2023年高考試題-數(shù)學(xué)理(江蘇卷)解析版

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔江蘇卷〕數(shù)學(xué)Ⅰ試題注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本本卷須知及各題答題要求1.本試卷共4頁(yè)，包含填空題〔第1題——第14題〕、解答題〔第15題——第20題〕.本卷總分值160分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本卷和答題卡一并交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與您本人是否相符.4.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照晤順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚.5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.6.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差一、填空題：本大題共14小題,每題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上.1.假設(shè)復(fù)數(shù)其中是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)的實(shí)部為▲.[解析]考查復(fù)數(shù)的減法、乘法運(yùn)算，以及實(shí)部的概念.-20.2.向量和向量的夾角為，，那么向量和向量的數(shù)量積=▲.[解析]考查數(shù)量積的運(yùn)算..3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為▲.[解析]考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.，由得單調(diào)減區(qū)間為.亦可填寫(xiě)閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間.4.函數(shù)〔為常數(shù),〕在閉區(qū)間上的圖象如下列圖，那么=▲.[解析]考查三角函數(shù)的周期知識(shí).，，所以.5.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度〔單位：m〕分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，假設(shè)從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，那么它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為▲.[解析]考查等可能事件的概率知識(shí).從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10，它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的事件數(shù)為2，分別是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率為0.2.6.某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班67679那么以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為=▲.[解析]考查統(tǒng)計(jì)中的平均值與方差的運(yùn)算.甲班的方差較小，數(shù)據(jù)的平均值為7，故方差.7.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的▲.[解析]考查讀懂算法的流程圖的能力.22.8.在平面上，假設(shè)兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，那么它們的面積比為1：4.類似地，在空間內(nèi)，假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，那么它們的體積比為▲.[解析]考查類比的方法.體積比為1：8.9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為▲.[解析]考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算能力.，又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，,點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔-2，15〕.10.，函數(shù)，假設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，那么、的大小關(guān)系為▲.[解析]考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.，函數(shù)在R上遞減.由得：m<n.11.集合，假設(shè)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中=▲.[解析]考查集合的子集的概念及利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)解不等式.由得，；由知，所以4.12.設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出以下命題：〔1〕假設(shè)內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，那么平行于；〔2〕假設(shè)外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，那么和平行；〔3〕設(shè)和相交于直線，假設(shè)內(nèi)有一條直線垂直于，那么和垂直；〔4〕直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直.上面命題中，真命題的序號(hào)是▲〔寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)〕[解析]考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理.真命題的序號(hào)是(1)(2).13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，那么該橢圓的離心率為▲.[解析]考查橢圓的根本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等.以及直線的方程.直線的方程為：；直線的方程為：.二者聯(lián)立解得：，那么在橢圓上，，解得：.14．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，假設(shè)數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，那么=▲.[解析]考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題的能力.等比數(shù)列的通項(xiàng).有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，=-9.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．〔本小題總分值14分〕設(shè)向量.〔1〕假設(shè)與垂直，求的值；〔2〕求的最大值；〔3〕假設(shè)，求證：∥.[解析]本小題主要考查向量的根本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得根本能力.16．〔本小題總分值14分〕如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.求證：〔1〕EF∥平面ABC；〔2〕平面平面.[解析]本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力.17．〔本小題總分值14分〕設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；〔2〕試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng).[解析]本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解能力.〔1〕設(shè)公差為，那么，由性質(zhì)得，因?yàn)椋?，即，又由得，解得?(2)〔方法一〕=,設(shè),那么=,所以為8的約數(shù).〔方法二〕因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù),又由〔1〕知為奇數(shù),所以.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意的正整數(shù)只有.18．〔本小題總分值16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，圓和圓.〔1〕假設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；〔2〕設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等.試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).[解析]本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式等根底知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力.(1)由于直線與圓不相交，所以直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理得圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得化簡(jiǎn)得：求直線的方程為：或，即或(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：，即因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等,兩圓半徑相等,所以圓心到直線與圓心直線的距離相等.故有，化簡(jiǎn)得關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有解之得點(diǎn)P坐標(biāo)為或.經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)或滿足題目條件.19.(本小題總分值16分)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件本錢(qián)為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，那么他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，那么他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，那么他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為.現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢(qián)分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢(qián)分別為3元和20元.設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為.(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；(2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問(wèn)能否適中選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由.[解析]本小題主要考查函數(shù)的概念、根本不等式等根底知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力.設(shè)(1)，當(dāng)時(shí)，可得〔2〕當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).因此當(dāng)時(shí)，甲乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為.〔3〕20．(本小題總分值16分)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)假設(shè)，求的取值范圍；(2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式的解集.[解析]本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等根底知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力.〔1〕假設(shè)，那么〔2〕當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上〔3〕時(shí),得,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，△>0，得討論得：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.注：〔2〕或：分討論〔3〕可令，根據(jù)圖象可分以下三種情況討論：；，再比較；，再分.數(shù)學(xué)Ⅱ〔附加題〕參考公式：21.[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選修4-1：幾何證明選講如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.[解析]此題主要考查四邊形、全等三角形的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力.證明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，從而∠CAB=∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA.因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD.B.選修4-2：矩陣與變換求矩陣的逆矩陣.[解析]此題主要考查逆矩陣的求法，考查運(yùn)算求解能力.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為那么即故解得,從而A的逆矩陣為.C.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程曲線C的參數(shù)方程為〔為參數(shù)，〕.求曲線C的普通方程.[解析]此題主要考查參數(shù)方程和普通方程的根本知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力.解：因?yàn)樗怨是€C的普通方程為：.D.選修4-5：不等式選講設(shè)≥＞0,求證：≥.[解析]此題主要考查比較法證明不等式的常見(jiàn)方法，考查代數(shù)式的變形能力.總分值10分.證明：因?yàn)椤荩?,所以≥0，＞0，從而≥0，即≥.[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.22.〔此題總分值10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在軸上.〔1〕求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕求過(guò)點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；〔3〕設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)