邏輯與公理化系統(tǒng)

第一講數(shù)理邏輯與公理化系統(tǒng)邏輯是人通過概念、判斷、推理、論證來理解和區(qū)分客觀事物的思維過程，邏輯思維，人們在認識過程中借助于概念、判斷、推理等思維形式能動地反映客觀現(xiàn)實的理性認識過程，又稱理論思維。它是作為對認識著的思維及其結(jié)構(gòu)以及起作用的規(guī)律的分析而產(chǎn)生和發(fā)展起來的。只有經(jīng)過邏輯思維，人們才能達到對具體對象本質(zhì)規(guī)定的把握，進而認識客觀對象。它是人的認識的高級階段，即理性認識階段。概念是反映事物內(nèi)的本質(zhì)屬性及其分子的的思維形式，是抽象的、普遍的想法、觀念或充當(dāng)指明實體、事件或關(guān)系的范疇或類的實體。其特征是概念的內(nèi)涵（內(nèi)容）和外延（包含在概念中的事物）；判斷的特征是對事物有所斷定且有真假；演繹推理的特征是如果前提真，則結(jié)論真；（數(shù)學(xué)的邏輯推理通常是演繹推理）定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方式，是用簡潔的語詞揭示概念反映的對象特有屬性和本質(zhì)屬性。定義的基本方法是“種差”加最鄰近的“屬”概念。定義的規(guī)則：一是定義概念與被定義概念的外延相同；二是定義不能用否定形式；三是定義不能用比喻；四是不能循環(huán)定義。劃分是明確概念全部外延的邏輯方法，是將“屬”概念按一定標(biāo)準(zhǔn)分為若干種概念。劃分的邏輯規(guī)則：一是子項外延之和等于母項的外延；二是一個劃分過程只能有一個標(biāo)準(zhǔn)；三是劃分出的子項必須全部列出；四是劃分必須按屬種關(guān)系分層逐級進行，不可以越級。數(shù)學(xué)中的邏輯除了上述特點之外，更重要的是定量的刻畫客觀事物，在這一過程中，集合是一個基本的概念，它通過集合中的一些關(guān)系將事物量化。將具有某種確定的特性的事物的全體稱為一個集合。在數(shù)學(xué)中，在邏輯量化過程中，會用到量詞。量詞是命題中表示數(shù)量的詞，分為全稱量詞和存在量詞。全稱量詞斷定所有的個體都具有相關(guān)謂詞所表示的性質(zhì)或關(guān)系，相當(dāng)于自然語言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量詞斷定存在（即至少有一個，但不一定是每一個）個體具有相關(guān)謂詞所表示的性質(zhì)或關(guān)系，相當(dāng)于自然語言中的“有的”、“有”、“至少有一個”、“找得到一個”等。符號表示為V（任一）表示全稱量詞，3（存在）表示存在量詞，在數(shù)學(xué)中主要有以下幾種形式：Vx,F（x）表示任一x具有性質(zhì)F；3x,F（x）表示存在x具有性質(zhì)F（滿足條件F）；VxVy,G（x，y）表示任一■x和任一■y具有關(guān)系G（滿足條件G）；Vx3y,G（x,y）表示對任一x,存在y,使得x,y具有關(guān)系G（滿足條件G）；3xVy,G（x,y）表示存在x,對任一y,使得x,y具有關(guān)系G（滿足條件G）；3x3y,G（x,y）表示存在x,存在y,使得x,y具有關(guān)系G（滿足條件G）；復(fù)雜的命題或定理、定義是由這幾種形式的組合,其一般形式為：pq,pq, ,pq使得q成立。1122 nn n+1其中p(i=1,2,…,n)為邏輯符號V或3；q(i=1,2,…,n,n+1)為數(shù)學(xué)表達式。ii例1設(shè)a,bgR.證明：若對任何正數(shù)e有a<b+￡，則a<b.證明(反證)若結(jié)論不成立，則根據(jù)實數(shù)的有序性，必有a>b.令e二a-b，則e>0且a=b+e,這與題設(shè)a<b+e矛盾，從而a<b.數(shù)學(xué)的定義都是用邏輯的量化形式給出來的，例如極限的定義數(shù)列極限定義：設(shè)｝是一個數(shù)列，a是一個確定的實數(shù)(3agR)，nVe>0,3NgN，當(dāng)n>N時(Vn>N)，有a一a|<e,則稱a是數(shù)列｛a｝的極限，+ n n此時也稱數(shù)列b｝收斂于a。n定義中，數(shù)列｝在條件：a是一個確定的實數(shù)(3agR)，Vs>0,3NgN，當(dāng)n +n>N時(Vn>N)下的性質(zhì)是|a-a|<e。n為了更好地理解定義，從反面看一個數(shù)列不收斂，這需要對偶法則。公理系統(tǒng)：從一些公理出發(fā)，根據(jù)演繹法，推導(dǎo)出一系列定理，這樣形成的演繹系統(tǒng)叫做公理系統(tǒng)。歐氏幾何學(xué)是一個古典的公理系統(tǒng)；現(xiàn)代公理系統(tǒng)的特征：一是嚴(yán)格性；二是選定公理所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)(不是自明的)。形式系統(tǒng)是一個完全形式化了的公理系統(tǒng)，系統(tǒng)包括各種初始符號、形式規(guī)則、公理、變形規(guī)則。公理4個：第一公理：重言律((pVP)Tp).第二公理：V引入律(pT(pvq)).第三公理：析取交換律((pVq)T(qvp).第四公理：((qTr)T((pVq)T(pVr)).變形規(guī)則：一、代入規(guī)則；二、分離規(guī)則；三、置換規(guī)則推演規(guī)則(8條)，重點介紹求否定規(guī)則與對偶規(guī)則求否定規(guī)則：設(shè)E為一公式，其中T和0不出現(xiàn)，其否定式E-可用以下方法直接得到V被代以A.A被代以V.不出現(xiàn)于部分公式「兀中的兀被代以「?！肛１淮载?對偶規(guī)則：設(shè)A,B為兩個公式，在其中T和0不出現(xiàn)，A*和B*是A,B中把V和a互換的結(jié)果，有(1)從卜ATB，可得卜B*TA*.（2） 從卜A分B，可得卜B*分A*.注意：求否定規(guī)則實質(zhì)上是數(shù)學(xué)中的求否命題，對偶規(guī)則的本質(zhì)是命題與其逆否命題等價；由此可以給出對偶法則：設(shè)命題P為“PQ,PQ，…,PQ使得Q成立?！眲t為了TOC\o"1-5"\h\z1122 NN N+1得到P的否命題的正面敘述，只要將“PQ,PQ，…,PQ使得Q成立。中的邏輯符號1122 NN N+1P（I=1,2,…,n）從V（3）改為3（V），并將Q改為它的否定形式即可。i N+1例2定義數(shù)列｝發(fā)散：Va,玉，VN,Bn>N，使得|a一a|>￡.n 0 n 0例3數(shù)集A無上界。先看數(shù)集A有上界：BM,VxgA，有x<M.則由對偶法則，數(shù)集A無上界：VM,BxgA，有x>M.公理系統(tǒng)的作用在于，從一些公理或推演規(guī)則出發(fā)，把某一范圍內(nèi)的真命題推演出來因此公理系統(tǒng)要求有兩個重要性質(zhì)，一是完全性（完備性），即從公理出發(fā)，能推出多少，是否完全；二是一致性（無矛盾性），即有沒有邏輯矛盾，是否一致。一致性定義有幾種，一般介紹以下三種：一、 古典定義：一公理系統(tǒng)是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，不存在任何公式A，A和非A都在這個系統(tǒng)里可證。二、 語義定義：一公理系統(tǒng)是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，一切在這系統(tǒng)里可證的公式都是真的。三、 語法定義：一公理系統(tǒng)是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，并非任一合式公式都在這系統(tǒng)里可證。完全性定義有以下三種：一、 語義定義：一公理系統(tǒng)是完全的，當(dāng)且僅當(dāng)，一切屬于某一特定范圍內(nèi)的真命題都是在這個系統(tǒng)里可證的。二、 語法定義：一公理系統(tǒng)是完全的，當(dāng)且僅當(dāng)，如果把一個推演不出的公式作為公理，其結(jié)果，所得的系統(tǒng)就不一致。三、 古典定義：一公理系統(tǒng)是完全的，當(dāng)且僅當(dāng)，對于任一合式公式A，或者A是可證的，或者非A是可證的。獨立性定義：一公式集合M是獨立的，如果M中任一公式A都不能根據(jù)給定的推演規(guī)則從M中其它公式推演出來。不同命題的邏輯：（1） 古典邏輯（二值邏輯：真或假，具有排中律）；（2） 多值邏輯（變項和公式的值不止一項）；（3） 模態(tài)邏輯；（4） 構(gòu)造性邏輯（真假概念是與構(gòu)造的可實現(xiàn)性相聯(lián)系的，排中律失效）附錄：數(shù)理邏輯發(fā)展簡史數(shù)理邏輯的五個特征：第一，數(shù)理邏輯是邊緣性的學(xué)科，在它的范圍內(nèi)，邏輯內(nèi)容和數(shù)學(xué)的內(nèi)容常常交織在一起；第二，從邏輯角度考慮，數(shù)理邏輯是研究演繹方法的科學(xué)。演繹方法包括演繹推理和以演繹為基礎(chǔ)的證明和公理方法。第三，在方法方面，數(shù)理邏輯使用了特制的符號語言并且在不同部分引用了不同程度的數(shù)學(xué)方法，隨著數(shù)理邏輯的進展，還出現(xiàn)了一些新方法，如形式化方法、算術(shù)化方法遞歸論和模型論方法等。第四，數(shù)理邏輯的很大部分內(nèi)容已經(jīng)成長為數(shù)學(xué)的分支。第五，數(shù)理邏輯的邏輯方面是現(xiàn)代的形式邏輯。狹義的數(shù)理邏輯：用數(shù)學(xué)方研究數(shù)學(xué)中的演繹思維和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)科；廣義的數(shù)理邏輯：包括一切用特制符號和數(shù)學(xué)方法來研究處理演繹方法的理論，有時也稱為符號邏輯（1881年英國邏輯學(xué)家J.Venn提出）。數(shù)理邏輯的發(fā)展階段從17世紀(jì)末萊布尼茨起至今有三百年歷史。第一階段，開始用數(shù)學(xué)方法研究和處理形式邏輯的時期，初始階段。在本階段里，用數(shù)學(xué)方法研究思維規(guī)律的想法開始被提出。從17世紀(jì)70年代的萊布尼茨到19世紀(jì)末布爾（英國）、德摩根（英國）、施羅德（德國）約200年，其成果是邏輯代數(shù)和關(guān)系邏輯。萊布尼茨是數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人，他相信邏輯，更推崇數(shù)學(xué)方法。他認為，數(shù)學(xué)之所以能如此迅速的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識之所以能如此有效，就是因為數(shù)學(xué)使用了特制的符號語言，這種符號為表達思想提供了優(yōu)良的條件。他在數(shù)理邏輯方面的貢獻：一是成功地將命題形式表達為符號公式；二是構(gòu)成了一個關(guān)于兩個概念相結(jié)合的演算。布爾是一個自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，1844年發(fā)表論文《關(guān)于分析中的一個普遍方法》1849年被聘為愛爾蘭考克城皇后學(xué)院的教授。他的邏輯著作《邏輯的數(shù)學(xué)分析》（1847）和《思維規(guī)律的考察》（1854），布爾的目的是構(gòu)造一個演繹思維演算，他的指導(dǎo)思想是邏輯關(guān)系和某些數(shù)學(xué)運算甚為類似，代數(shù)系統(tǒng)有不同的解釋，把解釋推廣到邏輯領(lǐng)域，就可以構(gòu)成一思維的演算。1833年GPeacock（1791—1858）提出了所謂的“形式永久性原則”他們把代數(shù)學(xué)看作為一種關(guān)于符號及其組合規(guī)律的科學(xué)，代數(shù)定理只依據(jù)于符號所遵守的組合規(guī)律，而與符號所涉及的內(nèi)容無關(guān)。布爾在《思維規(guī)律的考察》中說，思維的運算和代數(shù)的運算，他們的“規(guī)律必須獨立地確定是否成立；它們之間的任何形式的相符只能通過比較然后才能建立起來?！备鶕?jù)以上思想，布爾構(gòu)成了一個抽象代數(shù)系統(tǒng)，對于這個系統(tǒng)，他給出了四種解釋：一種是類的演算，兩種是命題的演算，一種是概率的演算。19世紀(jì)后期德國數(shù)學(xué)家施羅德將布爾代數(shù)構(gòu)成一個演繹系統(tǒng)。英國數(shù)學(xué)家德摩根是第一個提出關(guān)系邏輯理論的人，他提出了域論的概念，德摩根定理是邏輯學(xué)上的一個重要定理。第二階段，19世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展提出了研究數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的必要性。數(shù)理邏輯適應(yīng)數(shù)學(xué)的需要，聯(lián)系數(shù)學(xué)實際，在60年的時間內(nèi)奠定了它的理論基礎(chǔ)，創(chuàng)立了特有的新方法，取得了飛躍的發(fā)展，成為一門新科學(xué)，主要包含以下四個方面：（1）集合論的創(chuàng)立。在19世紀(jì)70年代，德國數(shù)學(xué)家GCantor由于數(shù)學(xué)理論的需要，創(chuàng)立了集合論，奠定了以后發(fā)展的基礎(chǔ)。集合論是關(guān)于無窮集合和超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論；數(shù)學(xué)里遇到的無窮有：無窮過程、無窮小、無窮大。中國古代和西方希臘時期，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)接觸到無窮過程和無窮小，可是還不能掌握其規(guī)律，對他們沒有本質(zhì)的認識。17世紀(jì)微積分出現(xiàn)以后，用到了無窮小增量，引起了對無窮小的討論及唯心主義的攻擊（英國哲學(xué)家、牧師GBerkeley在《分析學(xué)家》中寫到：“這些消失的增量究竟是什么呢？它們既不是有限量，也不是無窮小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠?？?9世紀(jì)20年代，A.L.Cauchy明確了諸如收斂性、極限等許多概念，建立了極限理論，使得人們對無窮過程才有了本質(zhì)的認識。但直到20世紀(jì)60年代通過模型論的方法，即非0又非有限數(shù)量的無窮小量才重新得到肯定，并在此基礎(chǔ)上建立了非標(biāo)準(zhǔn)分析。無窮集合的分類——比如狄立克萊函數(shù)（分類是必要的）；多維連續(xù)統(tǒng)：發(fā)現(xiàn)兩個不同的無窮集——自然數(shù)集合和連續(xù)統(tǒng)（實數(shù)集合）更大的無窮（更大的序數(shù)——基數(shù)的擴大）康托爾定理：2a>a.良序定理，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)——至今未證明；實（在）無窮與潛（在）無窮，康托爾的觀點：（1）數(shù)學(xué)理論必須肯定實無窮；（2）不能把有窮所具有的性質(zhì)強加于無窮，無窮有其固有的本質(zhì)；（3）有窮的認識能力可以認識無窮，哲學(xué)的無窮和數(shù)學(xué)的無窮。（2）公理化方法的發(fā)展。公理方法的應(yīng)用是從公元前約300年歐幾里得的《幾何原本》開始的，從《幾何原本》到1899年希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》共經(jīng)歷了2300多年，從不成熟的實質(zhì)公理學(xué)發(fā)展到具有豐富方法論的形式公理學(xué)的邏輯理論，這為20世紀(jì)公理方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究開辟了道路。實質(zhì)公理學(xué)，公理學(xué)所處理的對象已先于公理而給定。《幾何原本》，牛頓力學(xué)都是實質(zhì)公理學(xué)；形式公理學(xué)并不要求先給定某一類具體的對象。（3） 邏輯演算的建立19世紀(jì)70年代至20世紀(jì)初，為了探究數(shù)學(xué)科學(xué)的性質(zhì)和數(shù)學(xué)思維的規(guī)律，經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家弗雷格、意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾、英國邏輯學(xué)家數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家羅素的努力，建立了一個初步自足的完全的邏輯演算。（4）證明論的提出及其后果19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究獲得了三方面的重要成就：（1）康托爾創(chuàng)建了集合論，加深了對實無窮的認識；（2）希爾伯特發(fā)展了形式公理化方法；（3）弗雷格和皮亞諾給出了一個完全的邏輯演算。出現(xiàn)的一些帶根本性質(zhì)問題：（1）是否有實無窮？（2）如何解決康托爾的“一切集合的集合”的悖論？（3）如何論證一個關(guān)于基本數(shù)學(xué)理論的形式公理系統(tǒng)，如實數(shù)系統(tǒng)的一致性？（4）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么？（5）數(shù)學(xué)能否建立在邏輯之上？對這些問題的爭論，形成了不同的數(shù)學(xué)學(xué)派：直覺主義，構(gòu)造主義直覺主義學(xué)派的創(chuàng)始人是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾，主張直覺或直接感知是認識的根本來源，是必然性知識的保證。構(gòu)造主義學(xué)派主張，自然數(shù)及其某些規(guī)律，特別是數(shù)學(xué)歸納法，是數(shù)學(xué)最根本的和直觀上最可信的出發(fā)點，其他一切數(shù)學(xué)對象必須能從自然數(shù)構(gòu)造出來，否則就不能作為數(shù)學(xué)對象。構(gòu)造主義不承認間接的存在性證明，存在就必須構(gòu)造得出來——排中律不是普遍有效。第三階段，1940年前后到70年代是數(shù)理邏輯的發(fā)展階段。本階段數(shù)理邏輯的主要內(nèi)容大致為：邏輯演算、證明論、公理集合論、遞歸論和模型論。重要結(jié)果：（1）1928年希爾伯特和阿克曼從邏輯演算中把謂詞演算分離出來并證明其一致性（；2）1930年歌德爾完全性定理；（3）1931年歌德爾的兩個不完全性定理；（4）能行性或機械過程的數(shù)學(xué)描述；（5）一些限制性定理的不可判定性。歌德爾的完全性定理：（1）狹謂詞演算的每一有效公式都可證；（2）狹謂詞演算的任一公式或者是可否證或者是可滿足的（而且是可數(shù)個體域可滿足的）；（3）一可數(shù)無窮多公式的系統(tǒng)是可滿足的當(dāng)且僅當(dāng)每一有窮子系統(tǒng)是可滿足的。歌德爾不完全性定理：一個包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，第一不完全性定理：如果該系統(tǒng)是一致的那么就是不完全的；第二不完全性定理：如果該系統(tǒng)是一致的那么其一致性在本系統(tǒng)中不可證。為此，數(shù)學(xué)分析需要的基本知識是什么？其公理化系統(tǒng)又是怎樣的？一、建立實數(shù)的原則與完備有序域有理數(shù)全體組成的集合Q，構(gòu)成一個阿基米德有序域，當(dāng)它擴充為實數(shù)集R之后，仍是一個阿基米德有序域。一個數(shù)域F構(gòu)成一個阿基米德有序域，指它滿足以下三個條件：(1)F是域(2種運算+,X，8條規(guī)則)；(2)F是有序域，定義序關(guān)系“<”滿足傳遞性、三歧性(加法乘法保序性)；(3)阿基米德性質(zhì)：F中的任意兩個正元素a,b，必存在正整數(shù)n，使得na>b.二、 戴德金分劃設(shè)有理數(shù)集Q的兩個子集A,A'滿足：(1)A,A'都不空；AA'二Q；VagA,a'gA'，都有a<a'，稱有序集合對(A,A')為Q的一個分劃(戴德金分劃)；并分別稱A,A'為下類和上類。有端(點)分劃——確定一個有理數(shù)；無端分劃——確定一個無理數(shù)。戴德金定理：設(shè)(A,A')為R的一個分劃，則或者A有最大元，或者A'有最小元。該定理與確界定理等價。三、 無限小數(shù)與實數(shù)回顧：(1)用無限小數(shù)定義實數(shù)；(2)無限小數(shù)的運算法則；(3)確界與確界定理例4實數(shù)的稠密性：Vx,ygR(x<y)，則在它們之間必有無窮多個實數(shù)，且有無窮多個有理數(shù)。四、 實數(shù)完備性等價命題(1)戴德金定理；(2)確界定理；(3)單調(diào)有界定理；(4)區(qū)間套定理；(5)有限覆蓋定理；(6)聚點定理；(7)苛西準(zhǔn)則關(guān)系：⑴o⑵二⑶二⑷二⑸二⑹二⑺n(2).(證明見備課本)(0.0)戴德金定理n確界定理證明只證明非空有上界的數(shù)集必有上確界，非空有下界數(shù)集必有下確界類似可證。設(shè)S為一非空有上界的數(shù)集，并令在R中的全體上界組成集合A'，記A二R\A'，從而(A,A')是R的一個分劃，且SuA.由戴德金定理，或者A有最大元，或者A'有最小元,記這個元為耳，下證耳二supS.

（1）VxeS，則x<n.(2)若耳丘S，貝山必是S的最小上界；若耳纟S,Vs>0，必有n-seA，事實上,若n-sea'，則n<n-s.這是不可能的。從而n-s不是s的上界。有確界的定義，n二sups.(1.0)確界定理=戴德金定理證明設(shè)R的任一分劃(a,A')，由于A'中每一個數(shù)皆為A的上界，故由確界定理，A有上確界Q二supA，又由分劃定義(AuA'二R)，a或者屬于A，或者屬于若aeA，則因VxeA,x<a，故a為A中最大元；若aeA'，則a必A'為中最小元。若不然，必定存在beA'，使得b<a；但由b是A的上界，(而1a)A的確界定理;，單調(diào)有界定理=^>證只證明單調(diào)增加有上界數(shù)列有極限，單調(diào)減少有下界數(shù)列有極限類似可以證明。設(shè)￡｝為遞增數(shù)列，且有上界。由確界定理，存在上確界,｝，下面證明a又是I的極a二supla$ a laJ限。nn存在/｝，使得存在/｝，使得ae\a)且a是｝的上界，，再由極限的定+ss>0，又橋｝是遞增數(shù)列，a>a-s 1a｝故當(dāng)N時有<<n>N a-s<a<a<a<a義有Nnlima=a.n(2)單調(diào)有界定理，閉區(qū)間套定理，證明設(shè)1ab]｝為一閉區(qū)間套，則￡｝為遞增數(shù)nn n

列，并以b為上界，因而存在極限「,，且b lima=g1 n?n123。同理￡｝為遞減數(shù)列，且有下界，<g,n二1,2,3,… lb/從而有n極限，又limb=lim（b一a）+lima=0+g=g<b,n=1,2,….n n n n nnT8nT8 nT8ge[a,b],n二1,2,….最后證明這樣的g是唯一的。（反證）若存在g另一個數(shù)乙'「bI12，則g'e[ab]n12…nng-g1<bng.3）閉區(qū)間套定理有限覆蓋定理證明（反證）設(shè)h=&時為閉區(qū)間[a.]的一個無限開覆蓋，假設(shè)不能用H中有限個開區(qū)間H來覆蓋「b]。[ab]把「b]等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個[ab]子區(qū)間“不能用H中有限個開區(qū)間覆蓋”記H這個子區(qū)間為[a,b]這個子區(qū)間為[a,b]u[a,b],b—a1111b—a再把[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間，同樣有其中至少一個子區(qū)間

不能用H中有限個開區(qū)間覆蓋”，記之為H[a[a,b],b—a2222b—a將上述步驟無限地進行下去，22.般有（1）[,][,],1,2,，[a,b]u[a,b],n二1,2,…n+1n+1 nn"2）lim（b一a）=lim_—=0.nn 2nnT8 nT8厶且每個「b]都“不能用H中有限個開區(qū)間覆[a,b] H蓋”于是￡,b]}構(gòu)成一個閉區(qū)間套，由閉區(qū)間套定理，存在唯一一點「b]12但因ge[a,b],n二1,2,….它必含于H中某個開區(qū)間:⑺之內(nèi)。設(shè)ge[a,b] H （a,卩）?疋g}0，由（2）式，當(dāng)足夠大時，mm{g—a,p-g}>0 n就有[a,b]uU（g,￡）u（a,p）.nn這說明當(dāng)足夠大時，[b]只需要H中一個開n [a,b] H區(qū)間就能將它覆蓋，這與構(gòu)造「b]的假設(shè)“不[a,b]能用H中有限個開區(qū)間覆蓋”相矛盾。所以，H必存在H的某一有限子集就能覆蓋「b].H [a,b]（4）有限覆蓋定理聚點定理證明設(shè)S為實軸上有界無限點集，故存在，使得這樣，若有聚點，由極限M> Su[-M,M]. S的保序性知聚點必定在[MM]中。現(xiàn)在用反證[-M,M]法證明聚點的存在。假設(shè)[MM]中任一點都不是S的聚點，則對每[—M,M] S一個[MM]，必有相應(yīng)的「使得在U（5）內(nèi)xe[—M,M] 5 U（x,6）至多只有一點S。于是，這樣的鄰域的全體xeS

形成對閉區(qū)間[MM1的一個無限開覆蓋:[-M,M]H二｛U(x,5)1xe[-M,M]｝.x由有限覆蓋定理，H中存在有限個開區(qū)間HH*二｛U(x,5)|i二1,2,…,K｝uHixi便能覆蓋[MM]，當(dāng)然也覆蓋S，從而S中至多[-M,M] S S只有K個點，這與S為無限點集相矛盾。所以KS在[,]中一定有的聚點。聚點定理有一個重要推論——致密性定理，致密性定理考慮的是數(shù)列極限及其子列極限的關(guān)系，在討論數(shù)列的極限時經(jīng)常用到。推論(致密性定理)有界數(shù)列必含有收斂的la.M,n=1,2,la.M,n=1,2,…，則必nM>0有數(shù)列橋｝的子列｛｝使得「)a/ a丿 lima=an nk kT8nk，則二a(5，則二a證明必要性若數(shù)列橋｝收斂，設(shè)「TOC\o"1-5"\h\za limnnT8由極限的定義，0當(dāng)N時，有]Vs>0,BN>0n>N l是，對任何N，有n,m>Nla—aIMa—al+la—aIvs.nmn m所以柯西條件成立。充分性當(dāng)柯西條件滿足時，首先證明

橋}為有界數(shù)列。事實上，對于5N，當(dāng)1a} ￡二1,3NeN+n,時，有||||||1，從而|1|1||.令n>N,m=N IaI-IaI<Ia-aI<1 IaI<1+IaI.TOC\o"1-5"\h\z1 1n N1/則有n N1M=max{laI,IaI,…,IaI,IaI+1} 、12 N1-1 N1Ial<M,n二1,2,….n由于￡｝為有界數(shù)列，故由致密性定理，n，下面證明n，下面證明￡｝也n在收斂的子列｛｝，設(shè)lima=ank ksnk以為極限。由柯西條件與收斂的定義時，有V￡>0,3K>Nk,n,m由柯西條件與收斂的定義時，有V￡>0,3K>Nk,n,m>KIa-aI<^Ian nk2就有nkI￡，因此當(dāng)一aI< .2K，同時有>kK，n>K n>k>KkIa-aI<Ia-aIn