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一階線性微分方程第四節(jié)一、一階線性微分方程二、伯努利方程第七章一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若q(x)0,若q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例2.有一電路如圖所示,電阻

r

和電～解:列方程.已知經(jīng)過電阻r的電壓降為ri

經(jīng)過l的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感l(wèi)

都是常量,解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得～暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義:～例3.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量

y為自變量的一階線性方程二、伯努利

(bernoulli)方程

伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程3.注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如,解方程法1.取

y

作自變量:

線性方程法2.

作變換則代入原方程得可分離變量方程思考與練習判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程備用題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有線性方程利用公式可求出2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,

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