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第七章節(jié)微分方程§1微分方程的基本概念則它滿足:1.引入解由(1)得一條曲線過點(diǎn)例1,且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率為,求這條曲線的方程.設(shè)所求曲線的方程為:(1)(2)由(2)得即所求曲線的方程為：2.基本概念微分方程:常微分方程:偏微分方程:未知函數(shù)為一元函數(shù)的方程.含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為多元函數(shù)的方程.微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù).微分方程的階:例如一階三階四階3.微分方程的解(1)階微分方程的形式：若由(1)可以解出最高階導(dǎo)數(shù)，則(1)式變?yōu)?2)以后討論的微分方程都是：已解出最高階導(dǎo)數(shù)或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，并且右端函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。說明滿足微分方程(1),即則稱函數(shù)(1)若函數(shù)定義為微分方程(1)的解.4.解的形式(1)通解與特解如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且其中獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的階數(shù),則稱這個(gè)解為該方程的通解.不含任意常數(shù)的解稱為特解.例通解特解(2)顯式解與隱式解以顯函數(shù)形式表示的解稱為顯式解.以隱函數(shù)形式表示的解稱為隱式解.顯式解隱式解或例5、初值問題為了確定任意常數(shù)，還需要求解滿足一定的條件。通常要求的條件是：對(duì)于一階方程，或記為通常要求的條件是：對(duì)于二階方程，或記為初始條件求微分方程滿足初始條件的特解問題：記為稱為一階微分方程的初值問題。類似地，稱為二階微分方程的初值問題。問題：(2)(3)定義微分方程的解的圖形是一條曲線，稱為該微分方程的積分曲線。初值問題(2)的幾何意義：求微分方程的那條積分曲線。初值問題(3)的幾何意義：求微分方程的那條積分曲線。且在該點(diǎn)處的切線的斜率為過點(diǎn)過點(diǎn)例2驗(yàn)證：函數(shù)是微分方程的解。證按定義，得：函數(shù)是微分方程的解。說明上面已驗(yàn)證：函數(shù)是微分方程的解。是微分方程的通解。它含有兩個(gè)任意常數(shù)。任意常數(shù)的個(gè)數(shù)方程的階數(shù)

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