新高考二輪復習真題源導數(shù)專題講義第38講 指對函數(shù)問題之對數(shù)單身狗（解析版）

第38講指對函數(shù)問題之對數(shù)單身狗1．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）對任意，求證：．【解答】解：（Ⅰ）的定義域是，，當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當時，令，解得：，令，解得：，故在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（Ⅱ）證明：要證，即證，即證，又，故，即證，令，則，令，則，而在遞增，且（1），（2），故存在唯一的實數(shù)，使得，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，（2），故大昂時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故（2），綜上：，即．2．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在點，處的切線的斜率為1，證明：當時【解答】解：（1）．令可得或．①若，即，則恒成立，在上單調(diào)遞增；②若，即，則當或時，，當時，，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，即，則當或時，，當時，，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．，，故．，設，，令，則，顯然，當時，，故在上單調(diào)遞增，又（1），當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得最小值（1），，即．3．設．（1）求的最小值；（2）若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），，解得，，令，得，即，當時，；當，時，．時，．（2）令，對函數(shù)求導數(shù)：令，解得，當時，對所有，，所以在，上是增函數(shù)，又，所以對，都有，即當時，對于所有，都有．當時，對于，，所以在是減函數(shù)，又，所以對，都有，即當時，不是對所有的，都有成立．綜上，的取值范圍是，．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當時，，，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以（1），所以．故在區(qū)間上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間．（Ⅱ），設，，則，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，且（1），①當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以（1）滿足條件；②當時，（1），，所以，，使得，所以當時，，單調(diào)遞減，即當時，（1），不滿足題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，．5．已知函數(shù)．（1）當時，求的最大值；（2）討論關于的方程的實根的個數(shù)．【解答】解：（1）時，，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減，故；（2）由，得，顯然是該方程的根，時，方程等價于，令，，則，令，則，時，單調(diào)遞減，時，（1），，單調(diào)遞減，時，（1），，單調(diào)遞增，時，，時，，時，，畫出函數(shù)的圖像，如圖示：結(jié)合圖像得：時，方程有2個實根，時，方程沒有實根，綜上：時，方程僅有1個實根，時，方程有3個實根．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點；（2）設是的一個零點，證明曲線在點，處的切線也是曲線的切線．【解答】解析：（1）函數(shù)．定義域為：，，；，且，在和上單調(diào)遞增，①在區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得，，，，在有且僅有一個零點，②在區(qū)間，區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得，又（e），，（e），在上有且僅有一個零點，故在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點；（2）是的一個零點，則有，曲線，則有；由直線的點斜式可得曲線的切線方程，曲線在點，處的切線方程為：，即：，將代入，即有：，而曲線的切線中，在點，處的切線方程為：，將代入化簡，即：，故曲線在點，處的切線也是曲線的切線．故得證．7．已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）．．時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增．時，，可得：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減．（2）不等式化為：，．，可得時，函數(shù)取得極小值即最小值，．．的取值范圍是．8．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）設，若關于的不等式在上恒成立，求的最小值．【解答】解：（1）由題意得，，，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，又在上恒成立，，即，令，則，設，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，存在唯一的，使得，且當時，；當，時，，，解得．，的最小值為2．9．已知函數(shù)，；（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），，，①當時，令，得；令，得；②當時，令，得或；（Ⅰ）當，即時，令，得或；令，得；（Ⅱ）當時，即時，則恒成立；（Ⅲ）當時，即時，令，得或；令，得；綜上所述：當時，在上遞減，在上遞增；當時，在和，上遞減，在上遞增；當時，在上遞減；當時，在和上遞減，在，上遞增．（2）由（1）得①當時，在上遞減，（1），；②當時，（Ⅰ）當，即時，在上遞減，在，上遞增，，符合題意；（Ⅱ）當，即時，在上遞減，（1），符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍為，．10．已知，直線為曲線在，處的切線，直線與曲線相交于點，且．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）（1）證明：；（2）證明：．【解答】（Ⅰ）解：由，得，則，可得曲線在，處的切線方程為，即．令，顯然，，由，得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．若，時，，，則在上單調(diào)遞增，且，在上無零點，舍去；若，，時，，則在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，而時，，在上存在零點．故的取值范圍是，；（Ⅱ）證明：（1）令，則（e），，，，當時，，當時，，則的最大值為（e），可得單調(diào)遞減，又（e），當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則（e），即；（2）先證，令，，，，當時，，當時，，則的最小值為，可得單調(diào)遞增，又，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，即，，是直線上的點，，，可得，，，得，故．11．已知函數(shù)，．（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：當時，．【解答】（1）解：令，則，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值（1），因為恒成立，即恒成立，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為，；（2）證明：由（1）可知，恒成立，即，所以要證，只需證明成立即可，令，則，令，則，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，又，（1），因為，則，所以存在，使得，故當時，，則單調(diào)遞增，當，時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，又（1），所以，因此，當時，．12．已知函數(shù)，．（1）若在處的切線也是的切線，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整數(shù)值．【解答】解：（1）由，得，則（1），又（1），在處的切線方程為．聯(lián)立，得．由題意，，且△，解得；（2），恒成立，即對任意恒成立，令．當時，得；若，，．的正根為，則在，上單調(diào)遞增，而（1），可得（1）在，上成立，與矛盾；當時，在上成立．令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增．（1），即，可得時，在上成立．的最小整數(shù)值為3．13．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），得由，得；，得；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．（2）對一切，恒成立，可化為對一切恒成立．令，，當時，，即在遞減，當時，，即在遞增，（1），，即實數(shù)的取值范圍是