微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

中值定理

洛必達(dá)法則泰勒公式導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理

第一節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解羅爾定理掌握拉格朗日中值定理及其推論◆羅爾定理RolleTheorem(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)滿足：羅爾定理的幾何意義連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB除端點(diǎn)外處處具有不垂直x軸的切線，且兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，則曲線弧上至少存在一點(diǎn)C，使得曲線在該點(diǎn)處的切線是水平的.xy◆羅爾定理的證明證明因為函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，所以函數(shù)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m.如果M=m，則則在區(qū)間內(nèi)部的任何點(diǎn)處，都有如果m<M，則在區(qū)間內(nèi)部至少有一點(diǎn)，使得不妨設(shè)則所以例1

驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理，并求出定理中的值。解因為函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且所以，函數(shù)在上滿足羅爾定理而令得所以，即為所求的點(diǎn)?！衾窭嗜罩兄刀ɡ韑agrangeTheorem若函數(shù)滿足：

(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)；xy幾何意義:連續(xù)曲線y=f(x)的弧AB除端點(diǎn)外處處有不垂直x軸的切線，則弧上至少至少存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線平行弦AB?！衾窭嗜斩ɡ淼淖C明證明作輔助函數(shù)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且所以由Rolle定理，可知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即所以，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那末f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)證明則由拉格朗日中值公式，得在由已知條件可知：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)所以◆拉格朗日中值定理在微分學(xué)中的重要性

拉格朗日中值定理公式：此公式給出了當(dāng)自變量取得有限增量△x(不一定很小)時,函數(shù)增量△y的準(zhǔn)確表達(dá)式.拉格朗日中值定理也稱為微分中值定理即在由與構(gòu)成的區(qū)間上應(yīng)用，則有由Lagrange中值定理可知例2解因為所以即所以即為所求。練習(xí)解答例3

證明證明令則在內(nèi)滿足Lagrange中值定理而