數(shù)項級數(shù)的基本概念及性質(zhì)

無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)（泰勒級數(shù)）傅里葉級數(shù)第十一章1精選課件

第十一章第一節(jié)數(shù)項級數(shù)的基本概念及性質(zhì)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)一、數(shù)項級數(shù)的基本概念機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2精選課件一、常數(shù)項級數(shù)的概念引例1.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時增加的面積,則圓內(nèi)接正機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束引例2.引例3.4精選課件定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前

n

項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5精選課件當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散。顯然機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱無窮級數(shù)收斂，

并稱S為級數(shù)的和，記作：6精選課件級數(shù)與數(shù)列有著密切的關(guān)系：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7精選課件無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形。如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8精選課件觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播放機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束9精選課件周長為:面積為第次分叉：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束10精選課件于是有結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．雪花的面積有限。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束雪花的周長無限。11精選課件解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束?12精選課件解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束“拆項相消”13精選課件例2.

判別下列級數(shù)的斂散性:解:所以級數(shù)(1)發(fā)散;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用“拆項相消”求和14精選課件故原級數(shù)收斂,其和為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解1:15精選課件故原級數(shù)收斂,其和為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解2:16精選課件解:

收斂機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

發(fā)散17精選課件

發(fā)散

發(fā)散綜上所述機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束右圖給出了幾何級數(shù)的一個幾何解釋:由三角形的相似18精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束19精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:被去掉所有區(qū)間的總長度為為幾何級數(shù)事實上:所有被去掉所有區(qū)間的端點都是Cantor

集中的點.20精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:被去掉所有正方形的總面積為21精選課件證明1：級數(shù)發(fā)散。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束22精選課件證明2：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束23精選課件8項4項2項2項

項證明3：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束24精選課件證明4：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即所以故調(diào)和級數(shù)發(fā)散25精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束26精選課件二、基本性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束27精選課件說明:（1）若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.（2）若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如(用反證法可證)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束28精選課件解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束29精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束30精選課件證明:

類似地，可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束31精選課件說明：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束32精選課件證明:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對其任意加括號，例如33精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：

收斂

發(fā)散

性質(zhì)4的逆命題不成立，即發(fā)散級數(shù)加括弧后可能變成收斂級數(shù)。34精選課件例7.判斷級數(shù)的斂散性:解:

考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束35精選課件三、收斂的必要條件證明性質(zhì)5（級數(shù)收斂的必要條件）:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束36精選課件注意1.如果級數(shù)的一般項不趨于零，則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.此結(jié)論的逆不成立。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即：一般項趨于零，級數(shù)未必收斂。37精選課件四、柯西收斂準(zhǔn)則*定理：柯西(Cauchy)收斂準(zhǔn)則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束38精選課件解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束39精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明：由柯西收斂準(zhǔn)則40精選課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則由柯西收斂準(zhǔn)則，知41精選課件證明：

例10.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束42精選課件五、內(nèi)容小結(jié)一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念和性質(zhì)。二、判斷級數(shù)是否收斂的方法：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束43精選課件作業(yè)習(xí)題10-1(P340)

1；2(3)(5)(6)(9)；

3(1);5;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束44精選課件解已知級數(shù)為幾何級數(shù)，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題:45精選課件解:幾何級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束46精選課件3、判斷下列級數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級數(shù)(1)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束47精選課件因進(jìn)行拆項相消這說明原級數(shù)收斂,其和為(2)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束48精選課件這說明原級數(shù)收斂,其和為3.(3)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束49精選課件觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束50精選課件觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束51精選課件觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推機(jī)動目錄上頁下頁