數(shù)列極限與函數(shù)極限（沐風書苑）

數(shù)列的極限按一定次序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.可簡記為其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項,稱為通項(一般項).注:(1)數(shù)列可看作數(shù)軸上一個動點,它在數(shù)軸上依次取值(2)數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù):1沐風書苑i定義1設有數(shù)列與常數(shù)如果當無限增大時,無限接近于,則稱常數(shù)為數(shù)列收斂于,記為或如果一個數(shù)列沒有極限,就稱該數(shù)列是發(fā)散的.注:記號常讀作:當趨于無窮大時,趨于2沐風書苑i例1其收斂于何值.若收斂,下列各數(shù)列是否收斂,試指出解(1)數(shù)列即為易見,當無限增大時,也無限增大,故該數(shù)列是發(fā)散的;3沐風書苑i(2)解易見,當無限增大時,也無限接近0,故該數(shù)列收斂于;解(3)數(shù)列即為易見,當無限增大時,無休止地反復取兩個數(shù),而不會無限接近于任何一個確4沐風書苑i故該數(shù)列是發(fā)散的;定的常數(shù),(4)數(shù)列即為易見,當無限增大時,無限接近于,故該數(shù)列收斂于.5沐風書苑i函數(shù)極限的引入數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù):數(shù)列的極限為即:當自變量取正整數(shù)且無限增大時,對應的函數(shù)值無限接近數(shù)若將數(shù)列極限概念中自變量和函數(shù)值的特殊性撇開,可以由此引出函數(shù)極限的一般概念:在自變量的某個變化過程中,如果對應的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)則就稱為在該變化過程中函數(shù)的極限.顯然,極限是與自變量的變化過程密切相關6沐風書苑i自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限當定義2如果當?shù)慕^對值無限增大時，函數(shù)無限接近于常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)時的極限，記作如果在上述定義中，限制只取正無窮或負無窮即有7沐風書苑i則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極取限.注意到

意味著同時考慮可以得到下面的定理定理1極限的充分必要條件是8沐風書苑i例2

求極限解因為當?shù)慕^對值無限增大時，無限接近于0即函數(shù)無限接近于常數(shù)1,所以9沐風書苑i例3

討論極限觀察函數(shù)的圖形（見下圖）易知：所以極限不存在.當自變量的絕對值無限增大時，對應的函數(shù)值在區(qū)間[-1,1]上振蕩，不接近任何常數(shù)10沐風書苑i例4討論極限解當時，當時，所以不存在.11沐風書苑i自變量趨向有限值時函數(shù)的極限現(xiàn)在研究自變量無限接近有限值(即)時,函數(shù)的變化趨勢.定義3設函數(shù)在點的某一去心領域內有定義.如果當時,函數(shù)無限接近于常數(shù)則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限.記作或12沐風書苑i例5試根據定義說明下列結論:解(1)當自變量趨于時,顯然,函數(shù)也趨于故(2)當自變量趨于時,函數(shù)始終取相同的值故13沐風書苑i函數(shù)的左極限與右極限函數(shù)從左側(或右側)趨于當自變量時,趨于常數(shù),則稱為在點處的左極限(或右極限),記為或左極限和右極限的示意圖.注意到意味著同時考慮與可以得到下面的定理:14沐風書苑i定理2極限的充分必要條件是15沐風書苑i例6設求解因為即有所以不存在.16沐風書苑i內容小結1.數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義2.函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限函數(shù)的左極限與右極限17沐風書苑i極限運算法則定理設則(1)(2)(3)其中推論1如果存在,而為常數(shù),則即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2如果存在,而是正整數(shù),則18沐風書苑i例1求解注：設則有19沐風書苑i例2求解20沐風書苑i例3求解分子和分母的極限都是零.時,此時應先約去不為零的無窮小因子后再求極限.消去零因子法21沐風書苑i例4計算解不能直接使用商的極限運算法則.但可采用分母有理化消去分母中趨于零的因子.時,當22沐風書苑i定理2(復合函數(shù)的極限運算法則)設函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復合而成,若則且在的某去心鄰域內有注:若函數(shù)和滿足該定理的條件,則作代換可把求化為求其中定理2表明:23沐風書苑i例5計算解令因為則函數(shù)可視為由構成的復合函數(shù).且時所以24沐風書苑i例6計算解所以令則且25沐風書苑i第一重要極限26沐風書苑i例7求解27沐風書苑i例8求解原式28沐風書苑i例9求解29沐風書苑i利用單調有界準則可以證明這個等式.等式右端的其值為2.718281828459045數(shù)是數(shù)學中一個重要常數(shù),基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)下表有助于讀者理解這個極限.以及自然對數(shù)中的底就是這個常數(shù).

1221010001000001000001000002.252.5942.7172.71812.718122.71812830沐風書苑i例10求解31沐風書苑i例11求解令則時,于是注:本例的結果今后常作為公式使用.9.2832沐風書苑i例12求解33沐風書苑i例13解求34沐風書苑i內容小結1.掌握極限的四則運算法則設則2.會用復合函數(shù)的極限運算法求極限35沐風書苑i其中3.了解極限存在準則,掌握兩個重要極限及其應用36沐風書苑i無窮小的概念定義極限為零的變量稱為無窮小.例如:時的無窮小.函數(shù)是當時的無窮小.函數(shù)是當時的無窮小.函數(shù)是當注意:(1)無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆.(2)零是可以作為無窮小的唯一常數(shù).37沐風書苑i無窮小的運算性質性質1有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.例如,是無窮小,但個之和為1,不是無窮小.時,性質2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.例如

當時,變量都是無窮小.性質3性質4有限個無窮小的乘積也是無窮小.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.38沐風書苑i例1解所以,求因為而當時,是無窮小量,是有界量39沐風書苑i無窮大的概念定義2并記作(或)時,如果在函數(shù)的絕對值無限增大,為當則稱函數(shù)(或)時的無窮大.當(或)時為無窮大的函數(shù)按通常的意義來說,極限是不存在的.但為了敘述函數(shù)這一形態(tài)的方便,我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”,如果在定義中,將“函數(shù)的絕對值無限增大”40沐風書苑i無窮大舉例(1)當時,無限增大,故是當時的無窮大,即(2)當時,取負值無限減小,故是當時的負無窮大,即(3)當時,取正值無限增大,故當時是正無窮大,即41沐風書苑i無窮小與無窮大的關系無窮大與無窮小之間有著密切的關系.例如,當時,函數(shù)是無窮大,但其倒數(shù)則是同一變化過程中的無窮小;又如,當時,函數(shù)是無窮小,但其倒數(shù)則是同一變化過程中的無窮大.一般地,可以證明下列定理.定理2在自變量變化的同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小倒數(shù)為無窮大.根據這個定理,我們可將無窮大的討論歸結為關于無窮的討論.42沐風書苑i例2證求因又故由無窮小與無窮大的關系,得43沐風書苑i例3證求分子和分母的極限都是無窮大