shù)有關(guān)2023/1/1246匹配濾波器的傳輸特性利用施瓦茲不等式求r0的最大值若其中k為任意常數(shù)，則上式的等號(hào)成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有式中

帕塞瓦爾定理2023/1/1247匹配濾波器 而且當(dāng) 時(shí)，上式的等號(hào)成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。 上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號(hào)碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外），故稱(chēng)此濾波器為匹配濾波器。2023/1/1248匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)：

由上式可見(jiàn)，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)s(t)的鏡像s(-t)，但在時(shí)間軸上（向右）平移了t0，t0為輸出最大信噪比的時(shí)刻。2023/1/1249000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)圖解2023/1/1250實(shí)際的匹配濾波器一個(gè)實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有： 即要求滿(mǎn)足條件 或滿(mǎn)足條件 上式的條件說(shuō)明，接收濾波器輸入端的信號(hào)碼元s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0=Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫(xiě)為2023/1/1251匹配濾波器輸出

這時(shí)，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號(hào)碼元的波形為： 上式表明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個(gè)任意常數(shù)，它與r0的最大值無(wú)關(guān)；通常取k＝1。2023/1/1252匹配濾波器例【例10.1】設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表示式為

試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形。

【解】上式所示的信號(hào)波形是一個(gè)矩形脈沖，如下圖所示。 其頻譜為 由 令k=1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 由 令k=1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為tTss(t)12023/1/1253匹配濾波器例

此沖激響應(yīng)示于下圖。 表面上看來(lái)，h(t)的形狀和信號(hào)s(t)的形狀一樣。實(shí)際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t=Ts/2為軸線(xiàn)反轉(zhuǎn)而來(lái)。由于s(t)的波形對(duì)稱(chēng)于t=Ts/2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。 由式 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號(hào)波形如下：

tTsh(t)1tTsso(t)2023/1/1254匹配濾波器例 由其傳輸函數(shù) 可以畫(huà)出此匹配濾波器的方框圖如下： 因?yàn)樯鲜街械?1/j2f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時(shí)間為T(mén)s的延遲電路的傳輸函數(shù)。延遲Ts理想積分器＋－2023/1/1255【例10.2】設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表達(dá)式為匹配濾波器例試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出波形?！窘狻縮(t)的頻譜密度為故匹配濾波器的傳輸函數(shù)為2023/1/1256此匹配濾波器的沖激響應(yīng)：為了便于畫(huà)出簡(jiǎn)圖，令式中，n為正整數(shù)，上式可化簡(jiǎn)為匹配濾波器的輸出波形可以由如下卷積得到匹配濾波器例由于s(t)和h(t)在區(qū)間(0,T)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算2023/1/1257計(jì)算結(jié)果如下：匹配濾波器例(a)信號(hào)波形(b)沖激響應(yīng)2023/1/1258用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路方框圖10.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法匹配濾波器1匹配濾波器2抽樣判決抽樣t=Tt=T輸入輸出上面的討論中對(duì)于信號(hào)波形從未涉及，也就是說(shuō)最大輸出信噪比與信號(hào)波形無(wú)關(guān)，只決定于信號(hào)能量E與噪聲功率譜密度n0之比，所以這種匹配濾波法對(duì)于任何一種數(shù)字信號(hào)波形都適用，不論是數(shù)字基帶信號(hào)還是已調(diào)信號(hào)。2023/1/1259現(xiàn)在證明匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最佳接收時(shí)理論上能達(dá)到的最高輸出信噪比：匹配濾波器輸出電壓波形y(t)可以寫(xiě)成在抽樣時(shí)刻Ts，輸出電壓等于可以看出，式中的積分是相關(guān)運(yùn)算，即將輸入r(t)與s(t)作相關(guān)運(yùn)算，而后者是和匹配濾波器匹配的信號(hào)，它表示只有輸入電壓r(t)=s(t)+n(t)時(shí)，在時(shí)刻t=Ts才有最大的輸出信噪比。10.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法2023/1/1260用上述相關(guān)運(yùn)算代替匹配濾波器得到下列框圖。匹配濾波法和相關(guān)接收法完全等效，都是最佳接收方法。10.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法相乘相乘積分積分抽樣判決抽樣判決比較s0(t)s1(t)x(t)t=Tt=T相關(guān)接收法判決準(zhǔn)則：2023/1/1261【解】根據(jù) 此信號(hào)碼元通過(guò)相關(guān)接收器后，輸出信號(hào)波形等于10.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法【例10.3】設(shè)有一個(gè)信號(hào)碼元如例10.2中所給出的s(t)。試比較它分別通過(guò)匹配濾波器和相關(guān)接收器時(shí)的輸出波形。上式中，假定f0很大，故結(jié)果近似等于t/2，即與t成正比。2023/1/126210.8數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法輸出波形： 只有當(dāng)t=T時(shí)，兩者的抽樣值才相等。匹配濾波器輸出相關(guān)器輸出圖10-15匹配濾波和相關(guān)接收比較2023/1/1263匹配濾波器的實(shí)際應(yīng)用匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)該和信號(hào)波形s(t)嚴(yán)格匹配，包括對(duì)相位也有要求。對(duì)于確知信號(hào)的接收，這是可以做到的。對(duì)于隨相信號(hào)而言，就不可能使信號(hào)的隨機(jī)相位和h(t)的相位匹配。但是，匹配濾波器還是可以用于接收隨相信號(hào)的。下面就對(duì)此作進(jìn)一步的分析。設(shè)匹配濾波器的特性仍如例10.2所給出：并設(shè)此匹配濾波器的輸入是r(t)，則此濾波器的輸出y(t)由卷積公式求出為：2023/1/1264匹配濾波器的實(shí)際應(yīng)用由上式看出，當(dāng)t=Ts時(shí)，y(t)的包絡(luò)和10.5節(jié)隨相信號(hào)最佳接收判決條件式中的M0和M1形式相同。所以，按照10.5節(jié)隨相信號(hào)最佳接收時(shí)的判決準(zhǔn)則比較M0和M1，就相當(dāng)于比較上式的包絡(luò)。式中2023/1/1265匹配濾波器的實(shí)際應(yīng)用在此圖中，有兩個(gè)匹配濾波器，其特性分別對(duì)二進(jìn)制的兩種碼元匹配。匹配濾波器的輸出經(jīng)過(guò)包絡(luò)檢波，然后作比較判決。由于起伏信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號(hào)的相同，所以上圖同樣適用于對(duì)起伏信號(hào)作最佳接收。匹配濾波器f0包絡(luò)檢波器比較判決匹配濾波器f1包絡(luò)檢波器t=TsM0M1r(t)y0(t)y1(t)因此，10.5節(jié)中的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)圖可以改成如下圖所示的結(jié)構(gòu)：2023/1/1266最佳接收機(jī)的性能不僅與接收機(jī)結(jié)構(gòu)有關(guān)而且與發(fā)送端所選擇的信號(hào)形式有關(guān)。因此，僅僅從接收機(jī)考慮使得接收機(jī)最佳，并不一定能夠達(dá)到使整個(gè)通信系統(tǒng)最佳。這一節(jié)，我們將發(fā)送、信道和接收作為一個(gè)整體，從系統(tǒng)的角度出發(fā)來(lái)討論通信系統(tǒng)最佳化的問(wèn)題。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們以基帶傳輸系統(tǒng)為例進(jìn)行分析。10.9最佳基帶傳輸系統(tǒng)2023/1/1267基帶傳輸系統(tǒng)10.9最佳基帶傳輸系統(tǒng)發(fā)送濾波器信道接收濾波器抽樣判決噪聲GR(f)C(f)GT(f)基帶總傳輸函數(shù)：H(f