計算流體力學(xué)電子教案教學(xué)文稿

計算流體力學(xué)電子教案第二章擴(kuò)散問題的有限體積法

2-1一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的FVM計算格式2-2多維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的FVM求解預(yù)備知識：高斯公式(奧氏公式）或：寫出一維條件下的奧氏公式通用變量方程瞬態(tài)擴(kuò)散方程穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程瞬態(tài)對流擴(kuò)散方程穩(wěn)態(tài)對流擴(kuò)散方程壓力速度耦合方程非定常項對流項擴(kuò)散項源項2-1一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的FVM計算格式由通用變量方程得穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程為：2-1-1一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程將上式按張量運算法則展開得：由上式得一維條件下的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程：上式中,為通用變量，可為溫度、速度等變量；為擴(kuò)散系數(shù)或粘性系數(shù)，S為源項。2-1-2求解一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的步驟第一步生成離散網(wǎng)格第二步由控制方程(積分形式)形成離散方程組第三步求解方程組第一步：生成離散網(wǎng)格控制體的劃分（先劃分控制體后定節(jié)點,節(jié)點在控制體中心）相關(guān)的尺寸定義（約定：大寫字母代表節(jié)點，小寫字母代表邊界。）第二步：由控制方程(積分形式)形成離散方程組一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散控制方程為：將此控制方程在某控制體上積分:則由奧氏公式或高斯散度定理有：式中，控制體的體積為ΔV，全部表面積為A，源項在控制體中的平均值為S上式有明確的物理意義：場變量的凈增擴(kuò)散量（即自西側(cè)界面流入的擴(kuò)散流量減去東側(cè)界面流出的擴(kuò)散流量）等于源項產(chǎn)生的擴(kuò)散流量。積分方程中的下標(biāo)e、w表示控制體的界面（不是節(jié)點處），意味著我們需要知道擴(kuò)散系數(shù)___和場變量的梯度在控制體東西邊界上的值。這些值可由節(jié)點處的值插值得到。若采用線性插值(近似處理)，對于均勻網(wǎng)格有：同理，有：于是，通過界面的擴(kuò)散流量為接下來處理源項，源項可能為常數(shù)，也可能為場變量的函數(shù)，對其進(jìn)行線性化處理，得：將以上三式代入積分后的控制方程（即下式）中將上式按場變量的節(jié)點值進(jìn)行整理，得：令得離散方程：對于每一個節(jié)點（控制體）都可建立一個離散方程，所有節(jié)點的離散方程構(gòu)成一個方程組。由上式形成的方程組是三元一次的線性方程組，該方程的特點是具有三條對角線，故稱為三對角線性方程。目前可暫用matlab中A\b語句求解（高斯消元法）。下面用兩個例題說明有限體積法如何求一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題。第三步：解方程組例2.1用有限體積法求解無熱源一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題

圖示絕熱棒長0.5m，截面積A=10-2m2，左右端溫度保持為TA=100oC，TB=500oC。棒材料導(dǎo)熱系數(shù)k=1000W/(m·K)。求絕熱棒在穩(wěn)定狀態(tài)下的溫度分布。解：本問題的控制微分方程為可將此式與（2-1）式比較,可采用三步求解方法。第一步：生成離散網(wǎng)格（先控制體后節(jié)點）,生成5個單元（本問題有解析解）第二步：構(gòu)造離散方程對求解域中的2、3、4節(jié)點應(yīng)用離散方程(2-8)因故有：式中：由此得到3個方程對于2號控制體對于3號控制體對于4號控制體5個未知數(shù)，3個方程?？梢姴灰脒吔鐥l件是沒法求解的對求解域中的邊界節(jié)點1、5的離散方程需作特殊處理。方法仍然是對微分方程在邊界控制體內(nèi)積分。微分方程為：上式在左邊界控制體上積分，得：即在上述過程中有一假定：認(rèn)為A點的溫度梯度dT/dx與A點和1點的溫度線性相關(guān)將（2-12）式按節(jié)點溫度整理得：將上式與（2-8）式對照可知，邊界條件可以轉(zhuǎn)化成源項進(jìn)入控制容積積分方程。即左邊界的離散方程可以寫成：式中同理可對右邊界控制體進(jìn)行處理，得式中式中根據(jù)以上過程可以得到左右邊界控制體的離散方程：右端控制體左端控制體TA=100oC，TB=500oC第三步解線性方程組本問題的解析解為：T=800x+100例2.2用有限體積法求解有內(nèi)熱源一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題

圖示厚度為L=2cm的無限大平板，導(dǎo)熱系數(shù)k=0.5W/(m·K)，板內(nèi)有均勻內(nèi)熱源q=1000kW/m3,表面溫度A、B分別保持為TA=100oC，TB=200oC。求板內(nèi)x向的溫度分布。解：由于板在y、z方向為無限大，因此可作為一維問題處理，即只考慮x方向。相對于無源問題，控制方程中增加了源項。即第一步：生成離散網(wǎng)格（先控制體后節(jié)點）,生成5個單元第二步：構(gòu)造離散方程方法一：可以直接套用公式(2-8)，但邊界節(jié)點需特殊處理。式中注：方法二：也可通過對控制方程的積分推導(dǎo)出離散方程，同例2.1的過程，以下用方法求離散方程。由于有厚度L=2cm，導(dǎo)熱系數(shù)k=0.5W/(m·K)，板內(nèi)均勻內(nèi)熱源q=1000kW/m3,表面溫度A、B分別保持為TA=100oC，TB=200oC。求板內(nèi)x向的溫度分布。由得控制體2、3、4、1、5的離散方程為（打一4個字母的英文單詞）2-2多維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的FVM求解2-2-1二維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的有限體積法第一步：生成離散網(wǎng)格由通用變量方程得穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程為：將上式按張量運算法則展開得：由上式得二維條件下的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程：下面，對上式在控制體上進(jìn)行積分第二步：構(gòu)造離散方程控制微分方程在控制體上積分：應(yīng)用高斯散度定理：式中：S為控制體表面，α、β、γ為S上任一微小表面的外法線與xyz軸的夾角積分上式得：用線性插值方法，可將上式第一~四項中的偏導(dǎo)數(shù)表示為：將以上四項的表達(dá)式代入積分方程，得：并對源項進(jìn)行線性化處理，即：整理得：寫成通用形式通用離散方程:式中：第三步：求解離散方程組以下以一個例子說明二維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散問題的有限體積法求解例2.3如圖所示二維受熱平板，板厚1cm，材料熱傳導(dǎo)系數(shù)k=1000W/(m.K)，西側(cè)邊界有穩(wěn)定熱流輸入，熱流強(qiáng)度q=500kW/m2。東側(cè)和南側(cè)邊界絕熱，北側(cè)邊界保持常值溫度TN=100oC。求板內(nèi)溫度分布。（注意本題中q的量綱與例2-2中的q不同）解：劃分網(wǎng)格如圖，Δx=Δy=0.1m。控制微分方程為：離散方程：上式中：以上離散方程式可以處理6、7控制體。對于邊界控制體不能直接處理。對于控制體6、7有：對于邊界控制體，可由控制積分方程得到離散方程。以下以第4控制體為例，說明離散方程的建立過程。先介紹傳熱問題中的一個定律。傅立葉定律：熱傳導(dǎo)的速率與溫度梯度以及垂直于熱流方向的表面積成正比。式中

dQ──熱傳導(dǎo)速率，W或J/s；dA──等溫表面的面積，m2；──溫度梯度，℃/m或K/m；l

──導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·℃)或W/(m·K)。負(fù)號表示熱流方向與溫度梯度的方向相反。數(shù)學(xué)表達(dá)式:由上式得:（可見熱流強(qiáng)度q的單位為W/m2。）在研究區(qū)域內(nèi)無熱源，S=0，故有：由傅立葉定律又:整理得離散方程：同理得其它邊界控制體的離散方程（對于絕熱邊界q=0）。這些方程構(gòu)成了一個線性方程組。解之，得板內(nèi)溫度分布。從計算結(jié)果可以看出溫度分布有什么特點？%本程序用于繪制李人憲《有限體積法》p26例2.3等溫線

x=[0.050.050.050.050.150.150.150.150.250.250.250.25];

y=[0.050.150.250.350.050.150.250.350.050.150.250.35];

T=[260242.2205.6146.3222.7211.1178.1129.7212.1196.5166.2124];

lx=0:0.01:0.3;ly=0:0.01:0.4;

[X,Y]=meshgrid(lx,ly);

Z=griddata(x,y,T,X,Y);

[cs,h]=contour(X,Y,Z,[110:10:270],'b-');clabel(cs,h,'manua