定積分的應(yīng)用舉例

第四節(jié)定積分的應(yīng)用舉例

一、定積分的元素法二、平面圖形的面積三、體積四、平面曲線的弧長(zhǎng)五、定積分的其他應(yīng)用

一

一、

定積分的元素法由第一節(jié)的實(shí)例（曲邊梯形面積和變力作功）分析可見(jiàn)，用定積分表達(dá)某個(gè)量分為四個(gè)步驟：

第一步，分割.把所求的量分割成許多部分量，這需要選擇一個(gè)被分割的變量和被分割的區(qū)間。例如，對(duì)曲邊梯形面積A，選擇曲邊中的自變量作為被分割的變量，被分割的區(qū)間是。對(duì)變力所作的功W，選擇質(zhì)點(diǎn)位置作為被分割變量，被分割區(qū)間是質(zhì)點(diǎn)的位移區(qū)間。

第二步，近似?？疾烊我恍^(qū)間上的部分量近似值。對(duì)曲邊梯形面積，在小區(qū)間上，用直線代替曲線，即以小矩形面積代替小曲邊梯形面積，得。對(duì)變力作功，在小位移區(qū)間上用常力代替變力，得的部分量，類(lèi)似地，部分量的近似值也應(yīng)表成的形式。第三步，求和。。第四步，逼近。取極限得實(shí)用上通常把上列四個(gè)步驟簡(jiǎn)化成三步，其步驟如下：

第一步，選變量。選取某個(gè)變量x作為被分割的變量，它就是積分變量，并確定x的變化范圍，它就是被分割的區(qū)間，也就是積分區(qū)間。第二步，求微元。設(shè)想把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，其中任意一個(gè)小區(qū)間用表示，小區(qū)間的長(zhǎng)度，所求的Q量對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的部分量記作。并取，求出部分量的近似值。

近似值稱(chēng)為Q的微元（或元素），記作，。這里我們指出（但不作證明），作為的近似值，其誤差應(yīng)是小區(qū)間長(zhǎng)度的高階無(wú)窮小，即應(yīng)滿足第三步，列積分。以量Q的微元為被積表達(dá)式，在上積分，便得所求量Q，即

上述把某個(gè)量表達(dá)為定積分的簡(jiǎn)化方法稱(chēng)為定積分的元素法，下面我們將應(yīng)用這一方法來(lái)討論一些問(wèn)題。二、平面圖形的面積

例1

求由拋物線與直線圍成的圖形的面積。解畫(huà)出圖形如圖6-11，聯(lián)立曲線方程c：解出它們的交點(diǎn)。

選擇積分變量為橫坐標(biāo)x，積分區(qū)間為，對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的窄條面積的近似值，即面積微元，即陰影部分小矩形的面積，于是與x軸所圍圖形面積為

例2

求橢圓周?chē)菆D形的面積。

解

由對(duì)稱(chēng)性知，所求面積是第一象限部分的面積的4倍。選積分變量x，積分區(qū)間為，對(duì)應(yīng)于中任一小區(qū)間（圖6-12）的窄條面積近似為于是橢圓面積為用換元法計(jì)算這個(gè)積分，設(shè)

yOxx+dx圖6-12xya-ab例3

求由拋物線于是所圍區(qū)域面積為：解由聯(lián)立方程解得兩曲線的交點(diǎn)為（4，—2）和（1,1），如圖6-13，選擇y為積分變量，積分區(qū)間為，考察任一小區(qū)間上一個(gè)窄條的面積，用寬為，高為的小矩形面積近似，即得面積微元為，如平面圖形是由曲線則其面積可對(duì)y積分得到圍成,如圖6-14，則其面積可對(duì)x積分得到一般的，若平面圖形是由曲線Ox圖6-14yab三、體積1、旋轉(zhuǎn)體體積由連續(xù)曲線及x軸圍成的曲邊梯形，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，如圖6-15所示，現(xiàn)在討論它的體積V的計(jì)算方法。用垂直于x軸的平面截旋轉(zhuǎn)體，所得截面都是圓，其面積為?，F(xiàn)在我們用垂直于x軸的平行平面，把旋轉(zhuǎn)體分割成n個(gè)小旋轉(zhuǎn)體，即選擇x為積分變量，積分區(qū)間為.考慮小區(qū)間上小旋轉(zhuǎn)體的體積，用以半徑為的圓為底，高為的圓柱體體積作為近似，即得體積微元于是，旋轉(zhuǎn)體的體積為abOx圖6-15yx圖6-16(b)yxOxx+dx(a)解（1）取x為積分變量，積分區(qū)間為，對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的小旋轉(zhuǎn)體體積為，用小矩形（如圖6-16（a）中陰影部分），繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的小圓柱體（如圖6-16（b）體積作為近似，即得體積微元于是，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為

（2）取y為積分變量，積分區(qū)間為，對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的小旋轉(zhuǎn)體體積為，用圖6-17（a）中陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)（如圖6-17（b）中所示）所得的空心圓柱體體積作為近似，而空心圓柱體體積等于以dy為高、半徑為1的圓柱體體積減半徑為的圓柱體體積，即得體積微元為于是，繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為2．平行截面面積為已知的立體體積對(duì)于一般的空間立體，如果它與某一軸線（如x軸）x相垂直的平面的截面面積是一已知的連續(xù)函數(shù)，如圖6-18，那么，根據(jù)元素，可取體積微元為于是，空間立體的體積為圖6-18xOab例5

設(shè)底面半徑為a的圓柱體，被過(guò)圓柱底面直徑AB且與地面成角的平面所截，求截下的楔形體的體積（如圖6-19）

解:取坐標(biāo)系如圖6-19所示，過(guò)任一點(diǎn)x，作垂直于x軸的截面，截面都是直角三角形，其面積為yxOABa-aRPQ選x為積分變量，積分區(qū)間為，與小區(qū)間對(duì)應(yīng)的體積，所以楔形體的體積為五、定積分的其他應(yīng)用

1、變力沿直線所作的功

例6設(shè)在O點(diǎn)放置一個(gè)帶電量為+q的點(diǎn)電荷，由物理學(xué)知，電荷周?chē)妶?chǎng)會(huì)對(duì)其他帶電體產(chǎn)生作用力，今有一單位正電荷被從A點(diǎn)沿直線OA方向移至B點(diǎn)，求電場(chǎng)力對(duì)它作的功.

解取過(guò)點(diǎn)O，A的直線為軸，OA的方向?yàn)檩S的正方向，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為。由物理學(xué)知，單位正電荷在點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為微元素功為于是從a到b所做的功為

例7

設(shè)有一直徑為8m的半球形水池，盛滿水，若將池中的水抽干，問(wèn)至少需做多少功？

其所受重力

解建立直角坐標(biāo)系，如圖6-24，池壁與xOy平面的交線為半圓周取x為積分變量，與小區(qū)間對(duì)應(yīng)的是厚度為dx的一層水，這層水的體積

其中水的密度重力加速度把這層水抽出，至少需提升x（單位：m）距離，故需作功至少為Oxxydx圖6-24因此，把水抽干需作的功至少為2．水壓力

例8

設(shè)有一等腰三角形閘門(mén)，垂直至于水中，底邊與水面相齊，已知閘門(mén)底邊長(zhǎng)為a（單位：m）,高為h(單位：m),

試求閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力。解建立坐標(biāo)系如圖6-25，則三角形的一條腰的方程是yxOxx+dxh圖6-25其上的壓強(qiáng)近似等于gx(kN/㎡),g為重力加速度，故其上所受的水壓力因?yàn)閴簭?qiáng)與水深成正比，同一深度的壓強(qiáng)是相同的，于是將閘門(mén)水平分割成小橫條，即取變量x為積分變量，對(duì)應(yīng)小區(qū)間閘門(mén)上有高為dx

的小條，其面積于是整個(gè)閘門(mén)所受的水壓力為例9某建筑工程打地基時(shí)，常需要用汽錘將樁打進(jìn)土層，汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力做功。設(shè)土層對(duì)樁的阻力大小與被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k，k>0），汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a（m），根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打所做的功與前一次擊打所做的功之比為常數(shù)r（0<r<1）.求（1）汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？

解（1）這是一個(gè)定積分中用元素法求做功問(wèn)題,屬于定積分在物理應(yīng)用問(wèn)題。根據(jù)題意知阻力為，其中為汽錘將樁打入地下的深度，設(shè)表