第三節(jié) 相互獨立的隨機變量(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)

設(shè)F(x,y)為二維隨機變量(x,y)的分布函數(shù)，(x,y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則上式等價于第三節(jié)

相互獨立的隨機變量定義8：

設(shè)X和Y是兩個隨機變量，如果對于任意實數(shù)x和y，事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨立，即有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，則稱隨機變量X與Y相互獨立。由獨立性定義可證“若X與Y相互獨立，則對于任意實數(shù)x1<x2,y1<y2,事件{x1<X≤x2}與事件{y1<Y≤y2}相互獨立”。結(jié)論推廣：“若X與Y獨立，則對于任意一維區(qū)間I1和I2，事件{X∈I1}與{Y∈I2}相互獨立”。P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=[FX(x2)-FX(x1)][FY(y2)-FY(y1)]=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}所以事件{x1<X≤x2}與{y1<Y≤y2}是相互獨立的。當（X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機向量時，可用它的分布律或概率密度來判別X與Y的獨立性。例1:設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律如表所示。XY-102-1/22/201/202/201/24/202/204/2012/201/202/20問X與Y相互獨立嗎？解:X與Y的邊緣分布律分別為X-1/21/21pi.1/41/21/4Y-102p.j

2/51/52/5逐一驗證可知，pij=pi.·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。從而X與Y相互獨立。例2:設(shè)X和Y都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且相互獨立，試求P{X+Y<1}。由于X與Y相互獨立，所以(X,Y)的概率密度為于是解:設(shè)fX(x),fY(y)分別為X和Y的概率密度，則例3設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,判斷X,Y的獨立性,其中:(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}fX(x)=|x|≤1|x|>10fY(y)=解:(1)同理,所以X、Y獨立.(2)所以X、Y不獨立.例4已知隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度為

(1)問X與Y是否獨立？(2)求概率P{X<Y}.解:(1)(2)P{X<Y}=所以

X、

Y獨立.證對任何x,y有取相互獨立命題故將代入即得例5

已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.為(1)(2)討論X,Y是否獨立？解(1)由圖知邊緣d.f.為11顯然，故X,Y相互獨立(2)由圖知邊緣d.f.為顯然，故X,Y不獨立11若兩隨機變量相互獨立,且又有相同的分布,不能說這兩個隨機變量相等.

如XP-110.50.5YP-110.5