流體力學(xué)10剖析word版本

流體力學(xué)10剖析管中充滿靜止的可壓縮氣體，壓強(qiáng)為p，密度為?；钊诹Φ淖饔孟拢晕⑿∷俣萪v向右移動(dòng)，產(chǎn)生的一個(gè)微小擾動(dòng)平面波不斷地從左端波及到右端，波的傳播速度即聲速，以符號(hào)c表示。特別要注意的是聲速c與氣體受擾動(dòng)后的速度dv是不同的。為了便于分析波陣面前后流體狀態(tài)參數(shù)的變化關(guān)系，將坐標(biāo)系固定在波陣面上圖10.1（b），這樣，對(duì)位于該坐標(biāo)系的觀察者而言，流體的流動(dòng)是恒定的

聲速公式

拉普拉斯在1816年提出聲音的傳遞是一個(gè)等熵過(guò)程。

在聲波傳遞過(guò)程中，熱力學(xué)參數(shù)的變化是無(wú)窮小量，忽略了黏性作用，因而整個(gè)過(guò)程可視為可逆的絕熱過(guò)程（即等熵s

=常數(shù)），那末式（10.1）更精確的表達(dá)式為

公式中下標(biāo)s代表等熵過(guò)程。上式不僅適用于微小擾動(dòng)平面波，也適用于球面波，對(duì)氣體、液體均適用。

對(duì)于完全氣體等熵流體的狀態(tài)參數(shù)方程式為

式中稱為比熱比（或稱為絕熱指數(shù)），對(duì)于空氣

于是可導(dǎo)出完全氣體的理論聲速公式

式中稱為氣體常數(shù)，空氣的。

由以上聲速公式可得出：1.是反映流體的壓縮性，當(dāng)越大，表示流體越易壓縮，此時(shí)由式（10.1）越?。环粗?，當(dāng)流體越不易壓縮，則聲速c越大，若流體為不可壓縮流體，那么聲速。因而聲速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)。

2.由式（10.4）可得，不同的氣體有不同的比熱比，及不同的氣體常數(shù)R，因而不同的氣體聲速是不同的。如在常壓下，15℃空氣中在相同的壓強(qiáng)和溫度下，氫氣的聲速為。3.聲速與氣體熱力學(xué)溫度T有關(guān)，如在常壓下空氣中聲速為由于在氣體動(dòng)力學(xué)中，溫度是空間坐標(biāo)的函數(shù)，所以聲速也是空間坐標(biāo)的函數(shù)，為此，常稱為當(dāng)?shù)芈曀佟?/p>

4.對(duì)于液體，由式（1.10）液體的彈性模量E和壓縮系數(shù)k的關(guān)系為代入式（10.1）得聲速公式的另一種形式10.1.2馬赫數(shù)和馬赫錐

1．馬赫數(shù)馬赫數(shù)是慣性力與由壓縮引起的彈性力之比，它是氣體動(dòng)力學(xué)中最重要的相似準(zhǔn)數(shù)，即定義馬赫數(shù)

式中

v——當(dāng)?shù)貧饬魉俣?；c——當(dāng)?shù)芈曀佟?/p>

氣體動(dòng)力學(xué)中，依據(jù)馬赫數(shù)對(duì)可壓縮氣流進(jìn)行分類：，即，稱為超聲速流動(dòng)；，即，稱為聲速流；，即，稱為亞聲速流動(dòng)。

對(duì)于氣體流動(dòng)以為界，對(duì)于，為不可壓縮流動(dòng)，對(duì)于，為可壓縮流動(dòng)。

【例10.1】用聲納探測(cè)儀，探測(cè)水下物體，已知水溫20℃，水的彈性模量，密度為，今測(cè)得往返時(shí)間為6秒，求聲源到該物體的距離。

【解】

由式（10.6）

從聲源到物體之間的距離為【例10.2】某飛機(jī)在海平面和11000m高空均以速度飛行，問(wèn)這架飛機(jī)在這兩個(gè)高度飛行時(shí)的馬赫數(shù)相同嗎？

【解】

由于海平面的聲速為。

故海平面的飛行飛機(jī)

，為亞聲速飛行。

在11000m高空飛行時(shí)，該處的溫度為216.5K

（見第二章），則由式（10.5）

故該高度飛行的飛機(jī)為超聲速飛行。2.馬赫錐圖10.2是一小擾動(dòng)波（例如點(diǎn)聲源）在四種流動(dòng)中的轉(zhuǎn)播。

（1）當(dāng)小擾動(dòng)波在靜止流場(chǎng)中傳播（）圖10.2（a）。

（2）當(dāng)小擾動(dòng)波在亞聲速流場(chǎng)中傳播（）如圖10.2（b）。

（3）當(dāng)小擾動(dòng)波在聲速流場(chǎng)中傳播（），此種情況同上面（2）相同。10.2圖(c)AOB平面是所有小擾動(dòng)波的包絡(luò)面，稱為馬赫波。它是寂靜區(qū)和擾動(dòng)區(qū)的分界面。（4）當(dāng)小擾動(dòng)波在超聲速流場(chǎng)中傳播（），此時(shí)的馬赫波不再保持為平面，而是以固定點(diǎn)O為頂點(diǎn)向右擴(kuò)張的旋轉(zhuǎn)圓錐面，這個(gè)圓錐面稱為馬赫錐，圓錐頂角的一半α稱為馬赫角如10.2圖（d）。

其中

對(duì)于完全氣體的馬赫數(shù)可表示為

由于溫度是氣體分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的度量，所以式（10.8）說(shuō)明馬赫數(shù)是流體宏觀運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之比。

【例10.3】飛機(jī)距地面的1000m上空，飛過(guò)人所在位置600m時(shí)，才聽到飛機(jī)的聲音，當(dāng)?shù)貧鉁貫?5℃，試求飛機(jī)的速度、馬赫數(shù)及飛機(jī)的聲音傳到人耳所需的時(shí)間。

解：當(dāng)?shù)芈曀贋?/p>

馬赫角為(如圖10.3)

由式（10.7）

故馬赫數(shù)

飛機(jī)速度

所需要時(shí)間

10.2氣體一維恒定流動(dòng)的基本方程基本方程主要是由連續(xù)方程、歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程和能量方程等組成。

10.2.1連續(xù)性方程如圖10.4為一維恒定氣流。

或者對(duì)任一過(guò)流斷面滿足式（10.9）即為一維恒定氣流的連續(xù)性方程，它的微分形式為10.2.2歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程在一維恒定氣流中，取長(zhǎng)度為ds微段，并沿軸線方向?yàn)閟軸。

如圖10.5，即可得到

上兩式稱為完全氣體一元恒定流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式。式中的密度不再是常數(shù)。而三者之間的關(guān)系由微分方程式來(lái)確定。為求解此方程式除了要應(yīng)用氣流的連續(xù)性方程外，還必須補(bǔ)充氣體狀態(tài)方程，或者熱力學(xué)過(guò)程方程。

連續(xù)性方程和歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程也可引用馬赫數(shù)Ma來(lái)表示如下

連續(xù)性方程可表達(dá)為

歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為10.2.3不同形式的能量方程（1）氣體一維定容流動(dòng)

上式為不可壓縮流體，不計(jì)質(zhì)量力的能量方程。表示一維氣流各斷面上單位質(zhì)量（或重量）具有的壓能和動(dòng)能之和守恒。

（2）氣體一維等溫流動(dòng)

在等溫流動(dòng)中，T=常數(shù)，則氣體狀態(tài)方程

或者（3）氣體一維等熵流動(dòng)

在熱力學(xué)中，無(wú)能量損失且與外界又無(wú)熱量交換的情況下，為可逆的絕熱過(guò)程，又稱等熵過(guò)程。

，在熱力學(xué)中，這項(xiàng)正是在等熵過(guò)程中，單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能e。表示為

該式表明完全氣體的等熵流中，沿流任意斷面上，單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能、壓能和動(dòng)能之和是不變的。

【例10.4】用文丘里流量計(jì)來(lái)測(cè)量空氣流量（圖10.6），流量計(jì)進(jìn)口直徑，喉管直徑，實(shí)測(cè)進(jìn)口斷面處壓強(qiáng)（相對(duì)壓強(qiáng)），溫度為20℃，喉管處壓強(qiáng)（相對(duì)壓強(qiáng)），試求空氣的質(zhì)流量。（設(shè)當(dāng)?shù)卮髿鈮海?/p>

【解】

氣流通過(guò)文丘里流量計(jì)時(shí)，由于流速大，流程短，氣流和壁面接觸時(shí)間短，來(lái)不及進(jìn)行熱交換，且摩擦損失亦可不計(jì)，因此按一維恒定等熵流動(dòng)來(lái)處理。

先計(jì)算進(jìn)口斷面1處，喉管斷面2處空氣的密度由式，進(jìn)口斷面空氣的密度由式10.3），，即

由連續(xù)性方程式（10.9），得

將以上量代入等熵能量方程式（10.16）

解得

故空氣的質(zhì)流量【例10.5】氦氣（）作等熵流動(dòng)，在管道截面1處參數(shù)為℃，，測(cè)得截面2處的速度為，求該截面上的以及值。解：由等熵流動(dòng)能量方程式（10.16）

從截面因此

解得

或℃由等熵過(guò)程

10.2.4一維等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)1．用滯止?fàn)顟B(tài)參數(shù)表示的氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)由某一個(gè)真實(shí)狀態(tài)經(jīng)等熵過(guò)程速度降為零。（可以假想），這時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)稱為對(duì)應(yīng)于真實(shí)狀態(tài)的滯止?fàn)顟B(tài)。流體質(zhì)點(diǎn)所具有的流體參數(shù)稱為該真實(shí)狀態(tài)的滯止參數(shù)，以下標(biāo)“0”表示。例如以分別表示滯止壓強(qiáng)，滯止密度，滯止溫度，以及滯止聲速。在工程中，如氣體從大體積的容器中流出（如煤氣儲(chǔ)氣罐等），容器內(nèi)氣體的流速可視為零，那其它參數(shù)就是滯止參數(shù)；當(dāng)氣流繞過(guò)某物體，則駐點(diǎn)處氣流的流動(dòng)參數(shù)也是滯止參數(shù)。

上述公式稱為用滯止參數(shù)表示的等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)。

圖10.7表示氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)的曲線。

為便于計(jì)算，氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)列表10.2如下。

表10.2氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)數(shù)值關(guān)系（一維等熵關(guān)系）

0.01.00001.00001.00001.00000.00000.00000.00000.10.99300.99500.99800.99900.09990.17180.17300.20.97250.98030.99210.99600.19920.33740.34690.30.93950.95640.98230.99110.29730.49140.52300.40.89560.92430.96900.98440.39370.62880.70220.50.84300.88520.95240.97590.48790.74640.88530.60.78400.84050.93280.96580.57950.84161.07350.70.72090.79160.91070.95430.66800.91381.26750.80.65600.74000.88650.94160.75320.96321.46820.90.59130.68700.86060.92770.83490.99121.67641.00.52830.63390.83330.91290.91291.00001.89291.10.46840.58170.80520.89310.98700.99212.11841.50.27240.39500.68970.83051.24570.85023.12122.00.12780.23000.55560.74541.49070.59204.63672.50.05850.13170.44440.66671.66670.37936.48003.00.02720.07620.35710.59761.79280.23628.67455.00.00190.01130.16670.40822.04120.040021.16402.臨界狀態(tài)和臨界參數(shù)

當(dāng)氣流速度等熵地加速或減速到當(dāng)?shù)芈曀俚臓顟B(tài)，也就是流動(dòng)的馬赫數(shù)等于1（可以假想）。此狀態(tài)稱為對(duì)應(yīng)于真實(shí)狀態(tài)的臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)的流動(dòng)參量稱為臨界參數(shù)。以下標(biāo)“”表示。例如記作等。

以代入上式，可得到某真實(shí)狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的滯止?fàn)顟B(tài)參數(shù)和臨界狀態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系式:

對(duì)空氣（），具體數(shù)值為:

3.最大速度狀態(tài)

在等熵的條件下，當(dāng)溫度降到絕對(duì)零度時(shí)，此時(shí)速度達(dá)到最大的狀態(tài)稱為最大速度狀態(tài)。由于真實(shí)溫度不可能達(dá)到絕對(duì)零度，因此最大速度狀態(tài)只具有理論意義，反映氣流總能量的大小。

最大速度和滯止參數(shù)關(guān)系為:最大速度與臨界速度（聲速）的關(guān)系對(duì)于空氣（），則

【例10.6】大容積壓縮空氣罐中的壓縮空氣，經(jīng)一收縮噴管向大氣噴出，設(shè)噴嘴出口處的大氣絕對(duì)壓強(qiáng)為101.3kPa，溫度為5℃，流速為，試求壓縮空氣罐中的壓強(qiáng)和溫度。

【解】本流動(dòng)可看作等熵流動(dòng)

方法一：壓縮空氣罐中的空氣速度可視為零，其流動(dòng)參數(shù)為滯止參數(shù)。由式10.19（b）噴口出口處聲速馬赫數(shù)由式10.19（a）方法二：由式（10.16），壓縮空氣罐中的溫度為由完全氣體狀態(tài)方程由等熵過(guò)方程式，上式代入（10.16）式解得本題從以上兩種解法可看出，應(yīng)用滯止參數(shù)表示的等熵流動(dòng)的氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)方法要簡(jiǎn)單得多。得：【例10.7】空氣氣流在收縮噴管進(jìn)口截面上的參數(shù)為，，，在出口截面上，試求出口處的壓強(qiáng)，溫度和直徑。

解：本題也視為等熵流動(dòng)

進(jìn)口處

現(xiàn)求滯止溫度，由式10.19（a）

得

出口處

，,氣流達(dá)到臨界狀態(tài)。

出口處的溫度，由式10.23（a）由式10.19（a）和式10.19（b）得由式10.23（b）由連續(xù)方程式10.9解得

10.2.5氣流按不可壓縮流體處理的限度對(duì)于低速氣流，可忽略氣體容易壓縮的個(gè)性，而按照不可壓縮流體處理。那么“低速”的限度就是下面要討論的內(nèi)容。完全氣體一維流動(dòng)，按不可壓縮流體時(shí)，能量方程為:

或者寫成

比較無(wú)量綱式（a）和（c），氣流按不可壓縮流體處理時(shí)，能量方程式的計(jì)算相對(duì)誤差為在常溫（15℃）下，空氣的聲速，倘若允許的相對(duì)誤差為1％，那么，相應(yīng)的，此時(shí)相應(yīng)的氣流速度v為

即，當(dāng)氣流速度小于時(shí)，按不可壓縮流體來(lái)處理時(shí)，其相對(duì)誤差。實(shí)質(zhì)上氣流按不可壓縮流體來(lái)處理的限度是由計(jì)算要求的精度來(lái)決定。

由式10.19（c）密度比式當(dāng)時(shí)，空氣,代入上式,得密度的相對(duì)變化為在同樣的氣流速度下，按不可壓縮流體處理的話，其密度的相對(duì)變化較大。若要求氣流密度的變化不超過(guò)1％，相當(dāng)?shù)鸟R赫數(shù)為，相應(yīng)的氣流速度v為。

【例10.8】某空氣動(dòng)力計(jì)算中，允許壓強(qiáng)的相對(duì)誤差，對(duì)于常溫下的空氣速度小于多少時(shí)可按不可壓縮流體來(lái)處理；此時(shí)密度的相對(duì)變化為多少？

【解】

按式（10.27）壓強(qiáng)的相對(duì)誤差

據(jù)題意

故

常溫下聲速

氣流速度

即，空氣速度小于時(shí)，可按不可壓縮流體來(lái)處理。故密度的相對(duì)變化為由式10.19（c）10.3噴管的等熵出流噴管是指在很短的流程內(nèi)，通過(guò)改變斷面的幾何尺寸來(lái)控制氣流速度的裝置。由于高速氣流在噴管內(nèi)流動(dòng)時(shí)來(lái)不及和外界進(jìn)行熱交換，同時(shí)摩擦阻力也可忽略不計(jì)，這樣的流動(dòng)過(guò)程可作為等熵流動(dòng)。

利用上述關(guān)系式，將斷面面積A、氣流速度v、壓強(qiáng)p、密度及單位面積的質(zhì)流量等與馬赫數(shù)Ma之間的關(guān)系，能很清楚地表示如表10.3所列。

表10-3一維氣體各流動(dòng)參數(shù)隨馬赫數(shù)的變化關(guān)系幾點(diǎn)結(jié)論：1.亞聲速氣流（）在收縮管（）中，將加速（）和減壓（）；在擴(kuò)張管（）中，將減速（）和增壓（）和不可壓縮流體相似。2.超聲速氣流（）在收縮管（）中，將減速（）和增壓（）；在擴(kuò)張管（）中，將加速（）和減壓（），與亞聲速流恰好相反。

圖10.8為一收擴(kuò)管，流體自左向右流動(dòng)。若在該管道中達(dá)到聲速，必定在最小截面處即喉部，稱喉部的截面為臨界截面記作。在擴(kuò)張段流體被加速成超聲速，并不斷加速。這種流動(dòng)成為噴管流。瑞典工程師拉伐爾（Laval）將先收縮后擴(kuò)大的噴管——拉伐爾噴管（圖10.9），用于蒸氣渦輪機(jī)中。拉伐爾噴管在沖壓式噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)、超聲速風(fēng)洞等領(lǐng)域廣泛地被應(yīng)用

10.4可壓縮氣體管道流動(dòng)對(duì)于可壓縮氣體的管道流動(dòng)，有時(shí)要考慮摩擦阻力和熱交換對(duì)壓縮性的影響，需針對(duì)不同的熱力過(guò)程進(jìn)行分析計(jì)算。

10.4.1一維恒定等熵管流下面主要對(duì)變截面管道內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行分析。

1．管截面積和流動(dòng)馬赫數(shù)的關(guān)系若已知和及某一處的馬赫數(shù)，如，要求另一，卻并不是很容易，為此假定一個(gè)參考截面，當(dāng)流動(dòng)至該截面馬赫數(shù)，該截面流動(dòng)參量就是臨界參量，這個(gè)截面可實(shí)際存在于管流中，也可以是假想的。

以上公式在一維管流的計(jì)算中被大量使用，公式算得的數(shù)據(jù)已列于表10.2之中。圖10.10是根據(jù)上式繪制的曲線。

【例10.10】設(shè)一噴管內(nèi)為等熵流,出口截面積，出口，求噴管內(nèi)截面積為處的。

解：由于，說(shuō)明這是一個(gè)收縮噴管。由，查等熵流氣動(dòng)函數(shù)表可得

為假想的臨界截面，即假想流體沿繼續(xù)延伸的噴管流動(dòng)，在截面積處達(dá)到聲速，噴管其他截面上的參數(shù)與該假想臨界截面上的參數(shù)關(guān)系符合等熵流氣動(dòng)函數(shù)關(guān)系。現(xiàn)

由表10.2上，按插入，查得。

2．質(zhì)流量的計(jì)算公式質(zhì)流量

當(dāng)管道內(nèi)存在臨界截面時(shí)，那末該處質(zhì)流量達(dá)到最大值

或者

【例10.11】一個(gè)容積很大密閉容器中裝滿氮?dú)?，氮?dú)獾?，容器中，氮?dú)馔ㄟ^(guò)一收縮管向外流出，設(shè)出口處直徑為，背壓為，求流出氮?dú)獾馁|(zhì)流量。

解：工程上常稱管外的環(huán)境壓強(qiáng)為背壓（或反壓）用表示，當(dāng)封閉容器中壓強(qiáng)時(shí)管內(nèi)無(wú)流動(dòng)。當(dāng)時(shí)，在壓差作用下產(chǎn)生流動(dòng)。本題首先要判斷在流動(dòng)中管內(nèi)是否會(huì)出現(xiàn)臨界狀態(tài)。

由式10.22（a）

故

由式10.22（b）

由于，則說(shuō)明在管道出口處前已出現(xiàn)臨界狀態(tài)，流量為最大，以后管內(nèi)流動(dòng)不再變化，通常稱這種現(xiàn)象為壅塞現(xiàn)象。出口處的壓強(qiáng)，不再等于，氣流流出后經(jīng)稀疏過(guò)程才降到。

方法一:按式（10.37）其中

故方法二:上面已分析由于，則收縮管出口處質(zhì)流量按

計(jì)算

故由式10.22（c）10.4.2絕熱摩擦管流

實(shí)際管流一般有兩種，一種是在隔熱的長(zhǎng)管中流動(dòng)，即具有摩擦但不考慮熱交換的流動(dòng)，如果這種流動(dòng)在等截面管中流動(dòng)被稱為范諾（Fanno）流動(dòng)。一種由于管道很長(zhǎng)，氣體與外界能夠進(jìn)行充分的熱交換，使管道中氣流與周圍環(huán)境保持相同溫度，這是等溫管流。

1．幾個(gè)實(shí)用公式范諾流的氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

若管流兩截面壓強(qiáng)分別是和，那末可推導(dǎo)出管流的質(zhì)流量為式中為管道沿程摩阻因數(shù)，對(duì)于亞聲速流，可直接利用穆迪圖確定。對(duì)于超聲速流（）通常取。對(duì)于絕熱摩擦管流也同樣存在一個(gè)最大長(zhǎng)度，若氣流在該處已達(dá)到臨界狀態(tài)，當(dāng)實(shí)際管長(zhǎng)時(shí)將發(fā)生壅塞現(xiàn)象。此時(shí)對(duì)亞聲速流造成