Chapter1-質(zhì)點(diǎn)力學(xué)-04資料

理論力學(xué)任課老師：邱曉燕E-mail:qxy2001@Mailbox:81#正點(diǎn)電荷四周引入另一正點(diǎn)電荷受到的場(chǎng)力.OA彈簧固定于O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)A受到的彈性場(chǎng)力；藍(lán)色點(diǎn)處表示彈性力為零.§1.9有心力一、有心力的基本性質(zhì)1.有心力運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)受力的作用線始終通過某確定點(diǎn)，該力為有心力，該點(diǎn)叫力心。凡力趨向定點(diǎn)的是引力，離開定點(diǎn)的是斥力．有心力的量值一般為r的函數(shù):為斥力為引力2.因?yàn)橛行牧Φ淖饔镁€通過力心，故相對(duì)于力心O質(zhì)點(diǎn)必在垂直于J的平面運(yùn)動(dòng)。3.有心力運(yùn)動(dòng)微分方程1)直角坐標(biāo)系下以力心為原點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面為xy平面，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為可見，在直角坐標(biāo)系下解有心力的問題并不簡(jiǎn)便。2)平面極坐標(biāo)系下（取力心為極坐標(biāo)的極點(diǎn)）由1.2.13式物理意義:極坐標(biāo)中有心力動(dòng)量矩守恒律的表達(dá)式求第一積分用保守力判據(jù)來證明:在極坐標(biāo)中4.

有心力為保守力（證明見P50）故,必存在勢(shì)能V:機(jī)械能守恒：解決有心力問題的基本動(dòng)身點(diǎn):運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程能量守恒角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒二、軌道微分方程—比耐公式原則上可先求r=r(t)，θ=θ(t)，然后消去t得到軌道，但對(duì)于有心力，可干脆求r=r(θ)。由令則代入比耐公式令則用途：已知r=r(θ)可求得質(zhì)點(diǎn)受力,若已知Fr則可求得軌道。三、平方反比引力——行星運(yùn)動(dòng)探討太陽（M）與行星（m）運(yùn)動(dòng)中行星的軌道方程。1.從受力動(dòng)身，用比耐公式求解太陽的高斯常數(shù)代入比耐公式:得(二階常系數(shù)非齊次方程，）可見，平方反比引力下行星的的運(yùn)動(dòng)是以太陽為焦點(diǎn)的圓錐曲線。此軌道是原點(diǎn)在焦點(diǎn)上的圓錐曲線，力心位于焦點(diǎn)上。令:探討①e<1，橢圓。

近日點(diǎn)B:遠(yuǎn)日點(diǎn)B’:消去c,得:準(zhǔn)線

②e=1，拋物線。

②e>1，雙曲線。

引力斥力2.從能量動(dòng)身，運(yùn)用其次組方程求解（取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零）可解得:

（束縛態(tài)），橢圓拋物線雙曲線與比較可見，能量E為軌道類別的判據(jù)。四、開普勒定律1.開普勒三定律第確定律（軌道定律1609年）:行星繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng),太陽位于橢圓得一個(gè)焦點(diǎn)上。說明行星軌道方程:e<1，太陽位于橢圓的焦點(diǎn)上。其次定律（面積定律，1609年）:行星與太陽的聯(lián)線，相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。即

第三定律（周期定律，1619年）：行星公轉(zhuǎn)的周期的平方和軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比。牛頓于1687年從開普勒三定律推導(dǎo)出萬有引力定律。（即角動(dòng)量守恒）2.從開普勒定律動(dòng)身推導(dǎo)萬有引力定律①據(jù)其次定律有：即:常量,

是常數(shù),即動(dòng)量矩守恒,行星所受的力對(duì)太陽的力矩為零,因行星具有加速度,所以受力不為零,故行星所受力必定是有心力,

太陽是力心。據(jù)第確定律，由代入比耐公式，得似乎表明行星所受的力是引力，且與距離平方成反比？是否是一個(gè)與行星無關(guān)的常數(shù)？（當(dāng)矢徑掃過一周,A=ab）

②證明

是與行星無關(guān)的常數(shù)代入第三定律:由此看出:開文迪許1798年測(cè)量了G的值，2)行星周期與軌道半長(zhǎng)軸的具體關(guān)系為:留意1)Kepler定律是近似的，忽視了太陽自身的運(yùn)動(dòng)以及行星之間的相互作用。太陽的高斯常數(shù)五、宇宙速度與宇宙航行宇宙速度（火箭放射速度）:引力勢(shì)能：由有心力基本運(yùn)動(dòng)方程：消去其中的

用于平方反比引力時(shí)，可改寫為準(zhǔn)線假如軌道為橢圓，則在近日點(diǎn)：準(zhǔn)線假如軌道為拋物線，則在近日點(diǎn)：假如軌道為雙曲線，則在近日點(diǎn)：①第一宇宙速度（環(huán)繞速度）:②其次宇宙速度（逃逸速度）（拋物線軌道）③第三宇宙速度在地球繞太陽運(yùn)動(dòng)軌道上脫離太陽引力的速度:考慮地球公轉(zhuǎn)速度，則相對(duì)于地球的放射速度考慮地球引力因素:考慮其它行星引力作用:1.探討產(chǎn)生圓形軌道運(yùn)動(dòng)的條件：由比耐公式

假如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)初速垂直于位矢且滿足六、圓形軌道的穩(wěn)定性則：2.探討圓形軌道的穩(wěn)定性：令及為某一具體圓形軌道的和之值，顯然有可見這時(shí)不論半徑如何，質(zhì)點(diǎn)將作圓形軌道運(yùn)動(dòng)。為了探討擾動(dòng)，我們可以假設(shè)有一微擾，即令代入比耐公式將右邊后兩個(gè)因子各展成的冪級(jí)數(shù)（1.9.39）所以前式右邊近似有式中泰勒綻開式式中

為另一常數(shù)，其值對(duì)問題的性質(zhì)無關(guān)。（1.9.41）式的解分別為（1.9.41）假如取一階微量，則（1.9.39）式變?yōu)?雙曲函數(shù)（hyperbolicfunction）雙曲正弦雙曲余弦

雙曲正切只有第一式即時(shí)，永遠(yuǎn)保持為小量因此，半徑為的圓形軌道，只有時(shí)，才是穩(wěn)定的?？紤]一下引力與距離次方成反比的情況，即那么上述兩式相除，得即有因?yàn)樵谖Φ淖饔孟伦鲌A形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有滿足以下條件軌道才是穩(wěn)定的：所以:

即只有與距離成正比(n=-1)的力和平方反比(n=2)的吸引力才能給出穩(wěn)定的圓形軌道.

一個(gè)帶正電荷2e的質(zhì)點(diǎn)射入一原子中，原子核帶正電Ze，則由庫侖定律：（1.9.47）七、平方反比斥力－α粒子的彈性散射力的方向沿著二者的連線,是排斥力.原子核質(zhì)量大,可以近似看做不動(dòng),

這樣可認(rèn)為粒子受到有心力的作用.系統(tǒng)能量方程:所以軌道曲線為雙曲線中的右支。偏轉(zhuǎn)角:粒子的散射令則有其解為求粒子的散射的軌道方程：把代入比耐公式，得把解寫成如下形式：qqq,sinsin11,sinuryry===又瞄準(zhǔn)距離求瞄準(zhǔn)距離ρ角動(dòng)量守恒：散射截面

若散射角是瞄準(zhǔn)距離單調(diào)下降的函數(shù),盧瑟福公式(1911)蓋革及馬士登試驗(yàn)所證明(1913)涉及有心力的力學(xué)習(xí)題有心力是保守力：能量守恒相對(duì)于力心：有心力的角動(dòng)量守恒比耐公式:[例題]盧瑟福等人發(fā)覺用粒子轟擊金鉑時(shí)有些入射偏轉(zhuǎn)角很大，甚至超過90°.盧瑟福于1911年提出原子必有一帶正電的核心，即原子核；此即原子結(jié)構(gòu)的行星模型。已知粒子的質(zhì)量為m，以速度接近電荷為Ze的重原子核.瞄準(zhǔn)距離為b，如圖所示.求粒子接近重核的最近距離.設(shè)原子核質(zhì)量比粒子大很多，可近似看作靜止.db(a)r[解]設(shè)

z軸垂直于粒子運(yùn)動(dòng)平面且通過重核中心.對(duì)z軸的角動(dòng)量故粒子最接近重核（距離為d）時(shí)對(duì)Z軸角動(dòng)量為dmv

對(duì)z軸的角動(dòng)量守恒得dbb