202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十二章概率與統(tǒng)計(jì)12.1隨機(jī)事件與古典概型課件

A組自主命題·天津卷題組五年高考1.(2017天津文,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支

彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題考查古典概型.從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,有以下10種情況:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍(lán)),

(黃,綠),(黃,紫),(藍(lán),綠),(藍(lán),紫),(綠,紫).其中含有紅色彩筆的有4種情況:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),

(紅,紫),所以所求事件的概率P=

=

,故選C.2.(2016天津文,2,5分)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是

,甲獲勝的概率是

,則甲不輸?shù)母怕蕿?/p>

()A.

B.

C.

D.

答案

A設(shè)“兩人下成和棋”為事件A,“甲獲勝”為事件B.事件A與B是互斥事件,所以甲

不輸?shù)母怕蔖=P(A+B)=P(A)+P(B)=

+

=

,故選A.3.(2019天津文,15,13分)2019年,我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)

教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、

中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查

專項(xiàng)附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如

下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;(ii)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事件M發(fā)生的概率.員工項(xiàng)目

ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及

其概率計(jì)算公式等基本知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素

養(yǎng).(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員

工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},

{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.(ii)由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},

{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=

.思路分析(1)首先得出抽樣比,從而按比例抽取各層的人數(shù);(2)(i)利用列舉法列出滿足題意的

基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示

在列舉基本事件時(shí)應(yīng)找好標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.4.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工

作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣

的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2

人.(2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},

{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},

{E,F},{E,G},{F,G},共21種.②由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來(lái)自甲年級(jí)的是A,B,C,來(lái)自乙年級(jí)的是D,E,來(lái)自丙年級(jí)的是

F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},

{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=

.易錯(cuò)警示解決古典概型問(wèn)題時(shí),易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤:(1)忽視基本事件的等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤;(2)列舉基本事件考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤;(3)在求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)時(shí),一個(gè)按有序,一個(gè)按無(wú)序處理導(dǎo)致錯(cuò)

誤.5.(2015天津文,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分

層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人

參加雙打比賽.(i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;(ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.解析(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.(2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,

A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15

種.(ii)編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},

{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種.因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=

=

.評(píng)析

本題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其

概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.6.(2014天津文,15,13分)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表:現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;(2)設(shè)M為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概

率.

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ解析(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},

{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,

X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此,事件M發(fā)生的概率P(M)=

=

.評(píng)析

本題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公

式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率1.(2018北京理,17,12分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率;(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“ξk=1”表示第k類

電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ

2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率是

=0.025.(2)設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”,事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”.故所求概率為P(A

+

B)=P(A

)+P(

B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)估計(jì)為0.25,P(B)估計(jì)為0.2.故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.2.(2016北京理,16,13分)A,B,C三個(gè)班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過(guò)分層抽

樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)):(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù);(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假

設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率;(3)再?gòu)腁,B,C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7,9,8.25(單位:小時(shí)).

這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判

斷μ0和μ1的大小.(結(jié)論不要求證明)A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5解析(1)由題意知,抽出的20名學(xué)生中,來(lái)自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學(xué)生

人數(shù)估計(jì)為100×

=40.(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人”,i=1,2,…,5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人”,j=1,2,…,8.由題意可知,P(Ai)=

,i=1,2,…,5;P(Cj)=

,j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=

×

=

,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”.由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪

A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C

2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×

=

.(3)μ1<μ0.思路分析(1)利用分層抽樣的定義求出C班的學(xué)生人數(shù);(2)依次找出甲、乙的搭配方式,求出

概率;(3)根據(jù)平均數(shù)的定義比較,進(jìn)而作判斷.解后反思

本題第(2)問(wèn)事件繁多,但注意到“互斥”“相互獨(dú)立”及“等概率”,計(jì)算量并不

大.3.(2016課標(biāo)Ⅱ文,18,12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保

人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(2)若該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.解析(1)設(shè)A表示事件:“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一

年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(3分)(2)設(shè)B表示事件:“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年

內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=

=

=

=

.因此所求概率為

.

(7分)(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X元,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.

(12分)易錯(cuò)警示

對(duì)條件概率的定義理解不到位,或者不會(huì)運(yùn)用條件概率的求解公式,導(dǎo)致出錯(cuò).評(píng)析

本題考查了隨機(jī)事件的概率,同時(shí)考查了考生的應(yīng)用意識(shí)及數(shù)據(jù)處理能力,屬中檔題.4.(2015北京文,17,13分)某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商

品的情況,整理成如下統(tǒng)計(jì)表,其中“√”表示購(gòu)買,“×”表示未購(gòu)買.(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率;(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率;(3)如果顧客購(gòu)買了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?商品顧客人數(shù)

甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××解析(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了乙和丙,所以顧客同

時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率可以估計(jì)為

=0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出,在這1000位顧客中,有100位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙、丁,另有200位顧

客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙、丙,其他顧客最多購(gòu)買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率可以估計(jì)為

=0.3.(3)解法一:顧客同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率可以估計(jì)為

=0.2,顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率可以估計(jì)為

=0.6,顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率可以估計(jì)為

=0.1.所以,如果顧客購(gòu)買了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買丙的可能性最大.解法二:從統(tǒng)計(jì)表可以看出,同時(shí)購(gòu)買了甲和乙的顧客,也都購(gòu)買了丙;同時(shí)購(gòu)買了甲和丁的顧

客,也都購(gòu)買了丙;有些顧客同時(shí)購(gòu)買了甲和丙,卻沒有購(gòu)買乙或丁.所以,如果顧客購(gòu)買了甲,那么他同時(shí)購(gòu)買丙的可能性最大.思路分析(1)從統(tǒng)計(jì)表可得,在這1000名顧客中,同時(shí)購(gòu)買乙和丙的有200人,從而求得顧客同

時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率.(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表得,在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的有300人,故可求得顧客在甲、乙、

丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率.(3)解法一:在這1000名顧客中,分別求出同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率,同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率,同時(shí)

購(gòu)買甲和丁的概率,比較即可得出結(jié)論.解法二:分析購(gòu)買了甲的同時(shí)購(gòu)買其他商品的情況得出結(jié)論.5.(2015課標(biāo)Ⅱ理,18,12分)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了

20個(gè)用戶,得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下:A地區(qū):6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū):7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖,并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分

的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可);A地區(qū)

B地區(qū)

4

5

6

7

8

9

(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分,將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):記事件C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)

結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率.滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意解析(1)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下:A地區(qū)

B地區(qū)

4683513646426245568864373346992865183217552913通過(guò)莖葉圖可以看出,A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值;A

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.(2)記CA1表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”;CA2表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意”;CB1表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”;CB2表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意”,則CA1與CB1獨(dú)立,CA2與CB2獨(dú)立,CB1與CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得CA1,CA2,CB1,CB2發(fā)生的頻率分別為

,

,

,

,故P(CA1)=

,P(CA2)=

,P(CB1)=

,P(CB2)=

,P(C)=

×

+

×

=0.48.思路分析(1)將A、B地區(qū)數(shù)據(jù)逐一填入莖葉圖,然后通過(guò)莖葉圖作比較.(2)設(shè)出事件且指明

事件間的關(guān)系,利用相應(yīng)概率公式得結(jié)論.考點(diǎn)二古典概型1.(2019課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子,其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子

中隨機(jī)取出3只,則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題主要考查古典概型;考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是

數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析.記5只兔子分別為A,B,C,D,E,其中測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只兔子為A,B,C,則從這5只兔子中隨機(jī)取

出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種,其中恰有2只

測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的基本事件有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6種,所以所求事件的概率P=

=

.2.(2019課標(biāo)Ⅲ文,3,5分)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列,則兩位女同學(xué)相鄰的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

D本題考查古典概型,以現(xiàn)實(shí)生活中常見的學(xué)生排隊(duì)問(wèn)題為背景,考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知

識(shí)的應(yīng)用意識(shí).設(shè)兩位男同學(xué)分別為A、B,兩位女同學(xué)分別為a、b,則四位同學(xué)排成一列,所有可能的結(jié)果用

樹狀圖表示為

共24種結(jié)果,其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果有12種,∴P(兩位女同學(xué)相鄰)=

=

,故選D.技巧點(diǎn)撥

用樹狀圖列舉所有可能的結(jié)果是求解古典概型問(wèn)題的基本方法之一.3.(2018課標(biāo)Ⅱ,8,5分)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥

德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)

中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查古典概型.不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè),從這10個(gè)素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),

有

=45種情況,其和等于30的情況有3種,則所求概率等于

=

.故選C.方法總結(jié)解決關(guān)于古典概型的概率問(wèn)題關(guān)鍵是正確求出基本事件的總數(shù)和所求事件包含

的基本事件數(shù).(1)當(dāng)基本事件的總數(shù)較少時(shí),可用列舉法把所有基本事件一一列舉出來(lái).(2)注

意區(qū)分排列與組合,正確使用計(jì)數(shù)原理.4.(2018課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是

女同學(xué)的概率為

()A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3答案

D設(shè)兩名男生為A,B,三名女生為a,b,c,則從5人中任選2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),

(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10種.2人都是女同學(xué)的有(a,b),(a,c),(b,c),共3種,所以所求概

率為

=0.3.5.(2017課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1

張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D畫出樹狀圖如圖:

可知所有的基本事件共有25個(gè),滿足題意的基本事件有10個(gè),故所求概率P=

=

.故選D.思路分析

由樹狀圖列出所有的基本事件,可知共有25個(gè),滿足題目要求的基本事件共有10個(gè).

由古典概型概率公式可知所求概率P=

=

.易錯(cuò)警示

本題易因忽略有放回抽取而致錯(cuò).疑難突破當(dāng)利用古典概型求概率時(shí),應(yīng)區(qū)分有放回抽取與無(wú)放回抽取.有放回抽取一般采用

畫樹狀圖法列出所有的基本事件,而無(wú)放回抽取一般采用窮舉法.6.(2017山東理,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則

抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C本題主要考查古典概型.由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數(shù)n=9×8=72,抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的基

本事件個(gè)數(shù)m=

=40,所以所求概率P=

=

=

.故選C.7.(2016課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花

壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、

(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在

同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=

=

,故選C.解后反思

從4種顏色的花中任選2種共有6種情況,不重不漏地列舉出所有情況是解題關(guān)鍵.8.(2016課標(biāo)Ⅲ文,5,5分)小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N

中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C小敏輸入密碼前兩位的所有可能情況如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.而能開機(jī)的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率為

.9.(2015課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為

一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.

B.

C.

D.

答案

C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有10種取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,

5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構(gòu)成一組勾股數(shù)的有1種:(3,4,5),故所求事件的概率P=

,故選C.10.(2015廣東理,4,5分)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有10個(gè)白球,5個(gè)紅球.從袋

中任取2個(gè)球,所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率為

()A.

B.

C.

D.1答案

B從15個(gè)球中任取2個(gè)球,取法共有

種,其中恰有1個(gè)白球,1個(gè)紅球的取法有

×

種,所以所求概率P=

=

,故選B.11.(2019上海,10,5分)某三位數(shù)密碼,每位數(shù)字可在0—9這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè),則該三位數(shù)密

碼中,恰有兩位數(shù)字相同的概率是

.答案

解析設(shè)恰有兩位數(shù)字相同為事件A,解法一:P(A)=

=

.解法二:P(A)=1-

=

.易錯(cuò)警示所有基本事件的個(gè)數(shù)為103,而非

.12.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù),則選出的2名同

學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是

.答案

解析本題主要考查了古典概型和古典概型概率的計(jì)算方法,考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算求

解能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.解法一:記3名男同學(xué)分別為a1、a2、a3,2名女同學(xué)分別為b1、b2,從這5名同學(xué)中選出2名同學(xué)的

選法如下:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10種,其中至少有1

名女同學(xué)的選法如下:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7種,故所求概率P=

.解法二:從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)共有

=10種選法,其中選出的2名同學(xué)都是男同學(xué)的選法有

=3種,則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率P=1-

=

.解后反思

解決古典概型概率問(wèn)題的關(guān)鍵是不重不漏地列出所有基本事件,既可以從正面直

接求解,也可以從反面找對(duì)立事件來(lái)求解.13.(2018上海,9,5分)有編號(hào)互不相同的五個(gè)砝碼,其中5克、3克、1克砝碼各一個(gè),2克砝碼兩

個(gè),從中隨機(jī)選取三個(gè),則這三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為9克的概率是

(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表

示).答案

解析本題主要考查古典概型的概率計(jì)算.記5克、3克、1克砝碼分別為5、3、1,兩個(gè)2克砝

碼分別為2a,2b,則從這五個(gè)砝碼中隨機(jī)選取三個(gè),有以下選法:(5,3,1),(5,3,2a),(5,3,2b),(5,1,2a),

(5,1,2b),(5,2a,2b),(3,1,2a),(3,1,2b),(3,2a,2b),(1,2a,2b),共10種,其中滿足三個(gè)砝碼的總質(zhì)量為9克

的有(5,3,1),(5,2a,2b),共2種,故所求概率P=

=

.14.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng),則恰好

選中2名女生的概率為

.答案

解析解法一:把男生編號(hào)為男1,男2,女生編號(hào)為女1,女2,女3,則從5名學(xué)生中任選2名學(xué)生有:男1

男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10種情況,其中選中2名女生

有3種情況,則恰好選中2名女生的概率為

.解法二:所求概率P=

=

.15.(2017山東文,16,12分)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選

擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由題意知,從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},

{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B

1,B3},{B2,B3},共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè),則所求事件的概率P=

=

.(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B

2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè).包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè),則所求事件的概率P=

.1.求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法;方法總結(jié)求古典概型概率的一般步驟:2.求出事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m;3.代入公式P(A)=

求解.16.(2015湖南文,16,12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).抽

獎(jiǎng)方法是:從裝有2個(gè)紅球A1,A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1,a2和2個(gè)白球b1,b2的乙箱中,

各隨機(jī)摸出1個(gè)球.若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng),否則不中獎(jiǎng).(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果;(2)有人認(rèn)為:兩個(gè)箱子中的紅球比白球多,所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率.你認(rèn)為正確嗎?

請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)所有可能的摸出結(jié)果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},

{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正確.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出結(jié)果共12種,其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為{A1,a1},{A1,a2},{A2,a

1},{A2,a2},共4種,所以中獎(jiǎng)的概率為

=

,不中獎(jiǎng)的概率為1-

=

>

,故這種說(shuō)法不正確.評(píng)析

本題考查了隨機(jī)事件及其概率,古典概型概率的計(jì)算;考查了分析、計(jì)算能力及應(yīng)用意

識(shí).C組教師專用題組1.(2016北京文,6,5分)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B設(shè)其他3名學(xué)生為丙、丁、戊,從中任選2人的所有情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),

(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10種.其中甲被選中的情況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4種,故甲被選中的概率為

=

.故選B.易錯(cuò)警示在列舉基本事件時(shí)要不重不漏,可畫樹狀圖:

2.(2014湖北文,5,5分)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率記為p1,

點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則

()A.p1<p2<p3

B.p2<p1<p3

C.p1<p3<p2

D.p3<p1<p2

答案

C隨機(jī)拋擲兩枚骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和的結(jié)果如圖,則p1=

,p2=

,p3=

,∴p1<p3<p2,故選C.

3.(2014江西文,3,5分)擲兩顆均勻的骰子,則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B擲兩顆均勻的骰子,得到的點(diǎn)數(shù)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,

4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,

4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種可能的結(jié)果,點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4),(2,3),(3,

2),(4,1),共4種情況,所以所求事件的概率P=

=

,故選B.4.(2017上海,9,5分)已知四個(gè)函數(shù):①y=-x,②y=

,③y=x2,④y=

,從中任選2個(gè),則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為

.答案

解析給出四個(gè)函數(shù):①y=-x,②y=

,③y=x2,④y=

,從四個(gè)函數(shù)中任選2個(gè),基本事件總數(shù)n=

=6,③④有兩個(gè)公共點(diǎn)(0,0),(1,1).事件A:“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”包含的基本事件有①③,①④共2個(gè),∴P(A)=

=

.5.(2016四川文,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是

.答案

解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12

個(gè).記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A,則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2個(gè).∴P(A)=

=

.易錯(cuò)警示對(duì)a,b取值時(shí)要注意順序.評(píng)析

本題考查了古典概型.正確列舉出基本事件是解題的關(guān)鍵.6.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一

次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為

.答案

解析記兩只黃球?yàn)辄SA與黃B,從而所有的摸球結(jié)果為(白,紅),(紅,黃A),(紅,黃B),(白,黃A),(白,

黃B),(黃A,黃B),共6種情況,其中顏色不同的有5種情況,則所求概率P=

.7.(2014課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中

選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為

.答案

解析甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)9種,

其中顏色相同的有3種,所以所求概率為

=

.8.(2015四川文,17,12分)一輛小客車上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位

號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車.乘客P1因身體原因沒有坐自己

的1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的

座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐

法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)32145

32451

解析(1)余下兩種坐法如下表所示:(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則所有可能的坐法可用下表表示為乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)32415

32541乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)21345

23145

23415

23451

23541

24315

24351

25341于是,所有可能的坐法共8種.設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4.所以P(A)=

=

.答:乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是

.評(píng)析

本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算,考查運(yùn)用概率知識(shí)與方

法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.9.(2015山東文,16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)

據(jù)如下表:(單位:人)(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,

B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.

參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人,所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率P=

=

.(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個(gè).根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率P=

.三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2018天津河北二模文)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),則這個(gè)

兩位數(shù)大于30的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C“從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)”的事件包括12,21,

13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54,共有20個(gè);“從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),

組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),且該兩位數(shù)大于30”的事件包括31,32,34,35,41,42,43,45,51,

52,53,54,共有12個(gè),所以所求概率P=

=

.故選C.2.(2017天津和平三模文)春節(jié)期間和諧小區(qū)從初一至初八連續(xù)8天舉辦大型文藝匯演,居民甲

隨機(jī)選擇其中的連續(xù)3天觀看演出,那么他在初一至初四期間連續(xù)3天看演出的概率為()A.

B.

C.

D.

答案

D春節(jié)期間和諧小區(qū)從初一至初八連續(xù)8天舉辦大型文藝匯演,居民甲隨機(jī)選擇其中

的連續(xù)3天觀看演出,基本事件有(初一初二初三),(初二初三初四),(初三初四初五),(初四初五初六),(初五初六初七),

(初六初七初八),共6個(gè),他在初一至初四期間連續(xù)3天看演出包含的基本事件有(初一初二初三),(初二初三初四),共2

個(gè),∴他在初一至初四期間連續(xù)3天看演出的概率為

=

.故選D.評(píng)析

本題考查概率、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3.(2018天津一中月考文)若從集合{1,2,3,5}中隨機(jī)地選出三個(gè)元素,則滿足其中兩個(gè)元素的和

等于第三個(gè)元素的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B從集合{1,2,3,5}中隨機(jī)地選出三個(gè)元素,基本事件總數(shù)n=

=4,其中兩個(gè)元素的和等于第三個(gè)元素包含的基本事件有(1,2,3),(2,3,5),共有2個(gè),∴滿足其中兩個(gè)元素的和等于第三個(gè)元素的概率為

=

.故選B.評(píng)析

本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意列舉法的合理運(yùn)用.4.(2017天津紅橋二模文)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)小球,其中紅色球3個(gè),黃色球2個(gè),

若從中隨機(jī)取出2個(gè)球,則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于

()A.

B.

C.

D.

答案

D盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)小球,其中紅色球3個(gè),黃色球2個(gè),從中隨機(jī)取

出2個(gè)球,基本事件總數(shù)n=

=10,所取出的2個(gè)球顏色不同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=

=6,所取出的2個(gè)球顏色不同的概率為

=

=

.故選D.評(píng)析

本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等可能事件概率計(jì)算公式的合

理運(yùn)用.B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時(shí)間:90分鐘分值:145分一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2018天津二模)從大小相同的紅、黃、白、紫、粉5個(gè)小球中任選2個(gè),則取出的兩個(gè)小球中

沒有紅色球的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B從大小相同的紅、黃、白、紫、粉5個(gè)小球中任選2個(gè),包括(紅,黃),(紅,白),(紅,紫),

(紅,粉),(黃,白),(黃,紫),(黃,粉),(白,紫),(白,粉),(紫,粉),基本事件總數(shù)n=10,取出的兩個(gè)小球中沒

有紅色球包含的基本事件個(gè)數(shù)m=6,∴取出的兩個(gè)小球中沒有紅色球的概率P=

=

=

.故選B.2.(2018天津河西二模)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球,其中2個(gè)白球,2個(gè)紅球,1個(gè)黑球,從中

一次摸出兩個(gè)球,則摸出的兩個(gè)球中沒有紅球的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

C一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球,其中2個(gè)白球,2個(gè)紅球,1個(gè)黑球,從中一次摸出兩

個(gè)球,基本事件總數(shù)n=

=10,摸出的兩個(gè)球中沒有紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m=

=3,則摸出的兩個(gè)球中沒有紅球的概率是

=

.故選C.3.(2017天津和平四模)袋中有外觀相同的紅球、黑球各1個(gè),現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次,每

次摸取1個(gè)球,若摸到紅球時(shí)得2分,摸到黑球時(shí)得1分,則3次摸球所得總分為5的概率為()A.

B.

C.

D.

答案

C袋中有外觀相同的紅球、黑球各1個(gè),現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次,每次摸取1個(gè)

球,摸到紅球時(shí)得2分,摸到黑球時(shí)得1分,3次摸球所得總分為5是指3次摸球時(shí)兩次摸到紅球,一次摸到黑球,∴3次摸球所得總分為5的概率P=

=

.故選C.4.(2017天津和平二模)從數(shù)字1,2,3,4,5,6中任取2個(gè),求出乘積,則所得結(jié)果是3的倍數(shù)的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B從數(shù)字1,2,3,4,5,6中任取2個(gè),求出乘積,基本事件總數(shù)n=

=15,所得結(jié)果是3的倍數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=

+

=9,∴所得結(jié)果是3的倍數(shù)的概率是

=

=

.故選B.5.(2017天津部分區(qū)二模)某象棋俱樂部有隊(duì)員5人,其中女隊(duì)員2人,現(xiàn)隨機(jī)選派2人參加象棋比

賽,則選出的2人中恰有1人是女隊(duì)員的概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B隨機(jī)選派2人參加象棋比賽,有

=10種,選出的2人中恰有1人是女隊(duì)員,有

=6種,∴所求概率為

=

,故選B.6.(2017天津一中三月考)4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出

的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是

()A.

B.

C.

D.

答案

B從1,2,3,4中隨機(jī)取出兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共

6個(gè),其中和為偶數(shù)的有(1,3),(2,4),共2個(gè),由古典概型的概率公式可知,從1,2,3,4中隨機(jī)取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù)的概率為

=

.故選B.二、填空題(每小題5分,共25分)7.(2017天津河西三模)將一顆骰子向上拋擲兩次,所得點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則n≤2m的概率是

.答案

解析將一顆骰子向上拋擲兩次,所得點(diǎn)數(shù)分別為m和n,基本事件總數(shù)為6×6=36,n≤2m的對(duì)立事件是n>2m,n>2m包含的基本事件有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共有6個(gè),∴n≤2m的概率是1-

=

.故答案為

.8.(2017天津河?xùn)|模擬)甲、乙兩人進(jìn)行中國(guó)象棋比賽,甲贏的概率為0.5,下成和棋的概率為0.2,

則甲不輸?shù)母怕蕿?/p>

.答案0.7解析∵甲贏與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件,∴根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式可知:甲不輸?shù)母怕蔖=0.2+0.5=0.7.思路分析

利用互斥事件的概率加法公式即可得出.評(píng)析

正確理解互斥事件及其概率加法公式是解題的關(guān)鍵.9.(2017天津河?xùn)|一模)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球,白球和黑球,從中摸出一個(gè)球,摸出紅

球或白球的概率為0.58,摸出紅球或黑球的概率為0.62,那么摸出紅球的概率為

.答案0.2解析∵一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球,白球和黑球,從中摸出一個(gè)球,摸出紅球或白球的概

率為0.58,∴摸出黑球的概率為1-0.58=0.42.∵摸出紅球或黑球的概率為0.62,∴摸出白球的概率為1-0.62=0.38.∴摸出紅球的概率為1-0.42-0.38=0.2.10.(2017天津新華中學(xué)模擬)某優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué),坐成三排兩列,現(xiàn)從中隨機(jī)抽2人代表

本小組展示小組合作學(xué)習(xí)成果,則所抽的2人來(lái)自同一排的概率是

.答案

解析某優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有6名同學(xué),坐成三排兩列,現(xiàn)從中隨機(jī)抽2人代表本小組展示小組合作

學(xué)習(xí)成果,基本事件總數(shù)n=

=15,所抽的2人來(lái)自同一排包含的基本事件個(gè)數(shù)m=

=3,則所抽的2人來(lái)自同一排的概率是

=

=

.故答案為

.11.(2017天津河西一模)一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中一次隨

機(jī)取出2個(gè)球,則至少取到1個(gè)黑球的概率為

.答案

解析記2個(gè)白球分別為白1、白2,2個(gè)黑球分別為黑1、黑2,則從一個(gè)裝有除顏色外完全相同

的2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋中一次隨機(jī)取出2個(gè)球的基本事件包括白1白2,白1黑1,白1黑2,白2

黑1,白2黑2,黑1黑2,共6個(gè),其中至少取到1個(gè)黑球的事件為5個(gè),故所求概率P=

.三、解答題(共90分)12.(2019天津河北一模)為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí),某市面向全市學(xué)校征召100名教師做義務(wù)

宣傳志愿者,成立環(huán)境保護(hù)宣傳組,現(xiàn)把該組的成員按年齡分成5組,如下表所示:(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法選出6名志愿者參加某社區(qū)宣傳活動(dòng),應(yīng)從第3,4,5組各

選出多少名志愿者?(2)在(1)的條件下,宣傳組決定在這6名志愿者中隨機(jī)選2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn).①列出所有可能結(jié)果;②求第4組至少有1名志愿者被選中的概率.組別年齡人數(shù)1[20,25)52[25,30)353[30,35)204[35,40)305[40,45)10解析(1)由已知得第3,4,5組共有60名志愿者,∴從第3,4,5組中用分層抽樣的方法選出6名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動(dòng),各組應(yīng)選出的人數(shù)

分別為6×

=2,6×

=3,6×

=1.(2)①記第3組2名志愿者分別為A,B,第4組3名志愿者分別為a,b,c,第5組1名志愿者為d,則從這6人中隨機(jī)選2人,所有可能結(jié)果為{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a},{B,b},{B,c},{B,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共15

種.②設(shè)“從6名志原者中隨機(jī)選2名,第4組至少一名志愿者被選中”為事件A,則事件A所含基本事件有{A,a},{A,b},{A,c},{B,a},{B,b},{B,c},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共12種,故P(A)=

=

.13.(2019天津河西一模)某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,60

件,30件.為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的

樣本進(jìn)行調(diào)查,其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件.(1)應(yīng)從甲、丙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中分別抽取多少件?樣本容量n為多少?(2)設(shè)抽出的n件產(chǎn)品分別用A1,A2,…,An表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的2件產(chǎn)品來(lái)自不同車間”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)由已知得從甲、乙、丙三個(gè)車間抽取產(chǎn)品的數(shù)量之比是4∶2∶1,∵從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件產(chǎn)品,∴應(yīng)從甲、丙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中分別抽取4件和1件產(chǎn)品,∴樣本容量n=7.(2)①?gòu)某槌龅?件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A1,A7},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A2,A7},{A3,A4},

{A3,A5},{A3,A6},{A3,A7},{A4,A5},{A4,A6},{A4,A7},{A5,A6},{A5,A7},{A6,A7},共21個(gè).②不妨設(shè)抽出的7件產(chǎn)品中,來(lái)自甲車間的是A1,A2,A3,A4,來(lái)自乙車間的是A5,A6,來(lái)自丙車間的是

A7,則事件M包含的基本事件為{A1,A5},{A1,A6},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A6},{A2,A7},{A3,A5},{A3,A6},

{A3,A7},{A4,A5},{A4,A6},{A4,A7},{A5,A7},{A6,A7},共14個(gè).∴事件M發(fā)生的概率P=

=

.評(píng)析

本題考查分層抽樣、隨機(jī)事件所包含的基本事件、古典概型及其概率計(jì)算公式等基

礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.14.(2019天津一模)某高中高一,高二,高三的模聯(lián)社團(tuán)的人數(shù)分別為35,28,21,現(xiàn)采用分層抽樣

的方法從中抽取部分學(xué)生參加模聯(lián)會(huì)議,已知在高二年級(jí)和高三年級(jí)中共抽取7名學(xué)生.(1)應(yīng)從高一年級(jí)抽取多少名學(xué)生參加會(huì)議?(2)設(shè)從高二年級(jí)和高三年級(jí)抽出的7名學(xué)生分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名學(xué)

生承擔(dān)文件翻譯工作.①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的兩名學(xué)生來(lái)自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.解析(1)設(shè)高一年級(jí)參加會(huì)議的學(xué)生有x名,由已知得

=

,解得x=5,∴高一年級(jí)參加會(huì)議的學(xué)生有5名.(2)①?gòu)?名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},

{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},

{F,G},共21種.②由已知,得從高二年級(jí)抽取28×

=4人,從高三年級(jí)抽取21×

=3人,不妨設(shè)高二年級(jí)的4人分別表示為A,B,C,D,高三年級(jí)的3人分別表示為E,F,G,則抽取的2名學(xué)生來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{