入伍戰(zhàn)士的心理健康教育教學(xué)提綱

入伍戰(zhàn)士的心理健康教育第七章微分方程第七章微分方程第七章微分方程第七章微分方程教學(xué)目的：1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。會(huì)用降階法解下列微分方程：，和理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法可降階的高階微分方程，和二階常系數(shù)齊次線性微分方程；自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；教學(xué)難點(diǎn)：齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。4、歐拉方程§12?1微分方程的基本概念函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映?利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究?因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系?在實(shí)踐中具有重要意義?在許多問(wèn)題中?往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系?但是根據(jù)問(wèn)題所提供的情況?有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式?這樣的關(guān)系就是所謂微分方程?微分方程建立以后?對(duì)它進(jìn)行研究?找出未知函數(shù)來(lái)?這就是解微分方程?例1一曲線通過(guò)點(diǎn)(1?2)?且在該曲線上任一點(diǎn)M(x?y)處的切線的斜率為2x?求這曲線的方程?解設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)?根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義?可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)?(1)此外?未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?x?1時(shí)?y?2?簡(jiǎn)記為y|x?1?2?(2)把(1)式兩端積分?得(稱為微分方程的通解)?即y?x2?C?(3)其中C是任意常數(shù)?把條件“x?1時(shí)?y?2”代入(3)式?得2?12?C?由此定出C?1?把C?1代入(3)式?得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?y?x2?1?例2列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛?當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2?問(wèn)開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住?以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?解設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米?根據(jù)題意?反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式?(4)此外?未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?t?0時(shí)?s?0??簡(jiǎn)記為s|t?0=0?s?|t?0=20?(5)把(4)式兩端積分一次?得?(6)再積分一次?得s??0?2t2?C1t?C2?(7)這里C1?C2都是任意常數(shù)?把條件v|t?0?20代入(6)得20?C1?把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?把C1?C2的值代入(6)及(7)式得v??0?4t?20?(8)s??0?2t2?20t?(9)在(8)式中令v?0?得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間(s)?再把t?50代入(9)?得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程s??0?2?502?20?50?500(m)?解設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米?s????0?4?并且s|t?0=0?s?|t?0=20?把等式s????0?4兩端積分一次?得s???0?4t?C1?即v??0?4t?C1(C1是任意常數(shù))?再積分一次?得s??0?2t2?C1t?C2(C1?C2都C1是任意常數(shù))?由v|t?0?20得20?C1?于是v??0?4t?20?由s|t?0?0得0?C2?于是s??0?2t2?20t?令v?0?得t?50(s)?于是列車在制動(dòng)階段行駛的路程s??0?2?502?20?50?500(m)?幾個(gè)概念?微分方程?表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程?叫微分方程?常微分方程?未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程?叫常微分方程?偏微分方程?未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程?叫偏微分方程?微分方程的階?微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)?叫微分方程的階?x3y????x2y???4xy??3x2?y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?y(n)?1?0?一般n階微分方程?F(x?y?y??????y(n))?0?y(n)?f(x?y?y??????y(n?1))?微分方程的解?滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解?確切地說(shuō)?設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?如果在區(qū)間I上?F[x??(x)???(x)??????(n)(x)]?0?那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x?y?y??????y(n))?0在區(qū)間I上的解?通解?如果微分方程的解中含有任意常數(shù)?且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同?這樣的解叫做微分方程的通解?初始條件?用于確定通解中任意常數(shù)的條件?稱為初始條件?如x?x0時(shí)?y?y0?y??y?0?一般寫成??特解?確定了通解中的任意常數(shù)以后?就得到微分方程的特解?即不含任意常數(shù)的解?初值問(wèn)題?求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題?如求微分方程y??f(x?y)滿足初始條件的解的問(wèn)題?記為?積分曲線?微分方程的解的圖形是一條曲線?叫做微分方程的積分曲線?例3驗(yàn)證?函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt是微分方程

的解?解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)???將及x的表達(dá)式代入所給方程?得?k2(C1coskt?C2sinkt)?k2(C1coskt?C2sinkt)?0?這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt滿足方程?因此所給函數(shù)是所給方程的解?例4已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程的通解?求滿足初始條件x|t?0?A?x?|t?0?0的特解?解由條件x|t?0?A及x?C1coskt?C2sinkt?得C1?A?再由條件x?|t?0?0?及x?(t)??kC1sinkt?kC2coskt?得C2?0?把C1、C2的值代入x?C1coskt?C2sinkt中?得x?Acoskt?§12?2可分離變量的微分方程觀察與分析?1?求微分方程y??2x的通解?為此把方程兩邊積分?得y?x2?C?一般地?方程y??f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù))?2?求微分方程y??2xy2的通解?因?yàn)閥是未知的?所以積分無(wú)法進(jìn)行?方程兩邊直接積分不能求出通解?為求通解可將方程變?yōu)?兩邊積分?得?或?可以驗(yàn)證函數(shù)是原方程的通解?一般地?如果一階微分方程y???(x,y)能寫成g(y)dy?f(x)dx形式?則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程G(y)?F(x)?C?由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解對(duì)稱形式的一階微分方程?一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式?P(x?y)dx?Q(x?y)dy?0在這種方程中?變量x與y是對(duì)稱的?若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)?則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)?有?若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)?則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)?有?可分離變量的微分方程?如果一個(gè)一階微分方程能寫成g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式?就是說(shuō)?能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy?另一端只含x的函數(shù)和dx?那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?討論?下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?是??y?1dy?2xdx?(2)3x2?5x?y??0?是??dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?不是?(4)y??1?x?y2?xy2?是??y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?是??10?ydy?10xdx?(6)?不是?可分離變量的微分方程的解法?第一步分離變量?將方程寫成g(y)dy?f(x)dx的形式?第二步兩端積分??設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?第三步求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C?y??(x)或x??(y)都是方程的通解?其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?例1求微分方程的通解?解此方程為可分離變量方程?分離變量后得?兩邊積分得?即ln|y|?x2?C1?從而?因?yàn)槿允侨我獬?shù)?把它記作C?便得所給方程的通解?解此方程為可分離變量方程?分離變量后得?兩邊積分得?即ln|y|?x2?lnC?從而?例2鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比?已知t?0時(shí)鈾的含量為M0?求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?解鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)?由于鈾的衰變速度與其含量成正比?故得微分方程?其中?(?>0)是常數(shù)??前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少?即?由題意?初始條件為M|t?0?M0?將方程分離變量得?兩邊積分?得?即lnM???t?lnC?也即M?Ce??t?由初始條件?得M0?Ce0?C?所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t?例3設(shè)降落傘從跳傘塔下落后?所受空氣阻力與速度成正比?并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零?求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?解設(shè)降落傘下落速度為v(t)?降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))?根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F?ma?得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為?初始條件為v|t?0?0?方程分離變量?得?兩邊積分?得??即()?將初始條件v|t?0?0代入通解得?于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為?例4求微分方程的通解?解方程可化為?分離變量得?兩邊積分得?即?于是原方程的通解為?例4有高為1m的半球形容器?水從它的底部小孔流出?小孔橫截面面積為1cm2?開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水?求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律?解由水力學(xué)知道?水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算??其中0?62為流量系數(shù)?S為孔口橫截面面積?g為重力加速度?現(xiàn)在孔口橫截面面積S?1cm2?故?或?另一方面?設(shè)在微小時(shí)間間隔[t?t?dt]內(nèi)?水面高度由h降至h?dh(dh?0)?則又可得到dV???r2dh?其中r是時(shí)刻t的水面半徑?右端置負(fù)號(hào)是由于dh?0而dV?0的緣故?又因?所以dV???(200h?h2)dh?通過(guò)比較得到?這就是未知函數(shù)h?h(t)應(yīng)滿足的微分方程?此外?開始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的?所以未知函數(shù)h?h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件?h|t?0?100?將方程分離變量后得?兩端積分?得?即?其中C是任意常數(shù)?由初始條件得??因此?上式表達(dá)了水從小孔流出的過(guò)程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系?§12?3齊次方程齊次方程?如果一階微分方程中的函數(shù)f(x,y)可寫成的函數(shù)?即?則稱這方程為齊次方程?下列方程哪些是齊次方程？(1)是齊次方程??(2)不是齊次方程??(3)(x2?y2)dx?xydy?0是齊次方程??(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??(5)是齊次方程?

齊次方程的解法?在齊次方程中?令?即y?ux?有?分離變量?得?兩端積分?得?求出積分后?再用代替u?便得所給齊次方程的通解?例1解方程?解原方程可寫成?因此原方程是齊次方程?令?則y?ux??于是原方程變?yōu)?即?分離變量?得?兩邊積分?得u?ln|u|?C?ln|x|?或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?以代上式中的u?便得所給方程的通解?例2有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡?假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行?求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?解設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L?y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成?光源在原點(diǎn)?在L上任取一點(diǎn)M(x,y)?作L的切線交x軸于A?點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線?由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?因?yàn)?而?于是得微分方程?整理得?這是齊次方程?問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程?令?即x?yv?得?即?分離變量?得?兩邊積分?得,,,?以yv?x代入上式?得?這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線?它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為?這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?例3設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A?河寬OA?h?兩岸為平行直線?水流速度為a?有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O?設(shè)鴨子的游速為b(b>a)?且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O?求鴨子游過(guò)的跡線的方程?例3設(shè)一條河的兩岸為平行直線?水流速度為a?有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O?設(shè)鴨子的游速為b(b>a)?且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O?已知OA?h?求鴨子游過(guò)的跡線的方程?解取O為坐標(biāo)原點(diǎn)?河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸?y軸指向?qū)Π?設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x,y)?則鴨子運(yùn)動(dòng)速度?故有?另一方面???因此?即?問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程?令?即x?yu?得?分離變量?得?兩邊積分?得?將代入上式并整理?得?以x|y?h?0代入上式?得?故鴨子游過(guò)的軌跡方程為?0?y?h?將代入后的整理過(guò)程??§12.4線性微分方程一、線性方程線性方程?方程叫做一階線性微分方程?如果Q(x)?0?則方程稱為齊次線性方程?否則方程稱為非齊次線性方程?方程叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程?下列方程各是什么類型方程？(1)?是齊次線性方程?(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x?是非齊次線性方程?(3)y??ycosx?e?sinx?是非齊次線性方程?(4)?不是線性方程?(5)?或?不是線性方程?齊次線性方程的解法?齊次線性方程是變量可分離方程?分離變量后得?兩邊積分?得?或?這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?例1求方程的通解?解這是齊次線性方程?分離變量得?兩邊積分得ln|y|?ln|x?2|?lnC?方程的通解為y?C(x?2)?非齊次線性方程的解法?將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)?把

設(shè)想成非齊次線性方程的通解?代入非齊次線性方程求得?化簡(jiǎn)得??于是非齊次線性方程的通解為?或?非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?例2求方程的通解?解這是一個(gè)非齊次線性方程?先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解?分離變量得?兩邊積分得lny?2ln(x?1)?lnC?齊次線性方程的通解為y?C(x?1)2?用常數(shù)變易法?把C換成u?即令y?u?(x?1)2?代入所給非齊次線性方程?得

?兩邊積分?得?再把上式代入y?u(x?1)2中?即得所求方程的通解為?解?這里??因?yàn)???所以通解為?例3有一個(gè)電路如圖所示?其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))?電阻R和電感L都是常量?求電流i(t)?解由電學(xué)知道?當(dāng)電流變化時(shí)?L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?由回路電壓定律得出?即?把E?Emsin?t代入上式?得?初始條件為i|t?0?0?方程為非齊次線性方程?其中??由通解公式?得

?其中C為任意常數(shù)?將初始條件i|t?0?0代入通解?得?因此?所求函數(shù)i(t)為?二、伯努利方程伯努利方程?方程(n?0?1)叫做伯努利方程?下列方程是什么類型方程？(1)?是伯努利方程?(2)???是伯努利方程?(3)???是伯努利方程?(4)?是線性方程?不是伯努利方程?伯努利方程的解法?以yn除方程的兩邊?得

令z?y1?n?得線性方程?例4求方程的通解?解以y2除方程的兩端?得?即?令z?y?1?則上述方程成為?這是一個(gè)線性方程?它的通解為?以y?1代z?得所求方程的通解為?經(jīng)過(guò)變量代換?某些方程可以化為變量可分離的方程?或化為已知其求解方法的方程?例5解方程?解若把所給方程變形為?即為一階線性方程?則按一階線性方程的解法可求得通解?但這里用變量代換來(lái)解所給方程?令x?y?u?則原方程化為?即?分離變量?得?兩端積分得u?ln|u?1|?x?ln|C|?以u(píng)?x?y代入上式?得y?ln|x?y?1|??ln|C|?或x?Cey?y?1?§12?5全微分方程全微分方程?一個(gè)一階微分方程寫成P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0形式后?如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù)u?u(x,y)的全微分?du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?那么方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0就叫做全微分方程?這里??而方程可寫為du(x,y)?0?全微分方程的判定?若P(x,y)、Q(x,y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?且?則方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0是全微分方程?全微分方程的通解?若方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0是全微分方程?且du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy則u(x,y)?C?即?是方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0的通解例1求解(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0?解這里?所以這是全微分方程?取(x0,y0)?(0,0)?有

?于是?方程的通解為?積分因子?若方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0不是全微分方程?但存在一函數(shù)???(x,y)(?(x,y)?0)?使方程?(x,y)P(x,y)dx??(x,y)Q(x,y)dy?0是全微分方程?則函數(shù)?(x,y)叫做方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0的積分因子?例2通過(guò)觀察求方程的積分因子并求其通解:(1)ydx?xdy?0?(2)(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0?解(1)方程ydx?xdy?0不是全微分方程?因?yàn)?所以是方程ydx?xdy?0的積分因子?于是是全微分方程?所給方程的通解為?(2)方程(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0不是全微分方程?將方程的各項(xiàng)重新合并?得(ydx?xdy)?xy(ydx?xdy)?0?再把它改寫成?這時(shí)容易看出為積分因子?乘以該積分因子后?方程就變?yōu)?積分得通解?即?我們也可用積分因子的方法來(lái)解一階線性方程y??P(x)y?Q(x)?可以驗(yàn)證是一階線性方程y??P(x)y?Q(x)的一個(gè)積分因子?在一階線性方程的兩邊乘以得?即?亦即?兩邊積分?便得通解?或?例3用積分因子求的通解?解方程的積分因子為?方程兩邊乘以得?即?于是?因此原方程的通解為?§12?6可降階的高階微分方程一、y(n)?f(x)型的微分方程解法?積分n次??????例1求微分方程y????e2x?cosx的通解?解對(duì)所給方程接連積分三次?得???這就是所給方程的通解?或???這就是所給方程的通解?例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)?設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)?在開始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0?隨著時(shí)間t的增大?此力F均勻地減小?直到t?T時(shí)?F(T)?0?如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)?且初速度為零?求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?解設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置?根據(jù)牛頓第二定律?質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為?由題設(shè)?力F(t)隨t增大而均勻地減小?且t?0時(shí)?F(0)?F0?所以F(t)?F0?kt?又當(dāng)t?T時(shí)?F(T)?0?從而?于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為?其初始條件為??把微分方程兩邊積分?得?再積分一次?得?由初始條件x|t?0?0??得C1?C2?0?于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為?0?t?T?解設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置?根據(jù)牛頓第二定律?質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為mx???F(t)?由題設(shè)?F(t)是線性函數(shù)?且過(guò)點(diǎn)(0?F0)和(T?0)?故?即?于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為?其初始條件為x|t?0?0?x?|t?0?0?把微分方程兩邊積分?得?再積分一次?得?由初始條件x|t?0?0?x?|t?0?0?得C1?C2?0?于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為?0?t?T?二、y???f(x?y?)型的微分方程解法?設(shè)y??p則方程化為p??f(x?p)?設(shè)p??f(x?p)的通解為p??(x?C1)?則?原方程的通解為?例3求微分方程(1?x2)y???2xy?滿足初始條件y|x?0?1?y?|x?0?3的特解?解所給方程是y???f(x?y?)型的?設(shè)y??p?代入方程并分離變量后?有?兩邊積分?得ln|p|?ln(1?x2)?C?即p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?由條件y?|x?0?3?得C1?3?所以y??3(1?x2)?兩邊再積分?得y?x3?3x?C2?又由條件y|x?0?1?得C2?1?于是所求的特解為y?x3?3x?1?例4設(shè)有一均勻、柔軟的繩索?兩端固定?繩索僅受重力的作用而下垂?試問(wèn)該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?三、y???f(y?y?)型的微分方程解法?設(shè)y??p?有?原方程化為?設(shè)方程的通解為y??p??(y?C1)?則原方程的通解為?例5求微分yy???y?2?0的通解?解設(shè)y??p?則?代入方程?得?在y?0、p?0時(shí)?約去p并分離變量?得?兩邊積分得ln|p|?ln|y|?lnc?即p?Cy或y??Cy(C??c)?再分離變量并兩邊積分?便得原方程的通解為ln|y|?Cx?lnc1?或y?C1eCx(C1??c1)?例5求微分yy???y?2?0的通解?解設(shè)y??p?則原方程化為?當(dāng)y?0、p?0時(shí)?有?于是?即y??C1y?0?從而原方程的通解為?例6一個(gè)離地面很高的物體?受地球引力的作用由靜止開始落向地面?求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（不計(jì)空氣阻力）?§12?7高階線性微分方程一、二階線性微分方程舉例例1設(shè)有一個(gè)彈簧?上端固定?下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體?取x軸鉛直向下?并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)?給物體一個(gè)初始速度v0?0后?物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)?在振動(dòng)過(guò)程中?物體的位置x是t的函數(shù)?x?x(t)?設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c?則恢復(fù)力f??cx?又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力的大小與速度成正比?比例系數(shù)為??則?由牛頓第二定律得?移項(xiàng)?并記??則上式化為?這就是在有阻尼的情況下?物體自由振動(dòng)的微分方程?如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力F?Hsinpt的作用?則有?其中?這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程?例2設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路?其中R、L、及C為常數(shù)?電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)?E?Emsin?t?這里Em及?也是常數(shù)?設(shè)電路中的電流為i(t)?電容器極板上的電量為q(t)?兩極板間的電壓為uc?自感電動(dòng)勢(shì)為EL?由電學(xué)知道???根據(jù)回路電壓定律?得?即?或?qū)懗?其中??這就是串聯(lián)電路的振蕩方程?如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)?則上述成為?二階線性微分方程?二階線性微分方程的一般形式為y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?若方程右端f(x)?0時(shí)?方程稱為齊次的?否則稱為非齊次的?二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)先討論二階齊次線性方程y???P(x)y??Q(x)y?0?即?定理1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解?那么y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中C1、C2是任意常數(shù)?齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?證明[C1y1?C2y2]??C1y1??C2y2??[C1y1?C2y2]???C1y1???C2y2???因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0?所以有y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?從而[C1y1?C2y2]???P(x)[C1y1?C2y2]??Q(x)[C1y1?C2y2]?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)?設(shè)y1(x)?y2(x)?????yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)?如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1?k2?????kn?使得當(dāng)x?I時(shí)有恒等式k1y1(x)?k2y2(x)?????knyn(x)?0成立?那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)?否則稱為線性無(wú)關(guān)?判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法?對(duì)于兩個(gè)函數(shù)?它們線性相關(guān)與否?只要看它們的比是否為常數(shù)?如果比為常數(shù)?那么它們就線性相關(guān)?否則就線性無(wú)關(guān)?例如?1?cos2x?sin2x在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的?函數(shù)1?x?x2在任何區(qū)間(a,b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?定理2如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?那么y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?例3驗(yàn)證y1?cosx與y2?sinx是方程y???y?0的線性無(wú)關(guān)解?并寫出其通解?解因?yàn)閥1???y1??cosx?cosx?0?y2???y2??sinx?sinx?0?所以y1?cosx與y2?sinx都是方程的解?因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2?要使k1cosx?k2sinx?0?只有k1?k2?0?所以cosx與sinx在(??,??)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?因此y1?cosx與y2?sinx是方程y???y?0的線性無(wú)關(guān)解?方程的通解為y?C1cosx?C2sinx?例4驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無(wú)關(guān)解?并寫出其通解?解因?yàn)?x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?所以y1?x與y2?ex都是方程的解?因?yàn)楸戎礶x/x不恒為常數(shù)?所以y1?x與y2?ex在(??,??)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?因此y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無(wú)關(guān)解?方程的通解為y?C1x?C2ex?推論如果y1(x)?y2(x)?????yn(x)是方程y(n)?a1(x)y(n?1)?????an?1(x)y??an(x)y?0的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?那么?此方程的通解為y?C1y1(x)?C2y2(x)?????Cnyn(x)?其中C1?C2?????Cn為任意常數(shù)?二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?我們把方程y???P(x)y??Q(x)y?0叫做與非齊次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程?定理3設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解?Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解?那么y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?證明提示?[Y(x)?y*(x)]???P(x)[Y(x)?y*(x)]??Q(x)[Y(x)?y*(x)]?[Y???P(x)Y??Q(x)Y]?[y*???P(x)y*??Q(x)y*]?0?f(x)?f(x)?例如?Y?C1cosx?C2sinx是齊次方程y???y?0的通解?y*?x2?2是y???y?x2?的一個(gè)特解?因此y?C1cosx?C2sinx?x2?2是方程y???y?x2的通解?定理4設(shè)非齊次線性微分方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和?如y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)?而y1*(x)與y2*(x)分別是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解?那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?證明提示?[y1?y2*]???P(x)[y1*?y2*]??Q(x)[y1*?y2*]?[y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]?f1(x)?f2(x)?§12?9二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程?方程y???py??qy?0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程?其中p、q均為常數(shù)?如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解?那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?我們看看?能否適當(dāng)選取r?使y?erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程?為此將y?erx代入方程y???py??qy?0得(r2?pr?q)erx?0?由此可見?只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0?函數(shù)y?erx就是微分方程的解?特征方程?方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程?特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式

求出?特征方程的根與通解的關(guān)系?(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)?函數(shù)、是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?這是因?yàn)?函數(shù)、是方程的解?又不是常數(shù)?因此方程的通解為?(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)?函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?這是因?yàn)?是方程的解?又

?所以也是方程的解?且不是常數(shù)?因此方程的通解為?(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1,2???i?時(shí)?函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解?函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解?函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解?而由歐拉公式?得y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?y1?y2?2e?xcos?x??y1?y2?2ie?xsin?x??故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?可以驗(yàn)證?y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無(wú)關(guān)解?因此方程的通解為y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?第一步寫出微分方程的特征方程r2?pr?q?0第二步求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2?第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況?寫出微分方程的通解?例1求微分方程y???2y??3y?0的通解?解所給微分方程的特征方程為r2?2r?3?0?即(r?1)(r?3)?0?其根r1??1?r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根?因此所求通解為y?C1e?x?C2e3x?例2求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?4、y?|x?0??2的特解?解所給方程的特征方程為r2?2r?1?0?即(r?1)2?0?其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根?因此所給微分方程的通解為y?(C1?C2x)e?x?將條件y|x?0?4代入通解?得C1?4?從而y?(4?C2x)e?x?將上式對(duì)x求導(dǎo)?得y??(C2?4?C2x)e?x?再把條件y?|x?0??2代入上式?得C2?2?于是所求特解為x?(4?2x)e?x?例3求微分方程y???2y??5y?0的通解?解所給方程的特征方程為r2?2r?5?0?特征方程的根為r1?1?2i?r2?1?2i?是一對(duì)共軛復(fù)根?因此所求通解為y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?n階常系數(shù)齊次線性微分方程?方程y(n)?p1y(n?1)?p2y(n?2)?????pn?1y??pny?0?稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程?其中p1?p2?????pn?1?pn都是常數(shù)?二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式?可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?引入微分算子D?及微分算子的n次多項(xiàng)式?L(D)=Dn?p1Dn?1?p2Dn?2?????pn?1D?pn?則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn?p1Dn?1?p2Dn?2?????pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0?注?D叫做微分算子D0y?y?Dy?y??D2y?y???D3y?y????????Dny?y(n)?分析?令y?erx?則L(D)y?L(D)erx?(rn?p1rn?1?p2rn?2?????pn?1r?pn)erx?L(r)erx?因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根?則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?L(r)?rn?p1rn?1?p2rn?2?????pn?1r?pn?0稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)?單實(shí)根r對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)?Cerx?一對(duì)單復(fù)根r1?2???i?對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)?erx(C1?C2x?????Ckxk?1)?一對(duì)k重復(fù)根r1?2???i?對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)?e?x[(C1?C2x?????Ckxk?1)cos?x?(D1?D2x?????Dkxk?1)sin?x]?例4求方程y(4)?2y????5y???0的通解?解這里的特征方程為r4?2r3?5r2?0?即r2(r2?2r?5)?0?它的根是r1?r2?0和r3?4?1?2i?因此所給微分方程的通解為y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?例5求方程y(4)??4y?0的通解?其中??0?解這里的特征方程為r4??4?0?它的根為??因此所給微分方程的通解為?§12?10二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?方程y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?其中p、q是常數(shù)?二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和?y?Y(x)?y*(x)?當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)?方程的特解的求法?一、f(x)?Pm(x)e?x型當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)?可以猜想?方程的特解也應(yīng)具有這種形式?因此?設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x?將其代入方程?得等式Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根?則?2?p??q?0?要使上式成立?Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式?Qm(x)?b0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm?通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)?可確定b0?b1?????bm?并得所求特解y*?Qm(x)e?x?(2)如果?是特征方程r2?pr?q?0的單根?則?2?p??q?0?但2??p?0?要使等式Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?成立?Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1次多項(xiàng)式?Q(x)?xQm(x)?Qm(x)?b0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm?通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)?可確定b0?b1?????bm?并得所求特解y*?xQm(x)e?x?(3)如果?是特征方程r2?pr?q?0的二重根?則?2?p??q?0?2??p?0?要使等式Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?成立?Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式?Q(x)?x2Qm(x)?Qm(x)?b0xm?b1xm?1?????bm?1x?bm?通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)?可確定b0?b1?????bm?并得所求特解y*?x2Qm(x)e?x?綜上所述?我們有如下結(jié)論?如果f(x)?Pm(x)e?x?則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy?f(x)有形如y*?xkQm(x)e?x的特解?其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式?而k按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?例1求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解?解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1???0)?與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y???2y??3y?0?它的特征方程為r2?2r?3?0?由于這里??0不是特征方程的根?所以應(yīng)設(shè)特解為y*?b0x?b1?把它代入所給方程?得?3b0x?2b0?3b1?3x?1?比較兩端x同次冪的系數(shù)?得??3b0?3??2b0?3b1?1?由此求得b0??1??于是求得所給方程的一個(gè)特解為?例2求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x???2)?與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y???5y??6y?0?它的特征方程為r2?5r?6?0?特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2?r2?3?于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y?C1e2x?C2e3x?由于??2是特征方程的單根?所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y*?x(b0x?b1)e2x?把它代入所給方程?得?2b0x?2b0?b1?x?比較兩端x同次冪的系數(shù)?得??2b0?1?2b0?b1?0?由此求得?b1??1?于是求得所給方程的一個(gè)特解為?從而所給方程的通解為?提示?y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x]?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式應(yīng)用歐拉公式可得e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?其中??而m?max{l?n}?設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?則必是方程的特解?其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

?xke?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?綜上所述?我們有如下結(jié)論?如果f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]?則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為y*?xke?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式?m?max{l?n}?而k按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?例3求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解?解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0???2?Pl(x)?x?Pn(x)?0）?與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y???y?0?它的特征方程為r2?1?0?由于這里??i??2i不是特征方程的根?所以應(yīng)設(shè)特解為y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?把它代入所給方程?得(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)?得?b?0?c?0??于是求得一個(gè)特解為?提示?y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x??(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?y*???y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?由?得?b?0?c?0??§12?12微分方程的冪級(jí)數(shù)解法當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí)?我們就要尋求其它解法?常用的有冪級(jí)數(shù)解法和數(shù)值解法?本節(jié)我們簡(jiǎn)單地介紹微分方程的冪級(jí)數(shù)解法?求一階微分方程滿足初始條件的特解?其中函數(shù)f(x?y)是(x?x0)、(y?y0)的多項(xiàng)式?f(x?y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)?????aim(x?x0)l(y?y0)m?這時(shí)我們可以設(shè)所求特解可展開為x?x0的冪級(jí)數(shù)?y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2?????an(x?x0)n?????其中a1?a2?????an?????是待定的系數(shù)?把所設(shè)特解代入微分方程中?便得一恒等式?比較這恒等式兩端x?x0的同次冪的系數(shù)?就可定出常數(shù)a1?a2?????從而得到所求的特解?例1求方程滿足y|x?0?0的特解?解這時(shí)x0?0?y0?0?故設(shè)y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????把y及y?的冪級(jí)數(shù)展開式代入原方程?得a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4?????x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4????)2?x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4?????由此?比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)?得a1?0??a3?0?a4?0??????于是所求解的冪級(jí)數(shù)展開式的開始幾項(xiàng)為?定理如果方程y???P(x)y??Q(x)y?0中的系數(shù)P(x)與Q(x)可在?R<x<R內(nèi)展開為x的冪級(jí)數(shù)?那么在?R<x<R內(nèi)此方程必有形如

的解?例2求微分方程y???xy?0的滿足初始條件y|x?0?0?y?|x?0?1的特解?解這里P(x)?0?Q(x)??x在整個(gè)數(shù)軸上滿足定理的條件?因此所求的解可在整個(gè)數(shù)軸上展開成x的冪級(jí)數(shù)y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?????由條件y|x?0?0?得a0?0?由y??a1?2a2x?3a3x2?4a4x3????及y?|x?0?1?得a1?1?于是

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體育課導(dǎo)入語(yǔ)集錦體育課導(dǎo)入語(yǔ)集錦

/體育課導(dǎo)入語(yǔ)集錦體育課導(dǎo)入語(yǔ)集錦1．同學(xué)們，今天我們是新學(xué)期第一次到操場(chǎng)上來(lái)上體育課，大家高不高興？那么老師要來(lái)看一看今天誰(shuí)的表現(xiàn)最棒!2.今天我們要學(xué)習(xí)韻律操的動(dòng)作，哪位同學(xué)的動(dòng)作做得最漂亮，老師也要向你學(xué)習(xí)，要請(qǐng)你到前面來(lái)領(lǐng)操哦!3.今天我們要學(xué)習(xí)支撐與移動(dòng)的內(nèi)容，這可有一定的難度，大家有沒有信心克服困難？大聲點(diǎn)……4.今天老師發(fā)現(xiàn)有一個(gè)女同學(xué)穿著裙子來(lái)上體育課，老師要告訴你這可不好哦!非常遺憾，今天的有些體育活動(dòng)你只能為同學(xué)加油而不能參加嘍!5.今天我們進(jìn)行攀登肋木架的活動(dòng)，害怕的同學(xué)請(qǐng)舉舉手，讓老師來(lái)幫助你。6.今天老師發(fā)現(xiàn)有一個(gè)同學(xué)穿著涼鞋來(lái)上體育課，老師要告訴你這可不安全哦!非常遺憾，今天的很多體育活動(dòng)你只能為同學(xué)加油而不能參加嘍!8.今天天氣雖然很熱但我們同學(xué)都很勇敢，站在太陽(yáng)底下一點(diǎn)都不怕，尤其是女同學(xué)，汗流下來(lái)了也不擦，真是棒極了!9.同學(xué)們，你們喜歡姚明嗎？今天我們就來(lái)模仿姚明打籃球的動(dòng)作。10.滾翻是一種十分有用的自我保護(hù)動(dòng)作，今天老師就和大家一起來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)能保護(hù)自己的動(dòng)作。11.同學(xué)們，今天老師非常高興，因?yàn)榇蠹业臏?zhǔn)備工作都做得很好，老師希望大家保持下去，大家能不能做到？聲音太輕了老師沒有聽見，請(qǐng)?jiān)俅舐曊f(shuō)一遍。12.今天我們要進(jìn)行投擲壘球的比賽，大家可要聽從指揮，注意安全哦！13.跳遠(yuǎn)我們已經(jīng)學(xué)過(guò),但是今天老師要給你們?cè)黾右稽c(diǎn)難度,你們?cè)覆辉敢馓魬?zhàn)自己呢?14.今天是這學(xué)期第一次投擲實(shí)心球，老師提醒大家要當(dāng)心哦，千萬(wàn)別讓球砸到腳和別人。15.老師今天要和大家做一個(gè)集體的跑步游戲，這需要我們大家互相配合才能取得勝利，老師為你們的團(tuán)結(jié)而加油16.今天我們要開始學(xué)習(xí)一個(gè)新的本領(lǐng)，跨越式跳高，老師要看看誰(shuí)學(xué)得最快。17.今天要進(jìn)行50米快速跑的測(cè)試，大家有沒有信心提高自己的成績(jī)，大聲點(diǎn)！18.今天要舉行一個(gè)跳遠(yuǎn)的比賽，你們喜歡不喜歡？老師要看一看哪兩位同學(xué)（男、女）是我們班級(jí)的金牌獲得者，你們可要加油哦!19.你會(huì)玩實(shí)心球嗎？你有多少動(dòng)作，我們來(lái)比一比，交流一下好嗎？別忘了要注意安全哦！20.你們覺得自己是一個(gè)勇敢的人嗎？你有足夠的勇氣面對(duì)即將到來(lái)的挑戰(zhàn)嗎？21.今天我們要把以前學(xué)過(guò)的滾翻動(dòng)作組合起來(lái)，你們行不行？老師相信你們一定會(huì)成功的！22.最近老師覺得我們同學(xué)在體育課中的表現(xiàn)都有進(jìn)步，老師真的非常高興，今天，給大家進(jìn)行足球活動(dòng)，你們喜歡不喜歡？23.老師今天要再和同學(xué)做接力跑的游戲，上次有失誤的小組這次你們可要好好地表現(xiàn)，不要讓老師失望哦!24.今天我們既要比誰(shuí)的實(shí)心球投得遠(yuǎn)，又要比誰(shuí)跳得遠(yuǎn)，你們可要加油哦！25.同學(xué)們，今天的天氣非常好，不冷也不熱，十分適宜體育活動(dòng)，大家可要珍惜這個(gè)機(jī)會(huì)，好好的活動(dòng)起來(lái)哦!26.今天我們又要進(jìn)行支撐跳躍的練習(xí)，別忘了起跳的時(shí)候是雙腳哦！27.今天我們要做一個(gè)過(guò)障礙的游戲，你們有沒有信心克服困難？老師可要看誰(shuí)表現(xiàn)得最棒哦。28.今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)倒立的動(dòng)作,你們一定要比上次有進(jìn)步哦!29.上次我們已經(jīng)把滾翻的動(dòng)作進(jìn)行了組合，同學(xué)們完成得都不錯(cuò)，今天我們把這些組合動(dòng)作再做得漂亮些你們說(shuō)好嗎？30.上次我們投擲實(shí)心球的時(shí)候，有幾位同學(xué)沒有聽按要求去揀球，這樣可不安全，今天老師要給揀球聽從指揮的小組加分，希望大家都能掌握正確揀球的方法！31.同學(xué)們，上次進(jìn)行球類活動(dòng)時(shí)，老師發(fā)現(xiàn)有同學(xué)摔倒擦破了皮，雖然這位同學(xué)很勇敢，沒有哭，爬起來(lái)繼續(xù)活動(dòng)，可老師還是希望同學(xué)活動(dòng)時(shí)，動(dòng)作不要太大和過(guò)于猛烈，大家能不能做到？32.二年級(jí)的時(shí)候我們學(xué)習(xí)過(guò)爬行，大家有沒有忘記？今天我們來(lái)復(fù)習(xí)一下，比一比誰(shuí)的動(dòng)作最棒！33.今天我們要用實(shí)心球來(lái)做游戲，老師要看哪個(gè)小組最團(tuán)結(jié)，配合得最好!34.最近同學(xué)在體育課中的表現(xiàn)都有進(jìn)步，老師真的非常高興，今天獎(jiǎng)勵(lì)一下同學(xué)，給大家進(jìn)行球類活動(dòng).但是，在活動(dòng)時(shí)要注意安全，做準(zhǔn)備活動(dòng)可要認(rèn)真哦!35.今天老師要帶領(lǐng)大家一起環(huán)游我們的校園，路很長(zhǎng)，也很累，你們能不能堅(jiān)持到底？老師相信你們都是最棒的，都是不向困難低頭的好學(xué)生。36.上次同學(xué)們?cè)谶^(guò)障礙中表現(xiàn)得都不錯(cuò)，沒有人被障礙嚇倒，但老師今天把障礙設(shè)置在上面，不知大家能不能克服它？能的同學(xué)請(qǐng)舉舉手，啊!這么多？希望大家都能成功!37.同學(xué)們，今天的天氣冷不冷？怎么有氣無(wú)力的，聲音響亮一點(diǎn)？好的，請(qǐng)把手拿出來(lái)，跟著老師一起跑起來(lái)……38.今天老師要帶領(lǐng)大家一起進(jìn)行長(zhǎng)跑，路很長(zhǎng)，也很累，你們能不能堅(jiān)持到底？老師相信你們都是最棒的，都是不向困難低頭的好學(xué)生39.今天是本學(xué)期最后一次球類課，老師要看看誰(shuí)的控球技術(shù)掌握得最棒！是我們班級(jí)里的小球星。40.上次耐力跑的時(shí)候，老師發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)同學(xué)的鞋帶松了，停下來(lái)系，會(huì)影響跑在后面的同學(xué)，所以，現(xiàn)在用10秒鐘的時(shí)間請(qǐng)每位同學(xué)都先檢查一下……

部編版二年級(jí)語(yǔ)文下冊(cè)語(yǔ)文園地五教學(xué)設(shè)計(jì)部編版二年級(jí)語(yǔ)文下冊(cè)語(yǔ)文園地五教學(xué)設(shè)計(jì)

/部編版二年級(jí)語(yǔ)文下冊(cè)語(yǔ)文園地五教學(xué)設(shè)計(jì)語(yǔ)文園地五教學(xué)目標(biāo)：1．借助對(duì)漢字部首的認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)對(duì)詞語(yǔ)意思的理解，提升自主感悟語(yǔ)言文字的能力。2．理解并積累有關(guān)“笑”的詞語(yǔ)，實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言文字的有效積累。3．品讀感悟詞語(yǔ)所表達(dá)的情感，進(jìn)一步提升感情朗讀能力，培養(yǎng)良好的語(yǔ)感。4．通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，感受同義詞所構(gòu)成的詞語(yǔ)的有趣特點(diǎn)，培養(yǎng)探究學(xué)習(xí)的興趣。5．誦讀《弟子規(guī)》，感受三字經(jīng)的形式和韻味，實(shí)現(xiàn)對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的認(rèn)知積累。6．通過(guò)短文閱讀，進(jìn)一步深化對(duì)單元學(xué)習(xí)主題的認(rèn)知，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主閱讀的興趣。教學(xué)重點(diǎn)：豐富語(yǔ)言文字積累，提升運(yùn)用語(yǔ)言文字的能力。教學(xué)難點(diǎn)：能夠讀懂短文的內(nèi)容，深化對(duì)單元學(xué)習(xí)主題的認(rèn)知。教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件；動(dòng)物圖片；《弟子規(guī)》動(dòng)畫視頻第一課時(shí)課時(shí)目標(biāo)：1．借助對(duì)漢字部首的認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)對(duì)詞語(yǔ)意思的理解，提升自主感悟語(yǔ)言文字的能力。2．理解并積累有關(guān)“笑”的詞語(yǔ)，實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言文字的有效積累。3．品讀感悟詞語(yǔ)所表達(dá)的情感，進(jìn)一步提升感情朗讀能力，培養(yǎng)良好的語(yǔ)感。4．通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，感受同義詞所構(gòu)成的詞語(yǔ)的有趣特點(diǎn)，培養(yǎng)探究學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)過(guò)程