202X屆高考數(shù)學一輪復習第十二章概率與統(tǒng)計12.1隨機事件與古典概型課件

A組自主命題·天津卷題組五年高考1.(2017天津文,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支

彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題考查古典概型.從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,有以下10種情況:(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍),

(黃,綠),(黃,紫),(藍,綠),(藍,紫),(綠,紫).其中含有紅色彩筆的有4種情況:(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),

(紅,紫),所以所求事件的概率P=

=

,故選C.2.(2016天津文,2,5分)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是

,甲獲勝的概率是

,則甲不輸?shù)母怕蕿?/p>

()A.

B.

C.

D.

答案

A設“兩人下成和棋”為事件A,“甲獲勝”為事件B.事件A與B是互斥事件,所以甲

不輸?shù)母怕蔖=P(A+B)=P(A)+P(B)=

+

=

,故選A.3.(2019天津文,15,13分)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)

教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、

中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查

專項附加扣除的享受情況.(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如

下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;(ii)設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.員工項目

ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○解析本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及

其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)學運算素

養(yǎng).(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員

工,因此應從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)(i)從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},

{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.(ii)由表格知,符合題意的所有可能結果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},

{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=

.思路分析(1)首先得出抽樣比,從而按比例抽取各層的人數(shù);(2)(i)利用列舉法列出滿足題意的

基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示

在列舉基本事件時應找好標準,做到不重不漏.4.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動.(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?(2)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工

作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;②設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)由已知,甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣

的方法從中抽取7名同學,因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人,2人,2

人.(2)①從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},

{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},

{E,F},{E,G},{F,G},共21種.②由(1),不妨設抽出的7名同學中,來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是

F,G,則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A,B},{A,C},

{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=

.易錯警示解決古典概型問題時,易出現(xiàn)以下錯誤:(1)忽視基本事件的等可能性導致錯誤;(2)列舉基本事件考慮不全面導致錯誤;(3)在求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)時,一個按有序,一個按無序處理導致錯

誤.5.(2015天津文,15,13分)設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分

層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員組隊參加比賽.(1)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員的人數(shù);(2)將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運動員中隨機抽取2人

參加雙打比賽.(i)用所給編號列出所有可能的結果;(ii)設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.解析(1)應從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運動員人數(shù)分別為3,1,2.(2)(i)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,

A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15

種.(ii)編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},

{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種.因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=

=

.評析

本題主要考查分層抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其

概率計算公式等基礎知識.考查運用概率、統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力.6.(2014天津文,15,13分)某校夏令營有3名男同學A,B,C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如下表:現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出所有可能的結果;(2)設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”,求事件M發(fā)生的概

率.

一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ解析(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,X},

{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為{A,Y},{A,Z},{B,

X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此,事件M發(fā)生的概率P(M)=

=

.評析

本題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公

式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一隨機事件的概率1.(2018北京理,17,12分)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設所有電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類

電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ

2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關系.電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率是

=0.025.(2)設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”,事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”.故所求概率為P(A

+

B)=P(A

)+P(

B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)估計為0.25,P(B)估計為0.2.故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.2.(2016北京理,16,13分)A,B,C三個班共有100名學生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽

樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時):(1)試估計C班的學生人數(shù);(2)從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假

設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率;(3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時).

這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判

斷μ0和μ1的大小.(結論不要求證明)A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5解析(1)由題意知,抽出的20名學生中,來自C班的學生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學生

人數(shù)估計為100×

=40.(2)設事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,…,5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”,j=1,2,…,8.由題意可知,P(Ai)=

,i=1,2,…,5;P(Cj)=

,j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=

×

=

,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪

A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C

2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×

=

.(3)μ1<μ0.思路分析(1)利用分層抽樣的定義求出C班的學生人數(shù);(2)依次找出甲、乙的搭配方式,求出

概率;(3)根據(jù)平均數(shù)的定義比較,進而作判斷.解后反思

本題第(2)問事件繁多,但注意到“互斥”“相互獨立”及“等概率”,計算量并不

大.3.(2016課標Ⅱ文,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保

人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求該續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)若該續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.解析(1)設A表示事件:“該續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一

年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(3分)(2)設B表示事件:“該續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年

內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=

=

=

=

.因此所求概率為

.

(7分)(3)記續(xù)保人本年度的保費為X元,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.

(12分)易錯警示

對條件概率的定義理解不到位,或者不會運用條件概率的求解公式,導致出錯.評析

本題考查了隨機事件的概率,同時考查了考生的應用意識及數(shù)據(jù)處理能力,屬中檔題.4.(2015北京文,17,13分)某超市隨機選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商

品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率;(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率;(3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?商品顧客人數(shù)

甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××解析(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,所以顧客同

時購買乙和丙的概率可以估計為

=0.2.(2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧

客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為

=0.3.(3)解法一:顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為

=0.2,顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為

=0.6,顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為

=0.1.所以,如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大.解法二:從統(tǒng)計表可以看出,同時購買了甲和乙的顧客,也都購買了丙;同時購買了甲和丁的顧

客,也都購買了丙;有些顧客同時購買了甲和丙,卻沒有購買乙或丁.所以,如果顧客購買了甲,那么他同時購買丙的可能性最大.思路分析(1)從統(tǒng)計表可得,在這1000名顧客中,同時購買乙和丙的有200人,從而求得顧客同

時購買乙和丙的概率.(2)根據(jù)統(tǒng)計表得,在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有300人,故可求得顧客在甲、乙、

丙、丁中同時購買3種商品的概率.(3)解法一:在這1000名顧客中,分別求出同時購買甲和乙的概率,同時購買甲和丙的概率,同時

購買甲和丁的概率,比較即可得出結論.解法二:分析購買了甲的同時購買其他商品的情況得出結論.5.(2015課標Ⅱ理,18,12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了

20個用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:A地區(qū):6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū):7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分

的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可);A地區(qū)

B地區(qū)

4

5

6

7

8

9

(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價

結果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,求C的概率.滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意解析(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下:A地區(qū)

B地區(qū)

4683513646426245568864373346992865183217552913通過莖葉圖可以看出,A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;A

地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)記CA1表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”;CA2表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”;CB1表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB2表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”,則CA1與CB1獨立,CA2與CB2獨立,CB1與CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得CA1,CA2,CB1,CB2發(fā)生的頻率分別為

,

,

,

,故P(CA1)=

,P(CA2)=

,P(CB1)=

,P(CB2)=

,P(C)=

×

+

×

=0.48.思路分析(1)將A、B地區(qū)數(shù)據(jù)逐一填入莖葉圖,然后通過莖葉圖作比較.(2)設出事件且指明

事件間的關系,利用相應概率公式得結論.考點二古典概型1.(2019課標Ⅱ文,4,5分)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子

中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題主要考查古典概型;考查學生的邏輯推理和運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是

數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析.記5只兔子分別為A,B,C,D,E,其中測量過某項指標的3只兔子為A,B,C,則從這5只兔子中隨機取

出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種,其中恰有2只

測量過該指標的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6種,所以所求事件的概率P=

=

.2.(2019課標Ⅲ文,3,5分)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D本題考查古典概型,以現(xiàn)實生活中常見的學生排隊問題為背景,考查學生對數(shù)學知

識的應用意識.設兩位男同學分別為A、B,兩位女同學分別為a、b,則四位同學排成一列,所有可能的結果用

樹狀圖表示為

共24種結果,其中兩位女同學相鄰的結果有12種,∴P(兩位女同學相鄰)=

=

,故選D.技巧點撥

用樹狀圖列舉所有可能的結果是求解古典概型問題的基本方法之一.3.(2018課標Ⅱ,8,5分)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥

德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)

中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查古典概型.不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從這10個素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù),

有

=45種情況,其和等于30的情況有3種,則所求概率等于

=

.故選C.方法總結解決關于古典概型的概率問題關鍵是正確求出基本事件的總數(shù)和所求事件包含

的基本事件數(shù).(1)當基本事件的總數(shù)較少時,可用列舉法把所有基本事件一一列舉出來.(2)注

意區(qū)分排列與組合,正確使用計數(shù)原理.4.(2018課標Ⅱ文,5,5分)從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務,則選中的2人都是

女同學的概率為

()A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3答案

D設兩名男生為A,B,三名女生為a,b,c,則從5人中任選2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),

(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10種.2人都是女同學的有(a,b),(a,c),(b,c),共3種,所以所求概

率為

=0.3.5.(2017課標Ⅱ文,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1

張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D畫出樹狀圖如圖:

可知所有的基本事件共有25個,滿足題意的基本事件有10個,故所求概率P=

=

.故選D.思路分析

由樹狀圖列出所有的基本事件,可知共有25個,滿足題目要求的基本事件共有10個.

由古典概型概率公式可知所求概率P=

=

.易錯警示

本題易因忽略有放回抽取而致錯.疑難突破當利用古典概型求概率時,應區(qū)分有放回抽取與無放回抽取.有放回抽取一般采用

畫樹狀圖法列出所有的基本事件,而無放回抽取一般采用窮舉法.6.(2017山東理,8,5分)從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則

抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查古典概型.由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數(shù)n=9×8=72,抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的基

本事件個數(shù)m=

=40,所以所求概率P=

=

=

.故選C.7.(2016課標Ⅰ文,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花

壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、

(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在

同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=

=

,故選C.解后反思

從4種顏色的花中任選2種共有6種情況,不重不漏地列舉出所有情況是解題關鍵.8.(2016課標Ⅲ文,5,5分)小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N

中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C小敏輸入密碼前兩位的所有可能情況如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.而能開機的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率為

.9.(2015課標Ⅰ文,4,5分)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為

一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為()A.

B.

C.

D.

答案

C從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)有10種取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,

5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構成一組勾股數(shù)的有1種:(3,4,5),故所求事件的概率P=

,故選C.10.(2015廣東理,4,5分)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球,其中有10個白球,5個紅球.從袋

中任取2個球,所取的2個球中恰有1個白球,1個紅球的概率為

()A.

B.

C.

D.1答案

B從15個球中任取2個球,取法共有

種,其中恰有1個白球,1個紅球的取法有

×

種,所以所求概率P=

=

,故選B.11.(2019上海,10,5分)某三位數(shù)密碼,每位數(shù)字可在0—9這10個數(shù)字中任選一個,則該三位數(shù)密

碼中,恰有兩位數(shù)字相同的概率是

.答案

解析設恰有兩位數(shù)字相同為事件A,解法一:P(A)=

=

.解法二:P(A)=1-

=

.易錯警示所有基本事件的個數(shù)為103,而非

.12.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務,則選出的2名同

學中至少有1名女同學的概率是

.答案

解析本題主要考查了古典概型和古典概型概率的計算方法,考查學生的應用意識和運算求

解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理和數(shù)學運算.解法一:記3名男同學分別為a1、a2、a3,2名女同學分別為b1、b2,從這5名同學中選出2名同學的

選法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10種,其中至少有1

名女同學的選法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7種,故所求概率P=

.解法二:從3名男同學和2名女同學中任選2名同學共有

=10種選法,其中選出的2名同學都是男同學的選法有

=3種,則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率P=1-

=

.解后反思

解決古典概型概率問題的關鍵是不重不漏地列出所有基本事件,既可以從正面直

接求解,也可以從反面找對立事件來求解.13.(2018上海,9,5分)有編號互不相同的五個砝碼,其中5克、3克、1克砝碼各一個,2克砝碼兩

個,從中隨機選取三個,則這三個砝碼的總質(zhì)量為9克的概率是

(結果用最簡分數(shù)表

示).答案

解析本題主要考查古典概型的概率計算.記5克、3克、1克砝碼分別為5、3、1,兩個2克砝

碼分別為2a,2b,則從這五個砝碼中隨機選取三個,有以下選法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a),

(5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10種,其中滿足三個砝碼的總質(zhì)量為9克

的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2種,故所求概率P=

=

.14.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學生去參加活動,則恰好

選中2名女生的概率為

.答案

解析解法一:把男生編號為男1,男2,女生編號為女1,女2,女3,則從5名學生中任選2名學生有:男1

男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10種情況,其中選中2名女生

有3種情況,則恰好選中2名女生的概率為

.解法二:所求概率P=

=

.15.(2017山東文,16,12分)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選

擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能的結果組成的基本事件有:{A1,A2},

{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B

1,B3},{B2,B3},共15個.所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個,則所求事件的概率P=

=

.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能的結果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B

2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個,則所求事件的概率P=

.1.求出所有基本事件的個數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法;方法總結求古典概型概率的一般步驟:2.求出事件A所包含的基本事件的個數(shù)m;3.代入公式P(A)=

求解.16.(2015湖南文,16,12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽

獎方法是:從裝有2個紅球A1,A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1,a2和2個白球b1,b2的乙箱中,

各隨機摸出1個球.若摸出的2個球都是紅球則中獎,否則不中獎.(1)用球的標號列出所有可能的摸出結果;(2)有人認為:兩個箱子中的紅球比白球多,所以中獎的概率大于不中獎的概率.你認為正確嗎?

請說明理由.解析(1)所有可能的摸出結果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},

{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正確.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出結果共12種,其中摸出的2個球都是紅球的結果為{A1,a1},{A1,a2},{A2,a

1},{A2,a2},共4種,所以中獎的概率為

=

,不中獎的概率為1-

=

>

,故這種說法不正確.評析

本題考查了隨機事件及其概率,古典概型概率的計算;考查了分析、計算能力及應用意

識.C組教師專用題組1.(2016北京文,6,5分)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B設其他3名學生為丙、丁、戊,從中任選2人的所有情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),

(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10種.其中甲被選中的情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4種,故甲被選中的概率為

=

.故選B.易錯警示在列舉基本事件時要不重不漏,可畫樹狀圖:

2.(2014湖北文,5,5分)隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1,

點數(shù)之和大于5的概率記為p2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則

()A.p1<p2<p3

B.p2<p1<p3

C.p1<p3<p2

D.p3<p1<p2

答案

C隨機拋擲兩枚骰子,它們向上的點數(shù)之和的結果如圖,則p1=

,p2=

,p3=

,∴p1<p3<p2,故選C.

3.(2014江西文,3,5分)擲兩顆均勻的骰子,則點數(shù)之和為5的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B擲兩顆均勻的骰子,得到的點數(shù)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,

4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,

4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種可能的結果,點數(shù)之和為5的有(1,4),(2,3),(3,

2),(4,1),共4種情況,所以所求事件的概率P=

=

,故選B.4.(2017上海,9,5分)已知四個函數(shù):①y=-x,②y=

,③y=x2,④y=

,從中任選2個,則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為

.答案

解析給出四個函數(shù):①y=-x,②y=

,③y=x2,④y=

,從四個函數(shù)中任選2個,基本事件總數(shù)n=

=6,③④有兩個公共點(0,0),(1,1).事件A:“所選2個函數(shù)的圖象有且只有一個公共點”包含的基本事件有①③,①④共2個,∴P(A)=

=

.5.(2016四川文,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是

.答案

解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12

個.記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A,則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2個.∴P(A)=

=

.易錯警示對a,b取值時要注意順序.評析

本題考查了古典概型.正確列舉出基本事件是解題的關鍵.6.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一

次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為

.答案

解析記兩只黃球為黃A與黃B,從而所有的摸球結果為(白,紅),(紅,黃A),(紅,黃B),(白,黃A),(白,

黃B),(黃A,黃B),共6種情況,其中顏色不同的有5種情況,則所求概率P=

.7.(2014課標Ⅱ文,13,5分)甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中

選擇1種,則他們選擇相同顏色運動服的概率為

.答案

解析甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍、白紅、白白、白藍、藍紅、藍白、藍藍9種,

其中顏色相同的有3種,所以所求概率為

=

.8.(2015四川文,17,12分)一輛小客車上有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位

號分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號從小到大的順序先后上車.乘客P1因身體原因沒有坐自己

的1號座位,這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的

座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐

法,請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處);(2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位號32145

32451

解析(1)余下兩種坐法如下表所示:(2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就座,則所有可能的坐法可用下表表示為乘客P1P2P3P4P5座位號32415

32541乘客P1P2P3P4P5座位號21345

23145

23415

23451

23541

24315

24351

25341于是,所有可能的坐法共8種.設“乘客P5坐到5號座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個數(shù)為4.所以P(A)=

=

.答:乘客P5坐到5號座位的概率是

.評析

本題主要考查隨機事件的概率、古典概型等概念及相關計算,考查運用概率知識與方

法分析和解決實際問題的能力.9.(2015山東文,16,12分)某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)

據(jù)如下表:(單位:人)(1)從該班隨機選1名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率;(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中,有5名男同學A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學B1,B2,

B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.

參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人,故至少參加上述一個社團的共有45-30=15人,所以從該班隨機選1名同學,該同學至少參加上述一個社團的概率P=

=

.(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,其一切可能的結果組成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個.根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2個.因此A1被選中且B1未被選中的概率P=

.三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組1.(2018天津河北二模文)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個,組成一個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù),則這個

兩位數(shù)大于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C“從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個,組成一個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)”的事件包括12,21,

13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54,共有20個;“從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個,

組成一個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù),且該兩位數(shù)大于30”的事件包括31,32,34,35,41,42,43,45,51,

52,53,54,共有12個,所以所求概率P=

=

.故選C.2.(2017天津和平三模文)春節(jié)期間和諧小區(qū)從初一至初八連續(xù)8天舉辦大型文藝匯演,居民甲

隨機選擇其中的連續(xù)3天觀看演出,那么他在初一至初四期間連續(xù)3天看演出的概率為()A.

B.

C.

D.

答案

D春節(jié)期間和諧小區(qū)從初一至初八連續(xù)8天舉辦大型文藝匯演,居民甲隨機選擇其中

的連續(xù)3天觀看演出,基本事件有(初一初二初三),(初二初三初四),(初三初四初五),(初四初五初六),(初五初六初七),

(初六初七初八),共6個,他在初一至初四期間連續(xù)3天看演出包含的基本事件有(初一初二初三),(初二初三初四),共2

個,∴他在初一至初四期間連續(xù)3天看演出的概率為

=

.故選D.評析

本題考查概率、列舉法等基礎知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力,是基礎題.3.(2018天津一中月考文)若從集合{1,2,3,5}中隨機地選出三個元素,則滿足其中兩個元素的和

等于第三個元素的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B從集合{1,2,3,5}中隨機地選出三個元素,基本事件總數(shù)n=

=4,其中兩個元素的和等于第三個元素包含的基本事件有(1,2,3),(2,3,5),共有2個,∴滿足其中兩個元素的和等于第三個元素的概率為

=

.故選B.評析

本題考查概率的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意列舉法的合理運用.4.(2017天津紅橋二模文)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個小球,其中紅色球3個,黃色球2個,

若從中隨機取出2個球,則所取出的2個球顏色不同的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

D盒中裝有形狀、大小完全相同的5個小球,其中紅色球3個,黃色球2個,從中隨機取

出2個球,基本事件總數(shù)n=

=10,所取出的2個球顏色不同包含的基本事件個數(shù)m=

=6,所取出的2個球顏色不同的概率為

=

=

.故選D.評析

本題考查概率的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等可能事件概率計算公式的合

理運用.B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:90分鐘分值:145分一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2018天津二模)從大小相同的紅、黃、白、紫、粉5個小球中任選2個,則取出的兩個小球中

沒有紅色球的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B從大小相同的紅、黃、白、紫、粉5個小球中任選2個,包括(紅,黃),(紅,白),(紅,紫),

(紅,粉),(黃,白),(黃,紫),(黃,粉),(白,紫),(白,粉),(紫,粉),基本事件總數(shù)n=10,取出的兩個小球中沒

有紅色球包含的基本事件個數(shù)m=6,∴取出的兩個小球中沒有紅色球的概率P=

=

=

.故選B.2.(2018天津河西二模)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球,其中2個白球,2個紅球,1個黑球,從中

一次摸出兩個球,則摸出的兩個球中沒有紅球的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球,其中2個白球,2個紅球,1個黑球,從中一次摸出兩

個球,基本事件總數(shù)n=

=10,摸出的兩個球中沒有紅球包含的基本事件個數(shù)m=

=3,則摸出的兩個球中沒有紅球的概率是

=

.故選C.3.(2017天津和平四模)袋中有外觀相同的紅球、黑球各1個,現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次,每

次摸取1個球,若摸到紅球時得2分,摸到黑球時得1分,則3次摸球所得總分為5的概率為()A.

B.

C.

D.

答案

C袋中有外觀相同的紅球、黑球各1個,現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次,每次摸取1個

球,摸到紅球時得2分,摸到黑球時得1分,3次摸球所得總分為5是指3次摸球時兩次摸到紅球,一次摸到黑球,∴3次摸球所得總分為5的概率P=

=

.故選C.4.(2017天津和平二模)從數(shù)字1,2,3,4,5,6中任取2個,求出乘積,則所得結果是3的倍數(shù)的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B從數(shù)字1,2,3,4,5,6中任取2個,求出乘積,基本事件總數(shù)n=

=15,所得結果是3的倍數(shù)包含的基本事件個數(shù)m=

+

=9,∴所得結果是3的倍數(shù)的概率是

=

=

.故選B.5.(2017天津部分區(qū)二模)某象棋俱樂部有隊員5人,其中女隊員2人,現(xiàn)隨機選派2人參加象棋比

賽,則選出的2人中恰有1人是女隊員的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B隨機選派2人參加象棋比賽,有

=10種,選出的2人中恰有1人是女隊員,有

=6種,∴所求概率為

=

,故選B.6.(2017天津一中三月考)4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張,則取出

的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B從1,2,3,4中隨機取出兩個不同的數(shù)的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共

6個,其中和為偶數(shù)的有(1,3),(2,4),共2個,由古典概型的概率公式可知,從1,2,3,4中隨機取出兩個不同的數(shù),其和為偶數(shù)的概率為

=

.故選B.二、填空題(每小題5分,共25分)7.(2017天津河西三模)將一顆骰子向上拋擲兩次,所得點數(shù)分別為m和n,則n≤2m的概率是

.答案

解析將一顆骰子向上拋擲兩次,所得點數(shù)分別為m和n,基本事件總數(shù)為6×6=36,n≤2m的對立事件是n>2m,n>2m包含的基本事件有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共有6個,∴n≤2m的概率是1-

=

.故答案為

.8.(2017天津河東模擬)甲、乙兩人進行中國象棋比賽,甲贏的概率為0.5,下成和棋的概率為0.2,

則甲不輸?shù)母怕蕿?/p>

.答案0.7解析∵甲贏與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件,∴根據(jù)互斥事件的概率計算公式可知:甲不輸?shù)母怕蔖=0.2+0.5=0.7.思路分析

利用互斥事件的概率加法公式即可得出.評析

正確理解互斥事件及其概率加法公式是解題的關鍵.9.(2017天津河東一模)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球,白球和黑球,從中摸出一個球,摸出紅

球或白球的概率為0.58,摸出紅球或黑球的概率為0.62,那么摸出紅球的概率為

.答案0.2解析∵一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球,白球和黑球,從中摸出一個球,摸出紅球或白球的概

率為0.58,∴摸出黑球的概率為1-0.58=0.42.∵摸出紅球或黑球的概率為0.62,∴摸出白球的概率為1-0.62=0.38.∴摸出紅球的概率為1-0.42-0.38=0.2.10.(2017天津新華中學模擬)某優(yōu)秀學習小組有6名同學,坐成三排兩列,現(xiàn)從中隨機抽2人代表

本小組展示小組合作學習成果,則所抽的2人來自同一排的概率是

.答案

解析某優(yōu)秀學習小組有6名同學,坐成三排兩列,現(xiàn)從中隨機抽2人代表本小組展示小組合作

學習成果,基本事件總數(shù)n=

=15,所抽的2人來自同一排包含的基本事件個數(shù)m=

=3,則所抽的2人來自同一排的概率是

=

=

.故答案為

.11.(2017天津河西一模)一個口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的2個白球和2個黑球,從中一次隨

機取出2個球,則至少取到1個黑球的概率為

.答案

解析記2個白球分別為白1、白2,2個黑球分別為黑1、黑2,則從一個裝有除顏色外完全相同

的2個白球和2個黑球的口袋中一次隨機取出2個球的基本事件包括白1白2,白1黑1,白1黑2,白2

黑1,白2黑2,黑1黑2,共6個,其中至少取到1個黑球的事件為5個,故所求概率P=

.三、解答題(共90分)12.(2019天津河北一模)為增強市民的環(huán)境保護意識,某市面向全市學校征召100名教師做義務

宣傳志愿者,成立環(huán)境保護宣傳組,現(xiàn)把該組的成員按年齡分成5組,如下表所示:(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法選出6名志愿者參加某社區(qū)宣傳活動,應從第3,4,5組各

選出多少名志愿者?(2)在(1)的條件下,宣傳組決定在這6名志愿者中隨機選2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗.①列出所有可能結果;②求第4組至少有1名志愿者被選中的概率.組別年齡人數(shù)1[20,25)52[25,30)353[30,35)204[35,40)305[40,45)10解析(1)由已知得第3,4,5組共有60名志愿者,∴從第3,4,5組中用分層抽樣的方法選出6名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動,各組應選出的人數(shù)

分別為6×

=2,6×

=3,6×

=1.(2)①記第3組2名志愿者分別為A,B,第4組3名志愿者分別為a,b,c,第5組1名志愿者為d,則從這6人中隨機選2人,所有可能結果為{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a},{B,b},{B,c},{B,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共15

種.②設“從6名志原者中隨機選2名,第4組至少一名志愿者被選中”為事件A,則事件A所含基本事件有{A,a},{A,b},{A,c},{B,a},{B,b},{B,c},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共12種,故P(A)=

=

.13.(2019天津河西一模)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,60

件,30件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣的方法抽取了一個容量為n的

樣本進行調(diào)查,其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件.(1)應從甲、丙兩個車間的產(chǎn)品中分別抽取多少件?樣本容量n為多少?(2)設抽出的n件產(chǎn)品分別用A1,A2,…,An表示,現(xiàn)從中隨機抽取2件產(chǎn)品.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;②設M為事件“抽取的2件產(chǎn)品來自不同車間”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)由已知得從甲、乙、丙三個車間抽取產(chǎn)品的數(shù)量之比是4∶2∶1,∵從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件產(chǎn)品,∴應從甲、丙兩個車間的產(chǎn)品中分別抽取4件和1件產(chǎn)品,∴樣本容量n=7.(2)①從抽出的7件產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A1,A7},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A2,A7},{A3,A4},

{A3,A5},{A3,A6},{A3,A7},{A4,A5},{A4,A6},{A4,A7},{A5,A6},{A5,A7},{A6,A7},共21個.②不妨設抽出的7件產(chǎn)品中,來自甲車間的是A1,A2,A3,A4,來自乙車間的是A5,A6,來自丙車間的是

A7,則事件M包含的基本事件為{A1,A5},{A1,A6},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A6},{A2,A7},{A3,A5},{A3,A6},

{A3,A7},{A4,A5},{A4,A6},{A4,A7},{A5,A7},{A6,A7},共14個.∴事件M發(fā)生的概率P=

=

.評析

本題考查分層抽樣、隨機事件所包含的基本事件、古典概型及其概率計算公式等基

礎知識,考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,考查運算求解能力,是基礎題.14.(2019天津一模)某高中高一,高二,高三的模聯(lián)社團的人數(shù)分別為35,28,21,現(xiàn)采用分層抽樣

的方法從中抽取部分學生參加模聯(lián)會議,已知在高二年級和高三年級中共抽取7名學生.(1)應從高一年級抽取多少名學生參加會議?(2)設從高二年級和高三年級抽出的7名學生分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名學

生承擔文件翻譯工作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;②設M為事件“抽取的兩名學生來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)設高一年級參加會議的學生有x名,由已知得

=

,解得x=5,∴高一年級參加會議的學生有5名.(2)①從7名學生中隨機抽取2名學生的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},

{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},

{F,G},共21種.②由已知,得從高二年級抽取28×

=4人,從高三年級抽取21×

=3人,不妨設高二年級的4人分別表示為A,B,C,D,高三年級的3人分別表示為E,F,G,則抽取的2名學生來自同一年級的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{