數(shù)字信號處理

會計學1數(shù)字信號處理如圖(6.4-1)所示對式(6.4-1)的時間變量量化，且時間圖(6.4-1)間隔T足夠小，則有(n1)TnTty(n1)0y(t)y(n)y(t)t=nT

dy(t)dty(n)y(n1)

Tt=nT

y(t)[y(n)+y(n1)]

21第1頁/共43頁對式（6.4-3）兩邊取z變換同理代入式(6.4-1)(6.4-3)t=nT

x(t)[x(n)+x(n1)]

21y(n)y(n1)

Td0

[x(n)+x(n1)]

2=c0

[y(n)+y(n1)]

2+(1z1)Y(z)+Td0

2c0

21(1+z1)Y(z)=(1+z1)X(z)Y(z)X(z)H(z)==d0

2(1+z1)(1z1)+Tc0

21(1+z1)=d0

(1z1)(1+z1)T2+

c0

第2頁/共43頁得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

比較兩式，可以直接由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)(6.4-5)d0s+c0H(s)=H(z)=d0

1z11+z1T2+

c0

得到將s平面映射到z平面的關系為(6.4-6)H(z)=H(s)1z11+z1T2s=1z11+z1T2s=第3頁/共43頁由(6.4-6)式解出

式(6.4-6)與(6.4-7)的變換都是單值對應的，其分子和分母均為自變量的線性函數(shù)，雙線性變換法也因此得名。(6.4-7)z

=T2s1T2s1+將z=ej

(單位圓)代入(6.4-6)式，并設s=

+j，有(6.4-6)1z11+z1T2s=

+j=1ejT21+ej(ej/2

ej/2)T2(ej/2

+

ej/2)j2j21=T2tan=j2第4頁/共43頁(6.4-9)比較(6.4-8)等式兩邊，得到=0

+j=jT2tan2(6.4-8)T2tan

=2由(6.4-8)看到雙線性變換法的映射關系使s平面的虛軸映射為z平面的單位圓。而(6.4-9)式頻率正切變換關系實現(xiàn)了頻率壓縮，使模擬域從~的變化，壓縮為數(shù)字域頻率從

~變化。第5頁/共43頁將s=

+j代入(6.4-7)，有穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)映射為穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)。=0

|z|=1<0

>0

|z|>1

|z|<1

(1+T/2)2<(1T/2)2(1+T/2)2>(1T/2)2z

=1Ts/21+Ts/21T/2jT/21+T/2+jT/2=(6.4-10)|z|

=(1T/2)2+(T/2)2(1+T/2)2+(T/2)2第6頁/共43頁由于雙線性變換法映射關系是單值對應的，克服了脈與關系是非線性的，使得模擬濾波器與數(shù)字濾波器在沖響應不變法頻譜混疊現(xiàn)象。但是由(6.4-6)表示的響應與頻率的對應關系上會產(chǎn)生畸變，如圖6.4-2所示。即原來的s/p=k

由雙線性變換后s/p≠

k

第7頁/共43頁1)確定DF性能要求，確定數(shù)字濾波器各臨界頻率{k}。

傳遞函數(shù)H(s)。這個模擬低通濾波器也稱為模擬原型(歸一化)濾波器。2.雙線性變換法設計數(shù)字濾波器四個步驟：2)由雙線性變換關系將{k}變換為模擬域臨界頻率{k}。

3)按{k}、衰減指標求出模擬低通濾波器的(歸一化)第8頁/共43頁(4)由雙線性變換關系將H(s)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。與脈沖不變法一樣，設計過程中除了的第一步求數(shù)字臨界頻率{k}時，要用到取樣間隔T或取樣頻率fs以外，最后的結(jié)果與其它各步驟中T或fs的取值無關。所以為了簡化運算，在實際計算時，除了第一步，通常取T=1或T=2。第9頁/共43頁例6.4-2：例6.4-1

H(s)的一階原型低通系統(tǒng)函數(shù)為：(1)將T=1/2000代入，得p=2906rad/sH(s)=ps+p,用雙線性變換關系求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。H(s)=2096s+20961z11+z140002096+2096=H(z)=H(s)T2s=1z11+z1第10頁/共43頁

一般H(z)系數(shù)≤1，則(2)令T=2代入，得4000(1z1)+2096(1+z1)2096(1+z1)=6096z10942096(1+z)=z0.15840.421(1+z)H(z)=p

=tanp/2=0.7265H(s)=ps+p0.7265s+0.7265=第11頁/共43頁(1)與(2)的結(jié)果相同。一般H(z)系數(shù)≤1，則z0.15840.421(1+z)H(z)=1z11+z10.7265+0.7265=H(z)=H(s)T2s=1z11+z1(1z1)+0.7265(1+z1)0.7265(1+z1)=1.7265

z0.27350.7265(1+z)=第12頁/共43頁器，設計指標為例6.4-3用雙線性變換法設計一巴特沃思數(shù)字低通濾波通帶截止頻率p

=0.2，通帶最大衰減p

≤1dB；阻帶邊緣頻率s=0.3，阻帶最小衰減s

≥15dB；10.20.31

12|Hd(ej)|第13頁/共43頁解：與例6.2-4相同，可用三種方法求解此題。(1)按照設計的一般步驟作第二步開始。為方便直接取T=1，則由雙線性頻率變因為給出的頻率條件已經(jīng)是數(shù)字臨界頻率{k}，應從換

=2tan(/2)，得到預畸校正頻率分別為p=2tan(0.2/2)=2tan(0.1)s=2tan(0.3/2)=2tan(0.15)，第14頁/共43頁這樣模擬濾波器的設計指標為通帶截止頻率p=0.65，通帶最大衰減p≤1dB；阻帶邊緣頻率s=1.019，阻帶最小衰減s≥15dB；10lg|H(jp)|2≥1，|H(j2tan(0.1))|2≥10-0.1；lg|H(jp)|2≥0.1，10lg|H(js)|2≥15，|H(j2tan(0.15))|2≥10-1.5。lg|H(js)|2≥1.5，1）求N、c第15頁/共43頁由巴特沃思濾波器的數(shù)學模型得到由此可得：整理

1+[2tan(0.1)/c]2N=100.1(6.4-11a)1+[2tan(0.15)/c]2N=101.5(6.4-11b)(6.4-11c)[2tan(0.1)/c]2N=100.11=1.25981=0.2598(6.4-11d)[2tan(0.15)/c]2N=101.51=31.62281=30.6228|H(j)|2=1+(/c)2N11+(/c)2N|H(j)|2=1第16頁/共43頁將這個N代入(6.4-11c)式，解出c0=0.738。但N必須取整數(shù)，所以取N=6，同時取c=0.76622>c0這與沖激不變法相反，由保證阻帶指標，改善通帶指標。(6.4-11c)(6.4-14d)=2tan0.152tan0.12N=0.258930.6228=8.4547103由N=21lg(8.4547103)lg(0.3249/0.5095)=2.07290.1954215.304第17頁/共43頁ⅱ）求Ha

(s)

N=6，為偶數(shù)，極點間隔為/N=/6=30，起點/2N=15，實軸上無極點；H(s)的系數(shù)均為實數(shù)，H(s)的復極點都是共軛半平面。c-cj

/615成對的，且均在s左第18頁/共43頁由此得到：s1,6=

c(cos75±jsin75)=

0.198±j0.742s2,5=

c(cos45±jsin45)=0.5415±j0.5415s3,4=c(cos15±jsin15)=0.742±j0.198H(s)=(ssk)k=16(sk)k=16第19頁/共43頁去歸一化后也可以查表6.2得到N=6的歸一化Ha

(s)為

H(s)=

H(s)=

第20頁/共43頁數(shù)字濾波器振幅頻響（dB）如圖6.4.4所示。3）求H(z)H(z)=H(s)T2s=1z11+z1(10.9042z1+0.2154z2

)(11.0108z1+0.3585z2)0.00073794(1+z1)6=(11.2687z1+0.705z2)1第21頁/共43頁雙線性變換法第22頁/共43頁例6.4-4指標同例6.4-3，用雙線性變換法設計數(shù)字切比雪夫濾波器。通帶截止頻率p=0.2，通帶最大衰減p≤1dB；阻帶邊緣頻率s

=0.3，阻帶最小衰減s

≥15dB；解：令T=1，則p=2tan(0.2/2)=2tan(0.1)=0.65s=2tan(0.3/2)=2tan(0.15)=1.019，第23頁/共43頁1）p=c=0.65

取N=4，與脈沖不變法相同。

2）11(11)2=100.1

1==0.508853）cosh1(s/c)Ncosh111(2)21cosh11101.51=cosh1(tan0.15

/tan.2)cosh10.508855.5338=cosh1(1.0196/0.65)3.0783=1.02073.016第24頁/共43頁a=21(1/N1/N)=

1+1+2=1.9652+2.205=4.1702=21(1/41/4)=21(1.4290.7)=0.3645b=21(1/N+1/N)=21(1/4+1/4)=21(1.429+0.7)=1.0645s1,4=accos[(2k

1)/2N]±jbcsin[(2k1)/2N]=0.36450.65cos(/8)±j1.06450.65sin(/8)=0.2189±j0.2647第25頁/共43頁=0.36450.65cos(3/8)±j1.06450.65sin(3/8)=0.0907±j0.639s2,3=accos[3/2N]±jbcsin[3/2N]4）確定模擬低通系統(tǒng)函數(shù)H(s)可以利用表6.2得到歸一化H(s

)，再去歸一化得到H(s)。23c4H(s)=(spk)k=141(s2+0.1814s+0.4166)(s2

+0.4378s

+0.118)=0.04381第26頁/共43頁系統(tǒng)函數(shù)由模擬低通系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)雙線性變換法確定數(shù)字低通與用沖激不變法設計數(shù)字切比雪夫濾波器相比，基本步驟一樣，只是模擬低通原型p=c=0.65。H(z)=H(s)T2s=1z11+z1(11.4996z1+0.8482z2)(11.5548z

1

+0.6493z2)=0.001836(1+z1)4第27頁/共43頁切比雪夫數(shù)字濾波器振幅頻響(dB)如圖6.4.6所示。第28頁/共43頁由圖6.4.6與圖6.4.5巴特沃思濾波器振幅頻響相比，在保證通帶指標的前提下，阻帶指標改善很多。這是因為切比雪夫數(shù)字濾波器實際階數(shù)N取4，比計算所需的理論階數(shù)3.016有較大的富余量。第29頁/共43頁§6.5原型變換法前面兩節(jié)討論的是由巴特沃思、切比雪夫模擬原型低通濾波器設計數(shù)字低通的方法。而實際待求的數(shù)字濾波器重討論由模擬低通原型設計實際數(shù)字濾波器的方法。如圖6.5.1所示，一般有三種方法可以由模擬低通原型設計所需的數(shù)字濾波器。有各種不同的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，本節(jié)著第30頁/共43頁圖6.5.1原型變換的三種設計方法示意圖HL(j)HL(ej)1、s→z3、s→zHd(ej)z→ZHd(j)2、s→ss→z圖中HL(j)表示模擬低通原型濾波器，Hd(ej)表示所需設計的數(shù)字濾波器。第31頁/共43頁由圖可見，由模擬低通原型濾波器出發(fā)，設計數(shù)字濾波器的第一種方法是由模擬低通原型濾波器HL(j)，用沖激不變法或雙線性變換法得到數(shù)字低通濾波器的HL(ej)

；再由數(shù)字低通得到所需的數(shù)字濾波器的Hd(ej)。這種方法的第一步，實際就是前面兩節(jié)討論的s平面與z平面的映射變換。關鍵是第二步，第二步實質(zhì)是數(shù)字域z平面之間的變換，這種變換也稱z平面變換法。第32頁/共43頁設計數(shù)字濾波器的第二種方法是由模擬低通原型濾波器HL(j)，設計所需的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器Hd(j)，再由Hd(j)經(jīng)沖激不變法或雙線性變換法得到所需的數(shù)字濾波器的Hd(ej)。這種方法的第二步，是前面兩節(jié)討論的s平面與z平面的映射變換。關鍵是第一步，第一步的實質(zhì)是模擬域s平面之間的變換，這種變換也稱s平面變換法。第33頁/共43頁設計數(shù)字濾波器的第三種方法是由模擬低通原型濾波器沖激不變法頻譜的混疊效應，應用受到一定限制，所以此法適用雙線性變換法。因為這種方法直接由模擬原型濾波器變換到數(shù)字濾波器所以也稱原型變換法。HL(j)，直接設計所需的數(shù)字濾波器的Hd(ej)。由于第34頁/共43頁由模擬低通原型設計任意的DF三種可以選擇方法1、模擬低通原型→數(shù)字低通→所需數(shù)字濾波器→所需數(shù)字濾波器2、模擬低通原型→所需模擬3、模擬低通原型→所需數(shù)字濾波器即(只適用雙線性變換)HL(j)→Hd(ej)s→z即HL(j)→HL(ej)s→z即→HL(j)→Hd(j)s→→

Hd(ej)→→

Hd(ej)第35頁/共43頁6.5.1、s平面變換法——模擬域的頻率變換擬原型低通設計所需數(shù)字濾波器第二種方法的第一步。性變換法。所以這種方法的關鍵就是第一步模擬域的s平面變換法實質(zhì)是模擬域的頻率變換，是由歸一化模該方法的第二步是前面已經(jīng)討論過的s→z平面映射，既可以用沖激不變法（有一定限制），也可以用雙線頻率變換。第36頁/共43頁關系可以實現(xiàn)所需要的模擬域頻率變換。歸一化的模擬原型低通的設計簡便、通用。尤其是利用歸一化的模擬原型低通，經(jīng)適當?shù)念l率變換可以求得實際（非歸一化）低通、高通、帶通、帶阻濾波器。與數(shù)字域的頻率變換法類似，有一組變換第37頁/共43頁用s表示變換前的自變量，s表示變換后的自變量，

Hl(s)表示歸一化的模擬原型低通的系統(tǒng)函數(shù)，