三個重要不等式及應(yīng)用

三個重要不等式及應(yīng)用目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯西不等式及其應(yīng)用重點：三個不等式的應(yīng)用難點：排序不等式的證明及綜合應(yīng)用1排序不等式設(shè)有兩組數(shù)，滿足，則有（順序和）

（亂序和）

（逆序和）其中是的一個排列，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立證明：先證左端設(shè)亂序和為

Ｓ，要Ｓ最大我們證明必須配，配，，配設(shè)配，配某個，則有這是因為同理可證必配，必配，，必配所以再證右端又由以上證明結(jié)論(亂同)可得，于是有當(dāng)且僅當(dāng)或時，等號成立．證畢．例1（1935年匈牙利奧林匹克）假設(shè)是正數(shù)的某個排列，證明：證明不妨設(shè)，則由排序不等式(亂序逆序)得，

即在不等式證明中，柯西不等式與排序不等式往往相結(jié)合，證題時可能一題多解，也可能同時應(yīng)用以上兩個不等式.例2（第20屆IMO試題）設(shè)是個互不相等的自然數(shù)，證明：證明設(shè)是的一個排序，且又由逆序和＜亂序和得，又因為所以當(dāng)，時，等號成立.即2.均值不等式設(shè)是正實數(shù)，則即，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立證明設(shè)，則為內(nèi)的上凸函數(shù)由琴生不等式，得：所以對于這N個正數(shù)，應(yīng)用得所以所以成立，故證畢.

此外，均值不等式還可用排序不等式、數(shù)學(xué)歸納法等其它方法證明。例1設(shè)為正整數(shù)，且，滿足求證：，并確立等號成立的條件?證明：令由均值不等式，得：由均值不等式，得：從而不等式成立從而不等式成立故，當(dāng)且時不等式成立.例2是一給定三角形的三個內(nèi)角，求證：證明：由均值不等式，有其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立再由均值不等式及琴生不等式有：其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立證畢.3.柯西不等式設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立

證明（數(shù)學(xué)歸納法）（1）當(dāng)全為零時，命題顯然成立.

(2)當(dāng)數(shù)組不全為零時，采用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=1時不等式成立2）設(shè)當(dāng)時，不等式成立.令則有3）那么當(dāng)n=k時

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立綜上述，對例1設(shè)都是正數(shù)，且

求證

：證明由柯西不等式有又例2給定正數(shù)n與正數(shù)M，對于滿足條件的等差數(shù)列

試求的最大值解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則

（1）（2）所以由（1）知代入（2）得由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)都滿足時，上式等號成立由此得時，例3設(shè)（）都是正數(shù)，且求證：證明：由柯西不等式，有：由于對n個整數(shù)，，所以