材料力學(xué)第五章 梁彎曲時的位移

第五章

梁彎曲時的位移◆

梁的位移——撓度及轉(zhuǎn)角◆

梁的撓曲線近似微分方程及其積分◆

按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角◆

奇異函數(shù)·梁撓曲線的初參數(shù)方程◆

梁的剛度校核·提高梁的剛度的措施◆

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能當(dāng)梁發(fā)生對稱彎曲時，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎成一條平面曲線。§5-1

梁的位移

—撓度和轉(zhuǎn)角光滑連續(xù)曲線——線位移——角位移梁的位移撓度w轉(zhuǎn)角q撓曲線w=f

(

x

)小變形情況下：f

=

tanq

≈q撓曲線方程（撓度方程）q

=

f

(x

)

轉(zhuǎn)角方程圖示坐標(biāo)下：w向下為正，

q

順時針轉(zhuǎn)為正。高等數(shù)學(xué)：梁中性層的曲率：§5-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分＝1r

(x)M(x)E

Iz=±1r

(x)w（1＋

w

）23/2M

＜0，w

＞0M

＞0，w

＜0=M(x)E

Iz±w（1＋

w

）23/2取負(fù)號!撓曲線微分方程撓曲線近似微分方程小變形=M(x)E

Iz－w（1＋

w

）23/2w（1＋

w

）23/2=M(x)E

Iz－w=M(x)E

Iz－等直梁：E

I

w

＝－

M(x)E

I

為常量積分常數(shù)由邊界條件、連續(xù)條件確定積分法wA

＝0wB

＝0wA

＝0qA

＝0撓曲線上某些點的已知位移（撓度和轉(zhuǎn)角）條件

——

邊界條件邊界條件

——

支座處的約束條件撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角——

連續(xù)條件當(dāng)彎矩方程需要分段建立時，在相鄰梁段的交接處，應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角。錯！錯！約束條件連續(xù)條件邊界條件本教材中例1：懸臂梁在自由端受集中力F作用，試求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。設(shè)梁的彎曲剛度為

EI。P160例5-1積分x

=

0

時：邊界條件例2：簡支梁在D點受集中力F

作用，試求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大撓度。設(shè)梁的彎曲剛度為

EI。P162例5-3FAFBxxAD段（

0≤

x

≤

a

）：DB段（

a

≤

x

≤

l

）：AD段（

0≤

x

≤a

）：DB段（

a

≤

x

≤

l

）：x

=

a

時：連續(xù)條件x

=

l

時：x

=

0

時：邊界條件確定積分常數(shù)AD段（

0≤

x

≤a

）：DB段（

a

≤

x

≤

l

）：可以證明：當(dāng)a

＞b

時，梁最大撓度發(fā)生在AD段。而對于受任意荷載的簡支梁，若撓曲線上無拐點，則可用梁中點的撓度代替最大撓度。wC

與

wmax

非常接近，最大誤差2.65％。

例3：懸臂梁如圖，已知F、a，M＝0.5

Fa，梁的彎曲剛度

EI

為常數(shù)，試畫出撓曲線的大致形狀。ABCDaaaF

MABCDaaaF

MxyM

圖－0.5Fa0.5Fa＋HM＜0，撓曲線上凸；M＞0，撓曲線下凸；H

為撓曲線的拐點；M＝0，撓曲線為直線。例4：已知一直梁的撓曲線方程為試求：①端點（

x

＝0

及

x

＝l

）的約束情況；

②畫彎矩圖、剪力圖；③荷載情況，并畫出梁的簡圖。反問題正問題固定鉸支座活動鉸支座固定端活動鉸支座拋物線直線FS

圖（q0l

）－＋3858M

圖（q0l

2

）189128－＋q018q0l

2FS

圖（q0l

）－＋3858189128－＋q0靜定梁（簡支梁）超靜定梁靜定梁？當(dāng)某一參數(shù)（如內(nèi)力、應(yīng)力、位移等）與荷載成線性關(guān)系時，疊加原理§5-3

按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角

多個荷載作用下引起的參數(shù)等于各個荷載單獨作用下所引起的參數(shù)的疊加。積分法撓度和轉(zhuǎn)角的普遍方程梁上荷載復(fù)雜時，須分段建立彎矩方程，積分常數(shù)成倍增長，確定積分常數(shù)十分煩瑣。疊加法、奇異函數(shù)法（初參數(shù)法）、能量法等P372附錄Ⅳ求

wC

、qA+wC

(

q

)

、qA

(

q

)拆分wC

(F

)

、qA

(F

)

+疊加0.5

lABqwB

(q)

、qB

(q)

BC0.5

l+拆分求

wC

、qC變形位移wB(q)

qB(q)×0.5

l0.5

l0.5

lABCqqB(q)剛體位移疊加法不僅可將荷載拆開，進行上、下疊加；還可將梁拆開，進行左、右疊加。注意：①拆分時不能改變梁的受力情況；②疊加時不能改變梁的變形情況。

例：外伸梁受力如圖，已知

F、q、a，試用疊加法求梁自由端

C

的撓度。設(shè)梁的彎曲剛度為

EI。2

aaABCqF2

aABqaFBCFM+拆分wC

(F

)qB×aqB

=

qB

(

q

)

+qB

(

M

)wC

(F

)2

aaABCqF剛度條件一、梁的剛度校核§5-5

梁的剛度校核

提高梁的剛度的措施普通機床主軸：屋梁和樓板梁：吊車梁：鋼閘門主梁：

例：簡支梁橫截面由兩個槽鋼組成，受力如圖。已知

F1=120

kN、F2=30

kN、F3=40

kN、F4=12

kN；鋼[s

]=170MPa，[t

]=100MPa；E

=2.1×105MPa；梁[w

/

l]=

1

/

400。試選擇槽鋼的型號。P173例5-8SFAFBFSmax＝138kNMmax＝62.4kN·m①畫內(nèi)力圖②按正應(yīng)力強度條件選擇槽鋼型號查型鋼表(P370)要校核正應(yīng)力強度條件相對誤差為3％＜5％，滿足正應(yīng)力強度條件。，選用兩個

20a

號槽鋼。③

校核切應(yīng)力強度條件切應(yīng)力強度條件滿足查型鋼表（20a

號槽鋼）：④

校核剛度剛度條件滿足選用兩個20a

號槽鋼

bi為Fi離支座最近的距離C二、提高梁的剛度的措施梁的位移除與梁的支承和荷載情況有關(guān)外，還與下列因素有關(guān)：材料

——

與彈性模量

E

成反比截面

——

與慣性矩

I

成反比跨長

——

與跨長

l

的

n

次冪成正比①增大梁的彎曲剛度

EI②調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)FqqABqAB縮短跨長增加約束超靜定結(jié)構(gòu)OqMe①純彎曲§5-6

梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能②橫力彎曲