邏輯學(xué)課程課件第九章證明與反駁

(邏輯學(xué)課程課件）第九章證明與反駁證明論題論題是要證明其真實(shí)性的命題。對論題所提的問題是：“證明什么？”論題標(biāo)志證明的目的、宗旨，是立論者所要解決解決的問題、所提出的主張，是證明的所在、證明之處、證明之點(diǎn)（論點(diǎn)）。論題通常在證明的開頭提出，在證明的末尾歸結(jié)。標(biāo)志論題的聯(lián)結(jié)詞，有“所以”、“因此”、“因而”、“那么”、“于是”、“由此可見”、“如此說來”、“這說明”、“這表明”、“這證明”等。論題是已被或尚未被實(shí)踐或理論證明為真的命題。真實(shí)的論題，來源于人們對事物的正確認(rèn)識。證明論據(jù)論題是用以證明論題真實(shí)性的命題。對論據(jù)所提的問題是：“用什么證明？”論據(jù)是論題賴以成立的理由、根據(jù)。論據(jù)應(yīng)該具有真實(shí)、關(guān)聯(lián)和獨(dú)立三種性質(zhì)，它們是建立有效證明的前提和先決條件。標(biāo)志論據(jù)的聯(lián)結(jié)詞，有“因?yàn)椤薄ⅰ坝捎凇?、“由此可知”等。事?shí)論據(jù)理論論據(jù)反映事物實(shí)際情況的命題已被證明為真的科學(xué)命題，如科學(xué)中的公理、定義、定理、原理等。證明證明方式證明方式，是論據(jù)和論題的聯(lián)系方式，由論據(jù)導(dǎo)出論題的推理形式。對證明方式所提的問題是：“怎樣證明？”證明方式，是證明的骨骼、脈絡(luò)和結(jié)構(gòu)。證明方式是論題賴以成立的思路、條理，是證明過程所運(yùn)用的推理的總和。二、證明的特征和作用（一）證明和推理證明推理聯(lián)系區(qū)別證明和推理的聯(lián)系因?yàn)樗姓x的事業(yè)都是一定要勝利的推理大前提并且我們的事業(yè)是正義的事業(yè)小前提所以，我們的事業(yè)是一定要勝利的結(jié)論我們的事業(yè)是一定要勝利的證明論題因?yàn)槲覀兊氖聵I(yè)是正義的事業(yè)論據(jù)1而所有正義的事業(yè)都是一定要勝利的論據(jù)2證明和推理的聯(lián)系證明推理論據(jù)前提論題結(jié)論證明方式推理形式證明和推理的區(qū)別第一，思維進(jìn)程不同。證明是確認(rèn)論題的真實(shí)性，其思維進(jìn)程是提出論題，后為論證論題的真實(shí)性而尋找論據(jù)，是論題在先，論據(jù)在后。推理是由已知前提，推出未知結(jié)論，其思維進(jìn)程是先前提，后結(jié)論。第二，對前提（論據(jù)）真實(shí)性的要求不同。一個正確的證明，其論據(jù)必須是真實(shí)的；一個正確的推理，其前提不必須是真實(shí)的。例如：所有的金屬都是不導(dǎo)電的。鐵是金屬。——————————————所以，鐵是不導(dǎo)電的。這一表述，作為推理是正確的，是三段論第一格的AAA式，是正確式。但作為證明是不正確的，因?yàn)樗拇笄疤崽摷?。第三，目的不同。論證的目的，是證明真理，由論據(jù)導(dǎo)出論題真。推理的目的是發(fā)現(xiàn)真理，由已知推出未知。（二）論證性和說服力論證性說服力正相關(guān)指證明中論題、論據(jù)的真實(shí)性和論據(jù)對論題的支持程度。指一個證明使人信服的力量。使人信服，需要采用理由充分的證明。（三）證明的作用（四）邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)第一，證明是建構(gòu)科學(xué)體系的工具。第二，證明是傳播科學(xué)真理的手段。邏輯證明實(shí)踐檢驗(yàn)聯(lián)系區(qū)別三、證明的種類證明依據(jù)證明方式所運(yùn)用的推理類型按照論據(jù)導(dǎo)出論題的直接性和間接性演繹證明歸納證明運(yùn)用完全歸納推理的證明運(yùn)用不完全歸納推理的證明運(yùn)用科學(xué)歸納推理的證明直接證明間接證明反證法選言法（一）演繹證明和歸納證明演繹證明演繹證明的方式，是演繹推理形式，其論據(jù)是一般原理，論題的一般性較弱于論據(jù)。所有演繹推理的有效式，都可以用來進(jìn)行演繹證明。在數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯等精密科學(xué)中，用公理方法，從初始概念和公理出發(fā)，用演繹推理引申出一系列定理，構(gòu)成公理系統(tǒng)。演繹證明運(yùn)用演繹推理形式，其論據(jù)蘊(yùn)涵論題，論據(jù)真則論題必然真，推論形式有必然性，有足夠強(qiáng)的論證性和說服力，是證明的主要形式。歸納證明運(yùn)用完全歸納推理的證明運(yùn)用不完全歸納推理的證明運(yùn)用科學(xué)歸納推理的證明運(yùn)用完全歸納推理的證明，論據(jù)蘊(yùn)涵論題，論據(jù)真則論題必然真，論證方式有必然性，有足夠強(qiáng)的論證性和說服力。歸納證明運(yùn)用完全歸納推理的證明運(yùn)用不完全歸納推理的證明運(yùn)用科學(xué)歸納推理的證明運(yùn)用不完全歸納推理（簡單枚舉歸納推理）的證明。運(yùn)用不完全歸納推理的證明，論據(jù)不蘊(yùn)涵論題，論據(jù)真則論題不必然真，證明方式有或然性。

不完全歸納推理不是證明的主要形式，是證明的輔助形式，但它對認(rèn)識發(fā)展有重要價值，是進(jìn)一步進(jìn)行科學(xué)研究的基礎(chǔ)。歸納證明運(yùn)用完全歸納推理的證明運(yùn)用不完全歸納推理的證明運(yùn)用科學(xué)歸納推理的證明運(yùn)用科學(xué)歸納推理的證明?？茖W(xué)歸納推理是不完全歸納推理（簡單枚舉歸納推理）和演繹推理兩種成分的結(jié)合。（二）直接證明和間接證明直接證明間接證明反證法選言法是從正面尋找事實(shí)論據(jù)或理論論據(jù)，直接導(dǎo)出論題真的論證方式。上面列舉的演繹證明和歸納證明，都是屬于直接證明。是由確定與原論題相關(guān)的其他論題假，從而間接導(dǎo)出原論題真的證明方式。分為反證法和選言法兩種。由確定與原論題相矛盾的論題假，根據(jù)排中律，導(dǎo)出原論題真的間接證明方式。其公式為：求證：P證明：①設(shè)非P真。②如果非P，那么Q。非Q。所以，非非P（充分條件假言推理否定后件式），即非P假。③據(jù)排中律，由非P假，得出P真。間接證明反證法選言法采用選言推理否定肯定式，否定與原論題并列的其他可能，從而肯定原論題的間接證明方式，又叫排除法、淘汰法、汰證法。其公式為：求證：P證明：或P或Q或R……（窮盡可能）非Q，并且非R

——————————————所以，P。（選言推理否定肯定式）如：一房間主人慘死在木椅上，福爾摩斯斷定為謀殺，醫(yī)生卻不明白：其推理式為：或從屋頂?shù)亩催M(jìn)來，或從門進(jìn)來，或從窗戶進(jìn)來，或從煙囪進(jìn)來，或預(yù)先藏在屋里。不從門進(jìn)來，不從窗戶進(jìn)來，不從煙囪進(jìn)來，不預(yù)先藏在屋里?！?，從屋頂?shù)亩催M(jìn)來。四、證明的規(guī)則（一）關(guān)于論題的規(guī)則１論題應(yīng)明確論題含混的錯誤論題明確，即充當(dāng)論題的命題，有明確的意義，從而有效地確定論題的真實(shí)性，增強(qiáng)議論的論證性和說服力。如果論題不明確，充當(dāng)論題的命題，沒有明確的意義，則使證明缺乏明確的方向，不能有效地確定論題有真實(shí)性，議論就缺乏論證性、說服力。如一次哲學(xué)課，老師提出一個討論題“唯心主義是否反映客觀存在”，讓學(xué)生討論。有的學(xué)生說：“唯心主義不反映客觀存在。因?yàn)槲ㄐ闹髁x主張意識第一性，物質(zhì)第二性，意識不是客觀存在的反映。”有的學(xué)生說：“唯心主義反映客觀存在。因?yàn)槿魏嗡枷攵际谴嬖诘姆从常ㄐ闹髁x是思想，當(dāng)然也反映存在。”引起激烈爭論，難以得到統(tǒng)一認(rèn)識。這是因?yàn)檎擃}不明確，使人對其產(chǎn)生不同的理解。２論題應(yīng)同一即證明始終圍繞著同一個論題來進(jìn)行，這樣才能保證中心確定，首尾一貫，這是同一律在證明中的表現(xiàn)，是增強(qiáng)議論論證性的必要一環(huán)。論題含混的錯誤證明過多證明過少“顧左右而言他”“答非所問”和“問非所答”在證明過程中，實(shí)際證明的論題，比原論題斷定更多，就犯“論證過多”的邏輯錯誤。如有位哲學(xué)家，為了反對“把思維中想象的東西當(dāng)作客觀存在的事實(shí)”的唯心主義觀點(diǎn)，提出論題“思維和存在不是等同的”，而實(shí)際證明的論題，卻是“思維和存在沒有任何同一性”?！八季S和存在沒有任何同一性”的斷定，除包括“思維和存在不是等同的”含義之外，又包括“思維和存在不是互相聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的”其他含義，這就犯了“證明過多”的邏輯錯誤。事實(shí)上，根據(jù)辯證唯物主義的觀點(diǎn)，“思維和存在不是等同的”是真命題，“思維和存在沒有任何同一性”是假命題。論題含混的錯誤證明過多證明過少“顧左右而言他”“答非所問”和“問非所答”在證明過程中，實(shí)際證明的論題，比原命題斷定更少，就是“證明過少”的錯誤。論題含混的錯誤證明過多證明過少“顧左右而言他”“答非所問”和“問非所答”孟子和齊宣王有一段對話。孟子第一次提問：“王有臣把妻子兒女托付給朋友照顧，自己到楚國旅游，等他回來，妻子兒女在挨餓受凍，對這樣的朋友，該怎么辦？”齊宣王答：“絕交?！钡诙翁釂枺骸巴醯乃痉ü俨荒芄芾砗孟录墸撛趺崔k？”齊宣王答：“撤職?！钡谌翁釂枺骸罢麄€齊國治理得不好，該怎么辦？”這是個針對齊宣王本人的問題。以此，齊宣王的態(tài)度是“顧左右而言他”（《孟子?梁惠王下》）。“顧左右而言他”，表示對話中違反“論題應(yīng)同一”規(guī)則的要求，犯“轉(zhuǎn)移論題”的邏輯錯誤。論題含混的錯誤證明過多證明過少“顧左右而言他”“答非所問”和“問非所答”在對話中，對所提問題“答非所問”，回答驢唇不對馬嘴，文不對題，違反“論題應(yīng)同一”規(guī)則的要求，犯“轉(zhuǎn)移論題”的邏輯錯誤。從前有人花錢買了一個小官，上任后見上司，有一段話：

（二）關(guān)于論據(jù)的規(guī)則１論據(jù)應(yīng)真實(shí)證明的目的，就是由論據(jù)的真實(shí)，導(dǎo)出論題的真實(shí)。只有引用真實(shí)的論據(jù)，用事實(shí)和真理論證論題，才能達(dá)到證明的目的，議論才有論證性和說服力。亞里士多德說：“作為證明知識出發(fā)點(diǎn)的前提必須是真實(shí)的、首要的、直接的，是先于結(jié)果、比結(jié)果更容易了解的，并且是結(jié)果的原因?！保ā逗蠓治銎?，71b）如果證明違反“論據(jù)應(yīng)真實(shí)”的規(guī)則，犯“論據(jù)虛假”的錯誤，論題的真實(shí)性就失去可靠的基礎(chǔ)，論題就不能得到證明，就沒有說服力。例如：1985年4月，英國國防部軍法部門起訴7名英國士兵犯叛國罪，充當(dāng)克格勃間諜，兩年內(nèi)出賣軍事情報(bào)數(shù)百份。經(jīng)英國中央刑事法院調(diào)查審理，判定起訴罪名不成立，因查無實(shí)據(jù)，如所謂“操縱這一間諜小組的克格勃少校阿列克謝?康士坦丁”，原是查不出問題的塞浦路斯警察等，證明這是由“論據(jù)虛假”導(dǎo)致的冤假錯案。２論據(jù)的真實(shí)性應(yīng)是已知的論據(jù)的真實(shí)性應(yīng)是已知的，已經(jīng)被確證為真的，而不能是想象真、期望真的。違反這一規(guī)則的邏輯錯誤，是“預(yù)期理由”，又叫“竊取論據(jù)”、“想當(dāng)然論據(jù)”、“以未經(jīng)證明的假定作論據(jù)”、“反應(yīng)該證明的東西當(dāng)作前提”。昆劇《十五貫》寫肉商尤葫蘆本金15貫，深夜醉歸，賭徒婁阿鼠圖財(cái)殺死尤葫蘆，嫁禍尤的養(yǎng)女蘇戍娟和過路店員熊友蘭，無錫知縣過于執(zhí)，錯判蘇、熊通奸謀殺尤葫蘆死罪。過于執(zhí)的證明是：“看她艷如桃李，豈能無人勾引？年正青春，怎會冷若冰霜？她與奸夫情投意合，自然要生比翼雙飛之意。父親攔阻，因之殺其父而盜其財(cái)。此乃人之常情。這案情就是不問，也已明白十之八九的了?！边@是用“預(yù)期理由”造成的冤假錯案。３論據(jù)的真實(shí)性應(yīng)獨(dú)立于論題論據(jù)的真實(shí)性應(yīng)獨(dú)立于論題，即論據(jù)真實(shí)性的證明，不能依賴于論題，不能把論題作為證明論據(jù)真實(shí)性的理由。論據(jù)的作用，是證明論題的真實(shí)性，如果論據(jù)的真實(shí)性還要依靠論題來證明，則論據(jù)和論題的真實(shí)性都不可能得到證明。在證明的過程中，論題的真實(shí)性是待證的，它不能夠反過來作為證明論據(jù)真實(shí)性的依據(jù)。違反這條規(guī)則的邏輯錯誤，是“循環(huán)證明”，又叫竊取論題。法國劇作家莫里哀劇本《無病呻吟》描寫醫(yī)學(xué)學(xué)士阿爾岡申請參加全國性醫(yī)學(xué)團(tuán)體，口試中回答考官問題：“什么原因和道理，鴉片可以引人入睡？”正確回答應(yīng)是，鴉片中含有嗎啡、那克汀等生物堿，有麻醉作用。而阿爾岡的回答是：“由于它本身有催眠的力量，自然會使知覺麻醉?！边@個論據(jù)，僅是竊取論題中的意思，此外并無獨(dú)立于論題的其他涵義，不能作為證明論題的有效論據(jù)。若再問：“什么原因和道理，鴉片有催眠的力量？”他答：“因?yàn)轼f片可以引人入睡?！本蜆?gòu)成循環(huán)證明。又如甲陪乙去醫(yī)院看病，甲問醫(yī)生：“為什么他啞了？”醫(yī)生答：“因?yàn)樗l(fā)音器官失去了作用?！奔自賳枺骸盀槭裁此l(fā)音器官會失去作用呢？”答：“因?yàn)樗麊×??！币矘?gòu)成循環(huán)證明。循環(huán)證明是一種“無進(jìn)展”的無效證明，猶如車輪在原地?zé)o效打轉(zhuǎn)。（三）關(guān)于論證方式的規(guī)則證明方式的規(guī)則是，在論據(jù)和論題之間須存在推斷關(guān)系。論據(jù)論題推斷關(guān)系第一，如果證明方式是必然性推理（演繹推理或完全歸納推理），則推理形式必須有效，即論題能從論據(jù)必然推出。第二，如果證明方式是或然性推理（不完全歸納推理或類比推理等），則必須遵守相關(guān)的規(guī)則或要求，以確保論據(jù)對論題足夠的證據(jù)支持度。推不出的錯誤形式謬誤非形式謬誤第二節(jié)反駁一、什么是反駁反駁是根據(jù)已知為真的命題，來確定某一命題虛假性或某一證明不能成立的思維形式。例如：1960年9月5日，一英國記者提出了一個論題：“一個國家向外擴(kuò)張，是由于人口過多?！敝芏鱽碚f：“我們不同意這種看法。英國的人口在第一次世界大戰(zhàn)前是4-500萬，不算太多，但是，英國在一個很長的時期內(nèi)曾經(jīng)是‘日不落’殖民帝國。美國的面積小于中國，美國的人口還不及中國人口的三分之一，但是美國的軍事基地遍于全球，美國的海外駐軍達(dá)150萬人。中國人口雖多，但是沒有一兵一卒駐在外國的領(lǐng)土上，更沒有在外國建立軍事基地。可見一個國家是否向外擴(kuò)張，并不決定于它的人口多少，而決定于它的社會制度?！本褪且粋€反駁。反駁的作用，在于破斥謬誤，而同時也在于闡揚(yáng)真理。。在反駁中，證明對方的論題假，同時即等于證明自己的論題真。周恩來證明英國記者的論題“一個國家向外擴(kuò)張，是由于人口過多”假，同時即等于證明自己的論題“并非‘一個國家向外擴(kuò)張，是由于人口過多’”真。反駁的對象二、反駁的種類命題證明被反駁命題用來反駁的論據(jù)反駁方式反駁命題反駁論據(jù)反駁證明方式（一）反駁命題就是對論題這一命題的反駁，即根據(jù)已知為真的命題，來確定所要反駁的論題的虛假性，對論題的反駁，或者一般地對命題的反駁，分為直接反駁和間接反駁兩種。反駁命題直接反駁間接反駁直接歸納反駁直接演繹反駁是用事實(shí)論據(jù)的歸納證明，直接反駁對方論題。獨(dú)立證明間接反駁法歸謬法用事實(shí)論據(jù)的歸納證明，直接反駁對方論題。如墨家用“金靡炭”（金屬壓滅炭火，金克火，金勝火）等事實(shí)論據(jù)的歸納證明，反駁陰陽家“火克金”等“五行常勝”的論題。達(dá)爾文細(xì)致觀察澳大利亞東部塔斯馬尼亞島鴨嘴獸卵生、哺乳的過程，在單孔動物中設(shè)立卵生哺乳動物的亞綱，用事實(shí)論據(jù)的歸納證明，反駁“哺乳動物都是胎生”的一般命題。用理論論據(jù)的演繹證明，直接反駁對方論題。如毛澤東批評“許多人不承認(rèn)社會主義社會還有矛盾”，用“對立統(tǒng)一規(guī)律是宇宙的根本規(guī)律”、“矛盾是普遍存在的”等理論論據(jù)的演繹證明，直接反駁“社會主義社會無矛盾論”。間接反駁獨(dú)立證明間接反駁法歸謬法是借助矛盾律，用證明對方論題的反論題真和從對方論題導(dǎo)出荒謬的方法，間接引出對方論題假。即獨(dú)立證明對方論題的反論題真，據(jù)矛盾律，引出對方論題假的方法。其公式是：被反駁論題：P反駁：①獨(dú)立證明被反駁命題P的矛盾或反對論題非P為真②據(jù)矛盾律，斷定被反駁命題P為假如要反駁論題“文章本天成，妙手偶得之”。先獨(dú)立證明反論題“文章非天成，努力才寫好”為真。再據(jù)矛盾律，斷定對方論題為假。要反駁主題“人是上帝造的”，先獨(dú)立證明矛盾命題“人不是上帝造的”或反對命題“人是由猿猴進(jìn)化而來的”為真，再據(jù)矛盾律，斷定對方論題假。即假定對方論題真，則導(dǎo)出荒謬（與已知事實(shí)矛盾；與已知真理矛盾；自相矛盾），從而間接引出對方論題假的方法歸謬法公式：被反駁論題：P反駁：①設(shè)P真②如果P，那么Q非Q所以，非P（充分條件假言推理否定后件式）歸謬法（1）由歸謬假設(shè)所導(dǎo)出的命題，可以是與已知事實(shí)矛盾的命題。如加拿大前外交官切斯特?朗寧，出生于湖北襄陽，喝中國奶媽的乳汁長大。在他競選省議員時，反對派說他“喝中國人的奶長大，身上一定有中國血統(tǒng)”。朗寧反駁說：“根據(jù)你們的邏輯，你們是喝牛奶長大的，你們身上一定有牛的血統(tǒng)?！边@與已知事實(shí)矛盾，所以對方命題不能成立。（2）由歸謬假設(shè)所導(dǎo)出的命題，可以是與已知真理矛盾的命題。如說：“假定垂直于同一直線的兩條直線延長后能夠相交，則自直線外一點(diǎn)可以引兩條直線同它垂直，但這同已知‘自直線外一點(diǎn)可以引一條而且只能引一條直線同這條直線垂直’的歐氏幾何定理相矛盾，所以，‘垂直于同一直線的兩條直線延長后能夠相交’的假定，在歐氏幾何學(xué)體系中不能成立?！保?）由歸謬假設(shè)所導(dǎo)出的命題，也可以是自相矛盾的命題。如古希臘的克拉底魯說：“我們對任何事物所作的肯定和否定都是假的?！眮喞锸慷嗟路瘩g說：“克拉底魯?shù)脑挼扔谡f：‘一切命題都是假的?！绻磺忻}都是假的，那么，這個‘一切命題都是假的’命題也是假的?！币粋€命題既真又假不可能，所以該命題不成立。（二）反駁論據(jù)反駁論據(jù)，是證明對方論據(jù)的虛假。反駁論據(jù)的方法，與反駁論題的方法同樣。應(yīng)該指出，對方論據(jù)假，其論題并不必然假，而是可真可假。駁倒對方論證中的部分或全部論據(jù)，意味著駁倒了對方的證明，但不等于駁倒了對方的論題。駁倒對方論據(jù)，表示對方的論題，尚未得到證明。如果對方堅(jiān)信自己的論題真，就應(yīng)該另擇真實(shí)論據(jù)，重新予以證明。一位警衛(wèi)戰(zhàn)士，在轉(zhuǎn)戰(zhàn)陜北行軍途中，對毛澤東說：“新四旅打仗厲害（論題），因?yàn)槔锩婧颖比硕啵颖比四艽蛘蹋ㄕ摀?jù)）。”毛澤東說：“河北人不一定都能打仗吧，三國時候，河北名將顏良、文丑，不是叫山西人關(guān)云長給殺了嘛！能不能打仗，不在乎是哪省的人?！本l(wèi)戰(zhàn)士的這個論據(jù)，雖然被毛澤東駁倒，但其論題卻仍然是正確的，可以另擇真實(shí)論據(jù)，重新予以證明。（三）反駁證明方式反駁證明方式，是證明對方論據(jù)和論題之間，沒有或缺少足夠的推斷關(guān)系，即由其論據(jù)推不出其論題。如F國政府人士曾說，我南沙群島離F國最近，“理應(yīng)”屬于F國。從“離我近”推出“屬于我”，這樣的“理”是荒謬的，不能成立的。如果這樣的“理”成立，那么，站在我南沙群島上，豈不是反過來也可以說F國“距離中國最近”，因而是屬于中國的嗎？又如某人被誤判犯殺人罪的論證是：罪犯了解現(xiàn)場情況。（論據(jù)１）某人了解現(xiàn)場情況。（論據(jù)２）

————————————————所以，某人是罪犯。（論題）此證明方式無效，其推理形式是：（PAM∧SAM）→SAP這是第二格的無效式AAA式，違反“中項(xiàng)須周延一次”和“第二格兩前提須有一否定”的規(guī)則，犯了“中項(xiàng)兩次不周延”和“第二格兩前提均肯定”的邏輯錯誤。事實(shí)上，了解現(xiàn)場情況，未必是作案者。了解現(xiàn)場情況，除作案者外，還可聽自傳聞，或親自調(diào)查。運(yùn)用無效的證明方式判案，可能鑄成冤假錯案。

同樣應(yīng)指出，對方證明方式無效，其論題并不必然假，而是可真可假。同樣，駁倒了證明方式，不等于駁倒對方論題。確認(rèn)對方證明方式無效，表示對方的論題，尚未得到證明。如果對方堅(jiān)信自己的論題真，就應(yīng)該另擇有效證明方式，重新予以論證。在實(shí)際證明中，反駁論題、反駁論據(jù)和反駁證明方式，可綜合運(yùn)用、交替進(jìn)行，這將使反駁更加全面、有力。第三節(jié)形式化方法一、公理化和形式化（一）什么是公理化公理化方法是一種構(gòu)造理論體系的演繹方法。這種方法包括兩個要點(diǎn)：（１）它在一個理論中明確區(qū)分了初始概念和被定義概念；出發(fā)命題（即公理）和被證命題（即定理）；（２）它明確規(guī)定了定義規(guī)則和演繹規(guī)則。運(yùn)用定義規(guī)則于初始概念或已定義概念，就可以定義新的概念，從而得到一個理論的嚴(yán)格定義的概念體系；運(yùn)用演繹規(guī)則于公理或已證定理，就可以證明新的定理，從而構(gòu)成整個理論。公理系統(tǒng)公理化方法構(gòu)造的系統(tǒng)稱為公理系統(tǒng)。公理系統(tǒng)中，初始概念不加定義，公理也不予證明。公理具有古典的涵義和現(xiàn)代的涵義。公理的古典涵義要求作為公理的命題比理論中的其他命題更具有明顯的真實(shí)性，以致可以被接受為不證自明。這里訴諸的是人們的經(jīng)驗(yàn)和直覺。人們通常所說的邏輯的格經(jīng)過人們千百次的實(shí)踐而具有公理的意義，指的是公理的古典涵義。公理的現(xiàn)代涵義不再訴諸人們的直覺和經(jīng)驗(yàn)，而只考慮公理集滿足某些特定的性質(zhì)。這些性質(zhì)主要是：第一，一致性，即不會推出矛盾；第二，獨(dú)立性，即公理之間不存在推導(dǎo)關(guān)系；第三，完全性，即可以推出該理論中的一切真命題。一致性有關(guān)公理的采用是否合法；獨(dú)立性有關(guān)公理的采用是否經(jīng)濟(jì)；完全性有關(guān)公理的效用，即推演能力。一個理論的公理集最好能同時滿足這三條性質(zhì)，也可以不滿足獨(dú)立性或完全性，但不能不滿足一致性。公理從古典涵義向現(xiàn)代涵義的演變，反映著公理化方法向形式化方法的發(fā)展。（二）什么是形式化【形式化】是構(gòu)造形式系統(tǒng)的程序。形式系統(tǒng)包括四個部分，或者說，形式化程序包括四個步驟：第一，給出初始符號。這是些不具有任何意義的字母。所構(gòu)造的系統(tǒng)中只允許出現(xiàn)這些符號。第二，確定形式規(guī)則。初始符號可以任意組合成無限多個符號串，形成規(guī)則規(guī)定一種程序，借以判定哪些符號串是本系統(tǒng)中的公式，哪些不是。第三，確定公理，即在本系統(tǒng)的公式中，確定不加推導(dǎo)就予以斷定的公式集。第四，確定變形規(guī)則。變形規(guī)則亦稱演繹規(guī)則或推導(dǎo)規(guī)則。變形規(guī)則規(guī)定，從已被斷定的公式，如何得出新的被斷定公式。被斷定的公式又稱為系統(tǒng)中的定理。在上述四個步驟中，前兩個步驟定義了一個形式語言，后兩個步驟在該形式語言上定義了一個演繹結(jié)構(gòu)。形式系統(tǒng)，就是由形式語言和定義其上的演繹結(jié)構(gòu)組成的。（三）形式化的特點(diǎn)嚴(yán)格性和抽象性是形式系統(tǒng)的明顯特點(diǎn)。一個形式系統(tǒng)能夠在有窮步驟內(nèi)判定：一個符號是否為初始符號；一個符號串是否為公式；一個公式是否為公理；一個有窮長的公式序列是否為一個證明，即序列中的每一公式是否為一公理或是從先行的公式應(yīng)用變形規(guī)則得到的。除此以外，形式系統(tǒng)不承認(rèn)任何別的東西，哪怕它在人們的直覺中多么天經(jīng)地義。這樣，就排除了暗含前提的任何可能；形式推導(dǎo)的每個環(huán)節(jié)都極為嚴(yán)格、明確、清晰，決不訴諸直覺、語境、意義，采用的是一種純形式的機(jī)械方法。數(shù)學(xué)歷來以嚴(yán)格性著稱。形式推導(dǎo)的嚴(yán)格性高于一般數(shù)學(xué)推導(dǎo)?？梢哉f，邏輯推導(dǎo)發(fā)展到形式推導(dǎo)，其嚴(yán)格性達(dá)到了頂峰。形式系統(tǒng)的抽象性表現(xiàn)在它自身僅僅是個符號系統(tǒng)，除了表示符號間的關(guān)系外，不表達(dá)任何別的意義。但是，如果賦予符號以意義，也就是通過語義解釋，建立模型，它可以刻畫具體的對象世界。不但如此，更重要的是，同一個形式系統(tǒng)，往往可以作不同的解釋，建立不同的模型，從而可以刻畫表面上看來多么迥然不同的對象世界。例如抽象布爾代數(shù)，通過不同的解釋，可以分別刻畫命題演算、類演算、概率演算，甚至邏輯電路開關(guān)系統(tǒng)。形式系統(tǒng)由其高度的抽象性，深刻地揭示了不同對象世界內(nèi)在的某種同構(gòu)關(guān)系。這證實(shí)了列寧的一個思想，只要是科學(xué)的抽象，則越抽象就越普遍。顯然，形式化是一種公理化，但公理化卻不一定是形式化。公理系統(tǒng)分兩種，形式化的和非形式化的。非形式化的公理系統(tǒng)，也稱實(shí)質(zhì)公理系統(tǒng)，典型的如歐幾里德幾何；形式化的公理系統(tǒng)，即是形式系統(tǒng)。作為形式系統(tǒng)的一個實(shí)例，下面將構(gòu)造命題演算P。二、形式化的基本概念（一）形式語言和形式系統(tǒng)在“什么是形式化”小節(jié)中，我們已討論了形式語言和形式系統(tǒng)的概念。這里只通過實(shí)例說明形式語言的特點(diǎn)?！纠?】語言X定義為：初始符號：abcdefg。形成規(guī)則：上述符號組成的有限符號串中，能構(gòu)成一英語單詞的為一公式；否則不是。問：X是否為一形式語言？答：不是。因?yàn)樾纬梢?guī)則涉及意義?！纠?】語言Y定義為：初始符號：abcdefg。形成規(guī)則：上述符號組成的有限符號串中，凡以a起頭或以e結(jié)尾的，為一公式。問：Y是否為一形式語言？答：不是。因?yàn)椋豪?，根?jù)形成規(guī)則無法確定bed是否為一公式?！纠?】語言Z定義為：初始符號：?○□。形成規(guī)則：上述符號組成的有限符號串中，凡以?起頭或以○結(jié)尾的，為一公式；否則不是。問：Z是否為一形式語言？答：是。（二）對象語言和元語言構(gòu)造一形式系統(tǒng)的形式語言，就是該系統(tǒng)的對象語言。一個形式系統(tǒng)，只“認(rèn)識”并且只能處理自己的對象語言。換句話說，在一個形式系統(tǒng)內(nèi)部，除了對象語言，即除了初始符號及合式的初始符號串即公式以外，什么也沒有。但是，光有對象語言，無法構(gòu)造形式系統(tǒng)甚至也無法定義對象語言自身。為了定義對象語言，必須使用“初始符號”、“形成規(guī)則”、“公式”這樣的語詞或語句；為了構(gòu)造形式系統(tǒng)，必須使用“公理”、“推導(dǎo)規(guī)則”、“定理”、“證明”這樣的語詞或語句。這種自身不在形式系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)，但對于構(gòu)造和說明形式系統(tǒng)必不可少的符號、語詞和語句，就構(gòu)成該系統(tǒng)的元語言。（三）邏輯語法和邏輯語義【邏輯語法】，簡稱語法，處理和研究的是形式系統(tǒng)中符號與符號之間的關(guān)系；【邏輯語義】，簡稱語義，處理和研究的是形式系統(tǒng)中符號與它們所刻畫的對象之間的關(guān)系。形式系統(tǒng)僅僅是符號系統(tǒng)，其中只出現(xiàn)符號及其結(jié)合與變換，因此，可以說形式系統(tǒng)自身只有語法的意義。邏輯語法分為兩部分：一部分是基本語法，它涉及形式系統(tǒng)的構(gòu)造。合式公式的形成規(guī)則，公式間的推導(dǎo)規(guī)則，就是基本語法規(guī)則；另一部分是理論語法，它研究形式系統(tǒng)的語法性質(zhì)如語法意義上的一致性、完全性等。形式系統(tǒng)是純形式地構(gòu)造出來的，它必須通過解釋，建立模型，從而在一定的論域中精確嚴(yán)格地刻畫具體的對象世界。這正是邏輯語義學(xué)要解決的問題。邏輯語義學(xué)也稱為模型論。形式系統(tǒng)的一個模型，包括兩部分：第一是定義一個非空集合。稱為模型的論域；第二是在論域上定義形式系統(tǒng)中符號的涵義。這稱為解釋。這樣，在模型中，形式系統(tǒng)中一些無具體內(nèi)容的符號、公式、公式間的變換，經(jīng)過解釋，成為有具體意義的概念、命題和命題間的推導(dǎo)。此外，邏輯語義學(xué)也研究形式系統(tǒng)的語義性質(zhì)如語義可靠性、一致性、完全性等。（四）內(nèi)定理和元定理【內(nèi)定理】是由對象語言表達(dá)的，能在形式系統(tǒng)內(nèi)部得到斷定或證明；【元定理】則是用元語言表達(dá)的，它刻畫的是形式系統(tǒng)的性質(zhì)。一般地說，元定理在系統(tǒng)內(nèi)是不可證的。關(guān)于內(nèi)定理的證明，稱為系統(tǒng)內(nèi)的證明；關(guān)于元定理的證明，稱為關(guān)于系統(tǒng)的證明。例如：考慮下面的定理：定理：A：p→p定理：B：“p→p”是重言式定理：C：系統(tǒng)中的可證公式都是重言式結(jié)合下面將要構(gòu)造的形式系統(tǒng)命題P，我們將會看到：定理A是內(nèi)定理，它在P中可證；定理B斷定的內(nèi)定理A的性質(zhì)，定理C斷定的是系統(tǒng)P的性質(zhì)，它們都是P的元定理。定理A的證明，是P系統(tǒng)內(nèi)的證明；定理B和定理C的證明，是關(guān)于系統(tǒng)P的證明。在P中，顯然是無法證明定理B和定理C的。（五）對象理論和元理論如果把形式系統(tǒng)統(tǒng)稱為對象理論，那么，以形式系統(tǒng)為對象的理論稱為該系統(tǒng)的【元理論】。元理論從語法和語義兩個角度研究形式系統(tǒng)的性質(zhì)，其中最重要的是一致性、可靠性、完全性、可判定性以及獨(dú)立性等。一致性是指系統(tǒng)中不會推出矛盾，一致性也稱作協(xié)調(diào)性；可靠性是指系統(tǒng)中的定理都是語義解釋后的真命題；完全性是指論域中的真命題都是系統(tǒng)中的可證公式即定理；可判定性是指存在一種能行方法，即存在一種程序能在有限步內(nèi)斷定一公式是或不是系統(tǒng)中的定理；獨(dú)立性是指任一公理都不能從其他公理中推出。任何合格的形式系統(tǒng)及其模型，都必須滿足協(xié)調(diào)性和可靠性，但并非都滿足完全性、可判定性以及獨(dú)立性。對象理論和元理論的關(guān)系，可以弈棋游戲?yàn)槔f明。在弈棋中，對象理論相當(dāng)于下棋規(guī)則，它只說明什么樣的棋子為本棋類的棋子；棋子的各類下法中，哪些是允許的，哪些是不允許的；何為輸贏等。元理論所要回答的問題四海一家：有沒有一種必贏方法？如果有，它是什么？如果沒有，什么樣的方法才有利于贏？等等。因此，一些弈棋口訣，像圍棋中“金角銀邊草包肚”，象棋中的“單車難勝士象全”，是弈棋規(guī)則本身不能說明的，它屬于弈棋中的元理論，是弈棋的元定理。對于弈棋來說，掌握對象理論，僅僅意味著會下棋；要當(dāng)個好棋手，必須研究元理論。三、形式系統(tǒng)的一個實(shí)例：命題演算P（一）命題演算P的語法現(xiàn)在我們就來構(gòu)造形式系統(tǒng)命題演算P，簡寫為P。P的初始符號：（1）P0，P1，P2，…（稱作命題變元）（2）┐，→（稱作聯(lián)結(jié)詞：“并非”，“蘊(yùn)涵”）（3）（，）[稱作輔助符號：“左（右）括號”]P的形成規(guī)則：（1）單獨(dú)一個命題變元是合式公式；（2）如果X是合式公式，則┐X是合式公式；（3）如果X和Y是合式公式，則（X→Y）是合式公式；（4）其余的都不是合式公式。這里，X、Y、代表由初始符號組成的任意表達(dá)式。P的公理（模式）：（1）├A→（B→A）（2）├

（A→（B→C））→（（A→B）→（A→C））（3）├

（┐A→┐B）→（（┐A→B）→A）其中A、B、C代表任意合式公式。因此給出的是公理模式，即具有這種模式的都是公理，例如（┐P0）→（P0→P1）→（┐P0）就是公理（1）；符號“├”表示緊接著它右邊的公式都是系統(tǒng)中所斷定的。P的推理規(guī)則（簡記為“→—”）：從├A和├A→B，可以推出├B。這樣，我們就完成了P的構(gòu)造。P中的一個證明是指一個有窮長的公式序列，其中每一公式或者是一個公理，或者是以序列中兩個在前的公式運(yùn)用規(guī)則“→—”得出的。如果公式A是一個證明的最后一個公式，就說明這證明是A的一個證明，A在P中是可證的。P中的可證公式稱為P的定理。下面作為實(shí)例給出定理├A→A（同一律）的證明：證：（1）├

A→（（B→A）→A）公理1（2）├（A→（（B→A）→A））→（A→（B→A））→（A→A）公理2（3）├（A→（B→A））→（A→A）（１）、（２）→—（4）├

A→（（B→A）公理1（5）├

A→A（3）、（4）→—（二）命題演算P的語義現(xiàn)在我們來構(gòu)造P的語義模型。定義集合{真、假}為P的論域。“真”、“假”統(tǒng)稱真值。定義對P的公式的一個真值賦值σ如下：（1）對每個原子公式（命題變元）指派一個真值（即“真”或“假”）；（2）（┐A）σ

=真，當(dāng)且僅當(dāng)Aσ＝假；（3）（A→B）σ＝真，當(dāng)且僅當(dāng)Aσ=假或者Bσ=真（“Aσ”讀作賦值σ下A的值）。這樣我們就完成了P的語義模型的構(gòu)造。在P中，“命題變