留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

§5.3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用一、形如的積分二、形如的積分三、形如的積分一、形如的積分方法(1)令則要求是

u,

v

的有理函數(shù)，即是以

u,

v

為變量的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。方法即是以

u,

v

為變量要求是

u,

v

的有理函數(shù)，一、形如的積分的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。其中，是在內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。(2)可知被積函數(shù)的分母不為零，因而積分是有意義的。解由及(1)令則P120例5.24解(2)函數(shù)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)：在內(nèi)，二階極點(diǎn)一階極點(diǎn)(注意：一階極點(diǎn)不在內(nèi))解(3)事實(shí)上，可直接用洛朗展開(kāi)的方法來(lái)求該點(diǎn)的留數(shù)。利用洛朗展開(kāi)求該點(diǎn)的留數(shù)解(3)(1)令則解由于為偶函數(shù)，記解有兩個(gè)一階極點(diǎn)：在內(nèi)，(2)(實(shí)數(shù))其中，P

(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高二次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。推導(dǎo)(略)

其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。要求(1)方法二、形如的積分(進(jìn)入推導(dǎo)?)

(1)令解(2)(3)在上半平面內(nèi)，i與3i為一階極點(diǎn)。P122例5.25在上半平面內(nèi)，a

i與bi為一階極點(diǎn)。(1)令解(2)(3)(1)記解在上半平面內(nèi)，為兩個(gè)一階極點(diǎn)。令(2)(3)三、形如的積分(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高一次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。其中，P

(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；要求(1)方法三、形如的積分其中，P

(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母

Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高一次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。要求(1)方法推導(dǎo)(略)

記為特別(進(jìn)入推導(dǎo)?)

在上半平面內(nèi)，1+3

i為一階極點(diǎn)。(1)令解(2)(3)(2)在上半平面內(nèi)，

i為一階極點(diǎn)，(1)令解(2)同理(3)附：關(guān)于第二、三型積分中有實(shí)孤立奇點(diǎn)的情況若在上半平面有孤立奇點(diǎn)結(jié)論

在實(shí)軸上有

孤立奇點(diǎn)

則其中，為第二、三型積分中的被積函數(shù)。P126

(1)令解(2)在實(shí)軸上，為一階極點(diǎn)，P127例5.27附：關(guān)于第二、三型積分中有實(shí)孤立奇點(diǎn)的情況休息一下……附：求函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù)。(返回)附：關(guān)于

型積分的公式推導(dǎo)(1)如圖，取積分路徑為(思路)推導(dǎo)其中的半徑為(2)根據(jù)留數(shù)定理有P122

附：關(guān)于

型積分的公式推導(dǎo)(思路)推導(dǎo)(3)不妨設(shè)(當(dāng)足夠大)附：關(guān)于

型積分的公式推導(dǎo)(思路)推導(dǎo)

(4)(5)由(返回)附：關(guān)于

型積分的公式推導(dǎo)(1)如圖，取積分路徑為(思路)推導(dǎo)其中的半徑為(2)根據(jù)留數(shù)定理有P123

(3)不妨設(shè)(當(dāng)足夠大)(思路)推導(dǎo)附：關(guān)于

型積分的公式推導(dǎo)(4)(思路)推導(dǎo)

附：關(guān)于