2023年高考上海理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔上海卷〕數(shù)學(xué)〔理科〕第一卷〔選擇題共50分〕一、填空題〔本大題共14小題，共56分〕考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否那么一律得零分．〔1〕【2023年上海，理1，4分】設(shè)，那么不等式的解集為．【答案】【解析】由題意得：，解得．【點(diǎn)評(píng)】此題考查含絕對(duì)值不等式的解法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用．〔2〕【2023年上海，理2，4分】設(shè)，期中為虛數(shù)單位，那么．【答案】【解析】．【點(diǎn)評(píng)】此題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法那么的合理運(yùn)用．〔3〕【2023年上海，理3，4分】平行直線，那么的距離．【答案】【解析】利用兩平行線間距離公式得．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線之間的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．〔4〕【2023年上海，理4，4分】某次體檢，6位同學(xué)的身高〔單位：米〕分別為，，，，，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是〔米〕．【答案】【解析】將這6位同學(xué)的身高按照從矮到高排列為：，，，，，，這六個(gè)數(shù)的中位數(shù)是與的平均數(shù)，顯然為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查中位數(shù)的求法，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中位數(shù)的定義的合理運(yùn)用．〔5〕【2023年上海，理5，4分】點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，那么的反函數(shù)．【答案】【解析】將點(diǎn)帶入函數(shù)的解析式得，所以，用表示得，所以．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反函數(shù)的求法、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的互化，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．〔6〕【2023年上海，理6，4分】如圖，在正四棱柱中，底面的邊長為3，與底面所成角的大小為，那么該正四棱柱的高等于．【答案】【解析】由題意得．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正四棱柱的性質(zhì)，正四棱柱的高的計(jì)算，考查了線面角的定義，關(guān)鍵是找到直線與平面所成的角．〔7〕【2023年上海，理7，4分】方程在區(qū)間上的解為．【答案】【解析】化簡得：，所以，解得或〔舍去〕，所以在區(qū)間上的解為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角方程的解法，恒等變換的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．〔8〕【2023年上海，理8，4分】在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，那么常數(shù)項(xiàng)等于．【答案】112【解析】由二項(xiàng)式定理得：二項(xiàng)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)之和為，由題意得，所以，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，求常數(shù)項(xiàng)那么令，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．〔9〕【2023年上海，理9，4分】的三邊長分別為3，5，7，那么該三角形的外接圓半徑等于．【答案】【解析】利用余弦定理可求得最大邊7所對(duì)應(yīng)角的余弦值為，所以此角的正弦值為，由正弦定理得，所以．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的外接圓的半徑的求法，注意運(yùn)用正弦定理和余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于根底題．〔10〕【2023年上海，理10，4分】設(shè)，假設(shè)關(guān)于的方程組無解，那么的取值范圍是．【答案】【解析】解法1：將方程組中的〔1〕式化簡得，代入〔2〕式整理得，方程組無解應(yīng)該滿足且，所以且，所以由根本不等式得．解法2：∵關(guān)于，的方程組無解，∴直線與平行，∵，，∴，即，，且，那么，那么，那么設(shè)，那么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，，綜上，即的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查直線平行的應(yīng)用以及構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解是解決此題的關(guān)鍵．〔11〕【2023年上海，理11，4分】無窮數(shù)列由個(gè)不同的數(shù)組成，為的前項(xiàng)和．假設(shè)對(duì)任意，，那么的最大值為．【答案】4【解析】解法1：要滿足數(shù)列中的條件，涉及最多的項(xiàng)的數(shù)列可以為，所以最多由4個(gè)不同的數(shù)組成．解法2：對(duì)任意，，可得當(dāng)時(shí)，或；假設(shè)，由，可得數(shù)列的前兩項(xiàng)為2，0；或2，1；或3，0；或3，；假設(shè)，由，可得數(shù)列的前三項(xiàng)為2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，；或3，0，0；或3，0，；或3，1，0；或3，1，；假設(shè)，由，可得數(shù)列的前四項(xiàng)為2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，；或2，1，0，0；或2，1，0，；或2，1，，0；或2，1，，1；或3，0，0，0；或3，0，0，；或3，0，，0；或3，0，，1；或3，，0，0；或3，，0，1；或3，，1，0；或3，，1，；…即有后一項(xiàng)都為0或1或，那么的最大個(gè)數(shù)為4，不同的四個(gè)數(shù)均為2，0，1，，或3，0，1，．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)列與集合的關(guān)系，考查分類討論思想方法，注意運(yùn)用歸納思想，屬于中檔題．〔12〕【2023年上海，理12，4分】在平面直角坐標(biāo)系中，，，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得知表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的上半圓．設(shè)，，，，所以．【點(diǎn)評(píng)】此題考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的合理運(yùn)用．〔13〕【2023年上海，理13，4分】設(shè)，假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，那么滿足條件的有序?qū)崝?shù)組的組數(shù)為．【答案】4【解析】解法1：，當(dāng)確定時(shí)，唯一，故有4種組合．解法2：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，∴必有，假設(shè)，那么方程等價(jià)為，那么函數(shù)的周期相同，假設(shè)，此時(shí)，假設(shè)，那么，假設(shè)，那么方程等價(jià)為，假設(shè)，那么，假設(shè)，那么，綜上滿足條件的有序?qū)崝?shù)組為，，，，共有4組．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵．〔14〕【2023年上海，理14，4分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為正八邊形的中心，．任取不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，那么點(diǎn)落在第一象限的概率是．【答案】【解析】共有種根本領(lǐng)件，其中使點(diǎn)落在第一象限共有種根本領(lǐng)件，故概率為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查了古典概型概率計(jì)算公式，理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．二、選擇題〔本大題共有4題，總分值20分〕考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)位置填涂，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，選對(duì)得5分，否那么一律得零分．〔15〕【2023年上海，理15，5分】設(shè)，那么“〞是“〞的〔〕〔A〕充分非必要條件〔B〕必要非充分條件〔C〕充要條件〔D〕既非充分也非必要條件【答案】A【解析】，所以是充分非必要條件，應(yīng)選A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義是解決此題的關(guān)鍵，比擬根底．〔16〕【2023年上海，理16，5分】以下極坐標(biāo)方程中，對(duì)應(yīng)的曲線為如下圖的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】依次取，結(jié)合圖形可知只有滿足，應(yīng)選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了極坐標(biāo)方程、數(shù)形結(jié)合方法、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．〔17〕【2023年上海，理17，5分】無窮等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且．以下條件中，使得恒成立的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】解法1：由題意得：對(duì)一切正整數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)不恒成立，舍去；當(dāng)時(shí)，應(yīng)選B．解法2：∵，，，，∴，假設(shè)，那么，故A與C不可能成立；假設(shè)，那么，故B成立，D不成立．【點(diǎn)評(píng)】此題考查命題真假的判斷，是根底題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．〔18〕【2023年上海，理18，5分】設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：=1\*GB3①假設(shè)、、均為增函數(shù)，那么、、中至少有一個(gè)增函數(shù)；=2\*GB3②假設(shè)、、均是以為周期的函數(shù)，那么、、均是以為周期的函數(shù)，以下判斷正確的是〔〕〔A〕=1\*GB3①和=2\*GB3②均為真命題〔B〕=1\*GB3①和=2\*GB3②均為假命題〔C〕=1\*GB3①為真命題，=2\*GB3②為假命題〔D〕=1\*GB3①為假命題，=2\*GB3②為真命題【答案】D【解析】解法1：因?yàn)楸貫橹芷跒榈暮瘮?shù)，所以②正確；增函數(shù)減增函數(shù)不一定為增函數(shù)，因此①不一定，應(yīng)選D．解法2：①不成立．可舉反例：．，．②∵，，前兩式作差可得：，結(jié)合第三式可得：，，同理可得：，因此②正確．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了函數(shù)的單調(diào)性與周期性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題〔此題共5題，總分值74分〕解答以下各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．〔19〕【2023年上海，理19，12分】將邊長為1的正方形〔及其內(nèi)部〕繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè)．〔1〕求三棱錐的體積；〔2〕求異面直線與所成的角的大?。猓骸?〕由題意可知，圓柱的高，底面半徑．由的長為，可知．，．〔2〕設(shè)過點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，那么，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角．由長為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得．因?yàn)槠矫妫裕谥?，因?yàn)?，，，所以，從而直線與所成的角的大小為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三棱錐的體積的求法，考查兩直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．〔20〕【2023年上海，理20，14分】有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖．〔1〕求菜地內(nèi)的分界線的方程；〔2〕菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值〞為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值．解：〔1〕設(shè)分界線上任一點(diǎn)為，依題意，可得．〔2〕設(shè)，那么，∴，∴設(shè)所表述的矩形面積為，那么，設(shè)五邊形面積為，那么，，，∴五邊形的面積更接近的面積．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查圓錐曲線的軌跡問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．〔21〕【2023年上海，理21，14分】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn)．〔1〕假設(shè)的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；〔2〕設(shè)，假設(shè)的斜率存在，且，求的斜率．解：〔1〕設(shè)．由題意，，，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為．〔2〕由，，．設(shè)，，直線．顯然．由，得．因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且．設(shè)的中點(diǎn)為．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．〔22〕【2023年上海，理22，16分】，函數(shù)．〔1〕當(dāng)時(shí)，解不等式；〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求的取值范圍；〔3〕設(shè)，假設(shè)對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍．解：〔1〕由，得，解得．……4分〔2〕，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．當(dāng)且時(shí)，，，．是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即；是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即．于是滿足題意的．綜上，的取值范圍為．……10分〔3〕當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，．即，對(duì)任意成立．因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值，由，得．故的取值范圍為．……16分【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)最值的求解，以及對(duì)數(shù)不等式的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性是解決此題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．〔23〕【2023年上海，理23，18分】假設(shè)無窮數(shù)列滿足：只要，必有，那么稱具有性質(zhì)．〔1〕假設(shè)具有性質(zhì)，且，，求；〔2〕假設(shè)無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；〔3〕設(shè)是無窮數(shù)列，．求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)〞的充要條件為“是常數(shù)列〞．解：〔1〕因?yàn)椋?，，．于是，又因?yàn)椋獾茫?分〔2〕的