賦范線性空間和巴拿赫空間

賦范線性空間和巴拿赫空間§8教學(xué)目標(biāo)：1掌握賦范線性空間和巴拿赫空間的定義

2掌握Holder不等式和Minkowski不等式的內(nèi)容3掌握三個(gè)定理的內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：

三個(gè)定理的內(nèi)容

教學(xué)難點(diǎn)：

Holder不等式和Minkowski不等式的內(nèi)容課型：新課型教學(xué)方法：講解法定義1:設(shè)X是實(shí)(或復(fù))的線性空間,如果對每個(gè)向量有一個(gè)確定的實(shí)數(shù),記為與之對應(yīng),并且滿足:(1).(2).其中為任意實(shí)(復(fù))數(shù);(3).則稱為向量的范數(shù),

稱x按范數(shù)成為賦范線性空間.設(shè){}是x中的點(diǎn)列,如果存在使則稱

依范數(shù)收斂于記為如果令容易驗(yàn)證是x上的距離,且依范數(shù)收斂于等價(jià)于按距離收斂于稱為由范數(shù)導(dǎo)出的距離.完備的賦范線性空間稱為Banach(巴拿赫)空間.例1:歐氏空間,對每個(gè)定義（3）如果令=,則即為中歐幾里得距離,且滿足(1)中條件(a)及(b),由此可知是中范數(shù),又因完備,故按(3)中范數(shù)成Banach空間.例2:空間對每個(gè),定義（4）容易證明按(4)中范數(shù)成為Banach空間.例3:空間對每個(gè),定義（5）不難驗(yàn)證按(5)中范數(shù)成為Banach空間.例4:空間設(shè)是上實(shí)值可測函數(shù),,如果是上可積函數(shù),則稱是上方可積函數(shù),上方可積函數(shù)全體記為當(dāng)時(shí),即為上可積函數(shù)全體.在空間中,我們把兩個(gè)相等的函數(shù)視為中同一個(gè)元素而不加以區(qū)別,設(shè),因?yàn)樗?，是上可積函數(shù),即,至于關(guān)于數(shù)乘運(yùn)算封閉是顯見的.于是按函數(shù)通常的加法及數(shù)乘運(yùn)算成為線性空間.對每個(gè),定義（6）我們要證明當(dāng)時(shí),按成為Banach空間.為此,首先證明幾個(gè)重要的不等式.引理1:(Holder不等式)設(shè)那么在上可積,并且成立（7）證明:首先證明當(dāng)時(shí),對任何正數(shù)A及B,有（8）事實(shí)上,做輔助函數(shù),則,所以在(0,1)上,,在上因而是函數(shù)在上的最大值,即由此可得令,代入上面不等式,那么兩邊乘B,得到令,則于是上式成為如果(或),則于(或于),這時(shí),不等式(7)自然成立,所以不妨設(shè)做函數(shù)令代入不等式(8),得到（9）由(9)立即可知在[a,b]上L可積,由此可知f(t)g(t)也L可積,對(9)的兩邊積分,得到因此證畢.引理2:(Minkowski不等式)設(shè)那么,并且成立不等式（10）證明:當(dāng)時(shí),因,由積分性質(zhì)可知不等式(10)自然成立.如果,因?yàn)?所以由Holder不等式有類似對g也有因而（11）若,則(10)式顯然成立,若,則在(11)式兩邊除以得到由，得到證畢.

定理1:當(dāng)時(shí),按(6)中范數(shù)成為賦范線性空間.證明:滿足范數(shù)條件(1)及(2)是顯然的.又由Minkowski不等式,當(dāng)時(shí),對任何有,所以按成賦范線性空間.證畢.定理2:

是Banach空間.證明:設(shè){}是中柯西點(diǎn)列,由柯西點(diǎn)列的定義,存在正整數(shù),使當(dāng)時(shí),成立取,且使,則因此（12）但是因?yàn)槌?shù),由Holder不等式,成立所以級數(shù)(13)收斂,由級數(shù)形式的Levi定理,級數(shù)在[a,b]上幾乎處處收斂.因此,函數(shù)列在[a,b]上幾乎處處收斂于一可測函數(shù)f(t).下面證明因?yàn)閧}是中柯西點(diǎn)列,對于任何正數(shù),存在N,使當(dāng)

時(shí),,取足夠大的,使,于是當(dāng)時(shí),就有又因當(dāng)時(shí)函數(shù)列于[a,b],由Fatou定理得到是L可積函數(shù),并且有,這說明,且當(dāng)時(shí),.（14）又因

,而

,由于

是線性空間,所以

,由(14),

,這就證明了

是Banach空間.證畢.例5:空間

空間中也有類似的Holder不等式

空間一樣,在

和Minkowski不等式:,(Holder不等式)其中

,(

)

,(Minkowski不等式)

其中

由此

可知

按范數(shù)

成賦范線性空間,并且不難證明

完備.

定理3:設(shè)X是n維賦范線性空間,{

}是X的一組

基,則存在常數(shù)

M和

使得對一切

成立

.證明:對任意

,有

記

,則有

任取

,由上述不等式知

這說明,范數(shù)

是歐氏空間

上關(guān)于

的連續(xù)函數(shù).當(dāng)

位于

的單位球面S上,即實(shí)際上,若

,必有

,但

,從而

不全為0,

再由{

}是線性無關(guān)的,得到矛盾.這就是說

在S上處處不為0,

因S是

中有界閉集,f在S

上取得非零的最小值

,于是,對任意的

,于是

),且

這樣一來,

我們有

令

,即可得結(jié)論.證畢.推論1:設(shè)在有限維線性空間上定義了兩個(gè)范數(shù)

和

那么必存在常數(shù)M和

,使得

證明:我們記

,其中

由定理3可知,存在常數(shù)k和

,L和

有

將兩式綜合起來,令

即得結(jié)論.證畢.定義