金榜教程2014年高中數(shù)學(xué) 1.4.3單位圓與誘導(dǎo)公式課件 北師大版必修4

運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的一般步驟：用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值設(shè)計(jì)好解題思路，記準(zhǔn)用準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵.【例1】求下列各角的三角函數(shù)值:(1)cos(-1290°)(2)sin1230°(3)(4)【審題指導(dǎo)】解答本題可依據(jù)負(fù)角化正角，任意角化0°～360°間的角，最后化為0°～90°間的角的過(guò)程計(jì)算.【規(guī)范解答】(1)cos(-1290°)=cos1290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=.(2)sin1230°=sin(150°+3×360°)=sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=.(3)(4)【變式訓(xùn)練】已知cos69°=a，sin15°=b，cos62°=c，sin2°=d，試用a、b、c、d表示sin(-699°)cos(-1515°)-sin(-872°)cos92°.【解析】sin(-699°)cos(-1515°)-sin(-872°)cos92°=sin(-2×360°+21°)cos(4×360°+75°)+sin(2×360°+152°)cos(90°+2°)=sin21°cos75°+sin152°(-sin2°)=sin(90°-69°)cos(90°-15°)-sin(180°-28°)sin2°=cos69°sin15°-sin28°sin2°=cos69°sin15°-cos62°sin2°=ab-cd.【誤區(qū)警示】計(jì)算cos(-1515°)，-sin(-872°)和cos92°時(shí)，符號(hào)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.另外的應(yīng)用容易忽視.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的策略角多、函數(shù)類型多是三角函數(shù)式化簡(jiǎn)問(wèn)題的特點(diǎn)，據(jù)此解答此類問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)化簡(jiǎn)時(shí)要使函數(shù)類型盡量少，角的弧度數(shù)(或角度數(shù))的絕對(duì)值盡量小，能求值的要求值.用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式(2)認(rèn)真觀察有關(guān)角之間的關(guān)系，根據(jù)需要變角，如可寫(xiě)成也可寫(xiě)成，不同的表達(dá)方法，決定著使用不同的誘導(dǎo)公式.

求角的正弦、余弦函數(shù)值，按“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的方法更快，要注意訓(xùn)練這種方法.【例2】(2011·長(zhǎng)春高一檢測(cè))化簡(jiǎn)【審題指導(dǎo)】解答本題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)角，3π-α，3π+α，的三角函數(shù)值，實(shí)際上這些角依次可看作

,2π+π-α，2π+π+α，,由此可設(shè)計(jì)化簡(jiǎn)思路.【規(guī)范解答】原式【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：

【解題提示】解答本題要特別關(guān)注sin(α-180°)=-sin(180°-α),cos(-180°-α)=cos(180°+α).【解析】原式===-1.【例】若k∈Z，化簡(jiǎn)【審題指導(dǎo)】由于k為偶數(shù)與k為奇數(shù)時(shí)，解題過(guò)程不同，所以解答本題要注意分類討論思想的應(yīng)用.【規(guī)范解答】當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n(n∈Z)，則原式當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1(n∈Z),同理可得原式=-1.【變式備選】求證：對(duì)任意的整數(shù)k，【解析】左邊(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n(n∈Z),∴左邊(2)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1(n∈Z),同理可得左邊=-1,綜上,原等式成立.單位圓的應(yīng)用利用單位圓及正弦、余弦函數(shù)的定義推導(dǎo)正弦、余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式，十分直觀.這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.實(shí)際上，用好單位圓還可以巧妙地解決很多問(wèn)題，例如下列問(wèn)題:(1)解三角不等式(2)判斷三角函數(shù)式的符號(hào)(3)根據(jù)已知條件判斷兩個(gè)角終邊之間的關(guān)系單位圓的應(yīng)用【例3】(2011·惠州高一檢測(cè))若集合M＝{θ|sinθ≥,0≤θ≤π}，N＝{θ|cosθ≤,0≤θ≤π}，則M∩N=_______.【審題指導(dǎo)】在單位圓中根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，找出集合N和集合M對(duì)應(yīng)的角的范圍，然后求M∩N.【規(guī)范解答】由任意角的正弦函數(shù)的定義可知，角θ與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(cosθ,sinθ)，所以為使，只要角θ與單位圓的交點(diǎn)在直線的上方(如下圖所示)，又因?yàn)?≤θ≤π，所以由單位圓可知.與此類似，使，只要角θ與單位圓的交點(diǎn)在直線的左側(cè)(如下圖所示)，又因?yàn)?≤θ≤π，所以由單位圓可知.所以答案:【互動(dòng)探究】將本題中的0≤θ≤π去掉，如何解答？【解析】由，得

.由,得

.所以.【典例】(12分)已知,求，的值.【審題指導(dǎo)】注意到，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化.【規(guī)范解答】∵,…………2分

……6分

………8分

………12分【誤區(qū)警示】對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：【即時(shí)訓(xùn)練】(2011·大同高一檢測(cè))已知，則的值為()(A)(B)(C)(D)【解析】選C.1.已知sin25.7°=m，則cos64.3°等于()(A)m(B)-m(C)m2(D)【解析】選A.cos64.3°=cos(90°-25.7°)=sin25.7°=m2.若y=lg[-sin(-θ)]+lg[-cos(-θ)],那么θ是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】選B.由題意得-sin(-θ)＞0，-cos(-θ)＞0,所以sinθ＞0，-cosθ＞0，cosθ＜0，所以θ是第二象限的角.3.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是()(A)cosα=cosβ(B)cosα=-cosβ(C)sinα=-sinβ(D)sinα=cosβ【解析】選B.cosα=cos(180°-β)=-cosβ.4.已知