基于改進(jìn)的Black-Scholes模型在期權(quán)定價的應(yīng)用

學(xué)號：0707014120導(dǎo)師：薛震專業(yè)：數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)基于改進(jìn)的Black-Scholes模型

在期權(quán)定價中的應(yīng)用答辯人：張笑天主要內(nèi)容1研究背景及意義2B-S模型及離散二叉模型3對二叉樹模型進(jìn)行參數(shù)改進(jìn)求解并比較分析4總結(jié)及展望1.研究背景意義近年來隨著美國金融海嘯的到來，資本市場面臨風(fēng)險加劇的問題。期權(quán)作為風(fēng)險管理的有效工具倍受投資人矚目。期權(quán)定價是期權(quán)投資的核心因而意義重大。期權(quán)定價模型理論還不成熟。期權(quán)————持有人在到期日T，按敲定價格K向出售方買賣原生資產(chǎn)S的權(quán)利。獲得買權(quán)———看漲期權(quán)；收益：

獲得賣權(quán)———看跌期權(quán)；收益：期權(quán)介紹圖1.1看漲看跌期權(quán)價值期權(quán)價值2.B-S模型及離散二叉樹模型資產(chǎn)價格遵循幾何Brown運動，

----股票的期望收益率----股票的波動率-----為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動2.1B-S模型對稱隨機(jī)游動在每個時間段內(nèi)等可能的向左或向右移動一個單位長度，現(xiàn)在加速這個過程，在越來越小的時間間隔內(nèi)走越來越小的步子。若能以正確的方式趨于極限，就得到布朗運動。模擬股票震蕩的關(guān)鍵B-S模型的布朗運動可由隨機(jī)徘徊近似在每個時間間隔內(nèi)隨機(jī)徘徊分成向前向后兩個狀態(tài)，即兩點分布布。離散的二叉樹模型初始股價在時段內(nèi)或上揚或下挫2.2二叉樹模型圖2.1資產(chǎn)波動的二叉模型股票價格和期權(quán)價值變化同步，對應(yīng)股票價格的兩種不同態(tài)歐式買權(quán)期權(quán)分別為歐式看漲期權(quán)價格歐式看跌期權(quán)價格圖2.2期權(quán)價值波動二叉模型在兩種不同股價中對沖操作價值分別為

投資組合初期資金流入股價上揚

股價下挫買出看漲期權(quán)買入

份股票表2.1投資組合由于該投資組合是套期保值資產(chǎn)組合，對任何可能狀態(tài)下取值，資產(chǎn)組合的收益相同，在無套利市場環(huán)境中兩種交價值等同，都與無風(fēng)險儲蓄收益等值)

我們并不是在完全化的條件下來為期權(quán)估值。我們只是根據(jù)標(biāo)的股票的價格來估計期權(quán)的價值，未來上升和下降的概率其實已經(jīng)包含在股票的價格之中了，公式本身包含了隨機(jī)因素。股票上升的概率股票下降的概率期權(quán)的預(yù)期收益預(yù)期收益值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值

多步二叉樹模型以單期看漲期權(quán)的二叉式期權(quán)定價公式為基礎(chǔ)，可以得到看漲期權(quán)的二叉期權(quán)定價公式，然后推廣到n

期看漲期權(quán)二叉樹期權(quán)定價公式。將期權(quán)的生存周期區(qū)間劃分

初始原始資產(chǎn)可達(dá)狀態(tài)這是模擬股票的可能取值看張期權(quán)對應(yīng)的價值為對應(yīng)的概率期權(quán)的預(yù)期收益輸入初始股價及參數(shù)u,d模擬T時刻n+1種股價取值計算每種股價取值的概率計算出期權(quán)預(yù)期收益與T時刻收益等效的初始時刻無風(fēng)險儲蓄值即為期權(quán)價格算法流程B-S模型和二叉樹模型關(guān)系二叉樹模型的兩個區(qū)值兩點分布模擬兩個股價的兩個區(qū)值取值多步二叉樹N重伯努利實驗?zāi)MN+1個可能取值B-S模型布朗運動大量可能取值布朗運動是隨機(jī)徘徊的極限利用伊藤過程推得3改進(jìn)的二叉樹方法求解

及比較分析3.1對參數(shù)改進(jìn)為了方便問題的解決，采用了二叉樹模型。二叉樹模型實質(zhì)是B-S模型離散后，對參數(shù)的改進(jìn)仍要從B-S模型本身找依據(jù)。表2.2兩點分布用兩點分布代替正態(tài)分布是(-1,1)等概率的兩點分布

考慮到波動率是時間函數(shù)，每個數(shù)據(jù)有用信息量不同。利用指數(shù)加權(quán)平移法是以幾何衰減的指數(shù)為權(quán)重具體表示這樣波動率對時間更加敏感B-S模型中波動率是常數(shù)，這與股票價格時時有跳躍的情況相背。波動率應(yīng)與時間有關(guān)。對波動率的修正選取2005．05．12到2005．06．10這22個交易日：標(biāo)的股票為AppleC、敲定價格為35美元、到期日為2005．07．20的期權(quán)交易數(shù)據(jù)為樣本計算樣本觀測值收益率3.2數(shù)值模擬圖3.1收益率改進(jìn)的二叉樹模擬值和真實值比較圖3.2真實值和模擬值比較4總結(jié)和展望進(jìn)而將重點轉(zhuǎn)移到布朗運動模擬股票波動核心問題，利用布朗運動和兩點分布的隨機(jī)序列的關(guān)系，對參數(shù)取法進(jìn)修正?？头心Ｐ椭袑Ω怕嗜≈悼赡転樨?fù)或大于1的問題。端針對模型中參數(shù)恒定的假設(shè)，提出參數(shù)是時間的函數(shù)