2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若一條直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合直線的斜率公式求出該直線的斜率，即可求出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．32 B．16 C．15 D．8【答案】B【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，所以，整理得，，又所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．故選：B3．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用展開(kāi)前的底面圓的周長(zhǎng)和展開(kāi)后半圓的弧長(zhǎng)相等，列式求得底面半徑，再根據(jù)圓錐表面積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，∴，∴，，∴圓錐的表面積為．故選:C．4．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【詳解】試題分析：，,故選D.【解析】點(diǎn)線面的位置關(guān)系.5．我國(guó)明代數(shù)學(xué)家、音樂(lè)理論家朱載堉創(chuàng)立了十二平均律，他是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音樂(lè)公式化的人·十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，從第二個(gè)半音開(kāi)始每一個(gè)半音與前一個(gè)半音的頻率之比為同一個(gè)常數(shù)，如下表所示，其中，，…，表示這些半音的頻率，若半音G與的頻率之比為，則與A的頻率之比為（

）頻率半音CDEFGABC(八度)A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知：，又第二個(gè)半音開(kāi)始每一個(gè)半音與前一個(gè)半音的頻率之比為同一個(gè)常數(shù)，所以為等比數(shù)列，且，所以，所以．故選：B6．已知是雙曲線的一條準(zhǔn)線，是上的一點(diǎn)，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程求出與雙曲線的準(zhǔn)線方程，不妨設(shè)是右準(zhǔn)線，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，即可得解.【詳解】解：雙曲線，所以，，所以焦點(diǎn)為，，又雙曲線的準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)是右準(zhǔn)線，可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，由，即，解得．所以點(diǎn)到軸的距離為．故選：C7．等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解，【詳解】根據(jù)題意得，，解得，故，時(shí)，，故．故選：A8．已知圓，圓，過(guò)點(diǎn)兩條互相垂直的直線，，其中與圓交于A，B，與圓交于C，D，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先寫(xiě)出過(guò)定點(diǎn)的兩條直線方程，并求得圓心到對(duì)應(yīng)直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，，以及，列式求直線的斜率，最后求弦長(zhǎng)的值.【詳解】設(shè)，到直線AB，CD的距離分別為，，若過(guò)定點(diǎn)的直線分別為和，則，不滿足條件，當(dāng)兩直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線，斜率分別為，，則，直線，方程分別為，，由點(diǎn)到直線距離公式可得：,，又，，整理可得，所以．故選：A二、多選題9．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列，，成等比數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)比數(shù)列的定義，逐一判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，A.由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B.可知數(shù)列，，每項(xiàng)都不為0，且，故B正確．C.當(dāng)數(shù)列為1，，1，，1……時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D.數(shù)列，，的每一項(xiàng)都不為0，且，故D正確.故選：BD10．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤(pán)上，空盤(pán)時(shí)盤(pán)芯直徑為40mm，滿盤(pán)時(shí)直徑為120mm，已知該衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，為了求出滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度，下列做法正確的是（

）A．從底面看，可以將繞在盤(pán)上的衛(wèi)生紙看作一組同心圓，由內(nèi)向外各圈的半徑分別是20.0，21.1，…，59.9B．從底面看，可以將繞在盤(pán)上的衛(wèi)生紙看作一組同心圓，由內(nèi)向外各圈的半徑分別是20.05，20.15，…，59.95C．同心圓由內(nèi)向外各圈周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列D．設(shè)卷筒的高度為，由等式可以求出衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)【答案】BCD【分析】把繞在盤(pán)上的紙近似地看作是一組同心圓，從內(nèi)到外，半徑依次組成等差數(shù)列，分別計(jì)算出各圓的周長(zhǎng)，再由體積求總長(zhǎng)即可．【詳解】衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，可以把繞在盤(pán)上的衛(wèi)生紙近似地看作一組同心圓，取半徑時(shí)從每層紙的中間開(kāi)始算，則由內(nèi)向外各圈的半徑組成首項(xiàng)為20.05，公差為0.1的等差數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；這個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，由，得，解得；設(shè)各圈周長(zhǎng)的，則，，，所以各圈的周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為，項(xiàng)數(shù)為400的等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確；利用體積相等，可得，D選項(xiàng)正確．故選：BCD11．已知雙曲線，C的兩條漸近線分別為，，點(diǎn)為C右支上任意一點(diǎn)，它到，的距離分別為，，到右焦點(diǎn)的距離為，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】CD【分析】首先由點(diǎn)到直線的距離，以及兩點(diǎn)間距離，分別表示，并設(shè)右焦點(diǎn)到漸近線距離為，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷A；根據(jù)的式子，結(jié)合二次函數(shù)值域，可求的范圍，判斷B；結(jié)合基本不等式判斷C；利用數(shù)形結(jié)合判斷D.【詳解】由題可知，，，，設(shè)，右焦點(diǎn)到漸近線距離為，漸近線方程為：，，不妨設(shè)所對(duì)應(yīng)的直線分別為，，，，，，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；由圖可知，，故D正確；由雙曲線性質(zhì)，雙曲線無(wú)限接近漸近線，所以的最小值無(wú)限接近于0，所以無(wú)最小值，故A錯(cuò)誤；由雙曲線對(duì)稱性，，，所對(duì)應(yīng)的直線分別為，時(shí)仍成立．故選：CD12．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別為正方體中上、下底面的中心，，，，分別為四個(gè)側(cè)面的中心，由這六個(gè)中心構(gòu)成一個(gè)八面體的頂點(diǎn)，則（

）A．直線與直線所成角為 B．二面角的正切值為C．這個(gè)八面體的表面積為 D．這個(gè)八面體外接球的體積為【答案】ACD【分析】A.根據(jù)幾何關(guān)系，將異面直線所成角，轉(zhuǎn)化為相交直線所成角；B.構(gòu)造二面角的平面角，再根據(jù)余弦定理求解，轉(zhuǎn)化為正切值；C.根據(jù)幾何體的特征，計(jì)算一個(gè)等邊三角形的面積，再求八面體的表面積；D.由幾何體確定外接球的球心和半徑，再求外接球的體積.【詳解】A.連結(jié)，交于點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可知，點(diǎn)平分，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以直線與直線所成角為,因?yàn)榘嗣骟w的由8個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，所以，故A正確；B.取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，,由圖可知，八面體的表面是8個(gè)全等的等邊三角形，四邊形是正方形，所以，，所以是二面角的平面角，等邊三角形的邊長(zhǎng)為,所以,，所以,，所以，故B錯(cuò)誤；C.這個(gè)八面體的表面為8個(gè)全等的等邊三角形，等邊三角形的邊長(zhǎng)為可求得，所以八面體的表面積為，故C正確；D.八面體外接球的球心即為四邊形的中心，外接球的半徑為，八面體外接球的體積為，故D正確．故選：ACD三、填空題13．已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為_(kāi)_________．【答案】##【分析】由裂項(xiàng)相消法求解，【詳解】，的前8項(xiàng)和為．故答案為：14．已知數(shù)列的前項(xiàng)之和為，滿足，且，則時(shí)，__________．【答案】【分析】先得到是等比數(shù)列，求出，從而利用時(shí)，求出答案.【詳解】∵，，∴是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴時(shí)，．故答案為：.15．在正三棱錐中，O為底面的中心，，，，，分別在棱PA，PB，PC上，且，圓柱的上底面是的內(nèi)切圓，下底面在平面ABC內(nèi)，則圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_________．【答案】##【分析】首先根據(jù)比例關(guān)系計(jì)算正的邊長(zhǎng)，再計(jì)算其內(nèi)切圓半徑，以及圓柱的高，最后根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求解.【詳解】由，得，易得正的內(nèi)切圓半徑，易得圓柱的高為2，所以圓柱的側(cè)面積為.故答案為：四、雙空題16．已知V為圓錐頂點(diǎn)，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，過(guò)點(diǎn)A作與底面成的平面，此平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_________；離心率為_(kāi)_________．【答案】

【分析】首先作圖，找到橢圓的長(zhǎng)軸，根據(jù)幾何體，即可求解；首先找到短軸長(zhǎng)，再根據(jù)圓內(nèi)相交弦定理，求解短半軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求離心率.【詳解】設(shè)橢圓所在平面為，平面與母線VB交于點(diǎn)C，則就是與底面所成角，且AC為橢圓的長(zhǎng)軸，如圖所示，又是等邊三角形，由，，得，故，即橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．過(guò)橢圓中心O作平行于圓錐底面的截面圓形，交VA，VB于D，E，交橢圓于兩點(diǎn)P，Q，則P，Q即是橢圓短半軸頂點(diǎn)，在所作的圓中，DE為直徑，因?yàn)檩S截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O為AC的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)?，所以，由相交弦定理可得，所以短半軸長(zhǎng)，故，離心率為．故答案為：；五、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求；(2)若為與的等比中項(xiàng)，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知條件，列式后解方程組，求數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再求通項(xiàng)公式；（2）首先由題意得，，代入通項(xiàng)公式后，求.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，，解得，，所以，，.（2）由題意：，，即，化簡(jiǎn)得：，解之得或（舍），故.18．在正四棱錐中，已知，，，分別為，的中點(diǎn)，平面平面．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，即可得到，從而得到平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；（2）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，即可得到平面，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：連接，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴（2）解：連接交于點(diǎn)，連接，在正四棱錐中，四邊形為正方形，∴為正方形中心∴平面，又∵平面，∴，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，即AO為點(diǎn)到平面的距離，，在中，，所以，所以．19．已知數(shù)列滿足且，．(1)求通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式的分段形式，分別求為奇數(shù)和偶數(shù)的通項(xiàng)公式;（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，∴，為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴，為偶數(shù)∴；（2）記，相減得：∴20．已知橢圓的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求解橢圓方程；（2）法一，利用點(diǎn)差法，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，并求得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)；法二，首先設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo)，代入對(duì)稱直線求，再同法一，求弦長(zhǎng).【詳解】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點(diǎn)，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M(jìn)在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡(jiǎn)為：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長(zhǎng)公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點(diǎn)，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理知由弦長(zhǎng)公式得：．21．在正四棱柱中，已知，，E為棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明面；（2）首先證明平面平面，說(shuō)明為所求角，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】（1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)．在正四棱柱中，面ABCD，又∵ABCD，∴∵四邊形ABCD為正方形，∴又∵，，面，∴面，又∵面∴（2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面，又面面，∴為直線與平面所成的平面角，∵正四棱柱中，，，分別在，，中，解得，，所以，故與平面所成角的余弦值為．22．已知圓，拋物線，過(guò)原點(diǎn)作圓C的切線交拋物線于A，且．(1)求拋物線E的