數(shù)學(xué)物理方法課件《第一章復(fù)變函數(shù)》

第一節(jié)復(fù)數(shù)第一章復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)的概念

2.代數(shù)運算

3.共軛復(fù)數(shù)§1.1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算

一般,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。1.復(fù)數(shù)的概念

定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

復(fù)數(shù)的模

判斷復(fù)數(shù)相等定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱z=x-iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)1.點的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數(shù)表示法§1.1.2復(fù)數(shù)的表示方法1.點的表示點的表示：

數(shù)z與點z同義.2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時)輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時，輻角不確定。

計算argz(z≠0)

的公式

當(dāng)z落于一,四象限時，不變。

當(dāng)z落于第二象限時，加。

當(dāng)z落于第三象限時，減。

oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法注意.復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng)不同問題的需要.主輻角(輻角中的任一個)可唯一地標(biāo)識一個復(fù)數(shù),及要指明一個復(fù)數(shù)只需要主輻角即可,引入全輻角只是為了方便地表示某些運算的結(jié)果。固上例中的2Kπ均可去掉。

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。

定理1可推廣到n個復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）

1.復(fù)數(shù)的乘冪

2.復(fù)數(shù)的方根§1.1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。1.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。定義特別：當(dāng)|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。問題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。2.復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算

當(dāng)z≠0時，有n個不同的ω值與相對應(yīng)，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，

當(dāng)k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo第二節(jié)復(fù)變函數(shù)1.區(qū)域的概念

2.簡單曲線（或Jordan曲線)3.單連通域與復(fù)連通域§1.2.1區(qū)域與約當(dāng)曲線1.區(qū)域的概念鄰域設(shè)G是一平面上點集內(nèi)點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點。復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為或即，開集若G內(nèi)的每一點都是內(nèi)點，則稱G是開集。連通是指區(qū)域設(shè)D是一個開集，且D是連通的，稱

D是一個區(qū)域。D-區(qū)域內(nèi)點外點邊界與邊界點已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；D的所有邊界點組成D的邊界。P有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)

任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例4|z|<R（R>0）是單連通的區(qū)域；

0≤r<|z|≤R是多連通的，但不是區(qū)域。單連通域多連通域多連通域單連通域不是區(qū)域1.復(fù)變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射§1.2.2復(fù)變函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

例書8單值函數(shù)，例9多值函數(shù)，例10，11等又例例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的對應(yīng)關(guān)系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）3.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2

則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=

(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象。例1.函數(shù)的極限

2.運算性質(zhì)

3.函數(shù)的連續(xù)性§1.2.3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.函數(shù)的極限定義1.6uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當(dāng)變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預(yù)先給定的ε鄰域中

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復(fù)數(shù).