《奇偶性》實例解析 全省一等獎

《奇偶性》實例解析研習點1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義（重點）偶函數(shù)的定義：一般地，對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有,那么就叫做偶函數(shù)（evenfunction）．奇函數(shù)的定義：一般地，對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么就叫做奇函數(shù)（oddfunction）．由定義可以看出，若是定義域中的一個數(shù)值，則也必然在定義域事，因此函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個必要不可少的條件是：定義域在數(shù)軸上所表示的區(qū)間關于原點對稱.換句話說，所給函數(shù)的定義域若不關于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性，比如在區(qū)間上是偶函數(shù)，但在區(qū)間上卻無奇偶性可言.【辨析·比較】函數(shù)的奇偶性與單調性的區(qū)別函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的對稱性，而單調性反映的是函數(shù)在某一區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢.奇偶性是相對于函數(shù)的整個定義域來說的，這一點與函數(shù)的單調性不同，從這個意義上講，函數(shù)的單調性是函數(shù)的“局部”性質，則奇偶性是函數(shù)的“整體”性質，只有對于定義域中的每一個數(shù)值，都有(或),我們才可以說函數(shù)是奇函數(shù)(或者偶函數(shù)).思考：奇偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）所組成的新函數(shù)的奇偶性如何？探究：偶函數(shù)的和、積、商（分母不為零）所組成的新函數(shù)仍然是偶函數(shù)；奇函數(shù)的和所組成的新函數(shù)仍為奇函數(shù)，奇（偶）數(shù)個奇函數(shù)的積、商（分母不為零）所組成的新函數(shù)為奇（偶）函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù).（注意：在利用這些結論時應注意各個函數(shù)的定義域）.但對于差的問題卻又得從新進行考證，因為“兩個奇函數(shù)的和或差是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)”的說法有點欠妥：一方面，如果這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒有定義；另一方面，兩個奇函數(shù)的差或兩個偶函數(shù)的差可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如,，可以看出函數(shù)與都是定義域上的函數(shù)，它們的差只在區(qū)間上有定義且，因此，在這個區(qū)間上函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).2．函數(shù)奇偶性的分類對于我們所接觸到的函數(shù),如果我們利用函數(shù)的奇偶性的定義加以判斷的話,可以發(fā)現(xiàn),所有的函數(shù)分為了四類:有的函數(shù)是奇函數(shù),有的函數(shù)是偶函數(shù),也有的函數(shù)對于其定義域內(nèi)的任意一個,與能夠同時成立,那么函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),簡稱為既奇又偶函數(shù);也有的函數(shù)對于其定義域內(nèi)的任意一個,與都不成立,那么函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),簡稱為非奇非偶函數(shù).所有的函數(shù)均在這四類之中,無一例外.【梳理·總結】關于函數(shù)奇偶性質的幾個未成文的規(guī)定(1)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域必須關于原點對稱,如果定義域不關于原點對稱,那么此函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);(2)判斷函數(shù)的奇偶性,包括判斷一個函數(shù)是奇函數(shù),或者是偶函數(shù),或者既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),或者既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),對于函數(shù)的奇偶性一定要判斷清楚,不能似是而非.典例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1);(2);(3).【研析】(1)原函數(shù)的定義域為,對于定義域內(nèi)的每一個都有從而函數(shù)為奇函數(shù).(2)原函數(shù)的定義域為R,對于定義域內(nèi)的每一個都有從而函數(shù)為偶函數(shù).(3)由于,從而函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).研習點2.函數(shù)奇偶性的性質①奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.②奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關于軸對稱.③若為偶函數(shù)，則.④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.⑤定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”.如設是定義域為R的任一函數(shù)，則，.⑥復合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數(shù)集）.典例2.已知函數(shù)是奇函數(shù),且,求的值.【研析】由題意,可得又由于知,再由將代入得(1)當時,,即,或.①當時,,故;②當時,符合題意.(2)當時,,即,無解.綜上可知,研習點3.奇函數(shù)與偶函數(shù)的判斷方法1．定義法根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義直接加以判斷,這種判斷方法稱之為定義法.利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性的步驟:(1)考察定義域是否關于原點對稱;(2)驗證或對定義域中的任意的值是否成立;(3)得出結論.2．利用定義的等價形式從函數(shù)的奇偶性的概念可以發(fā)現(xiàn),是與等價的,是與等價的,也就是說,判斷或在定義域中是否為恒等式,也可以判斷函數(shù)的奇偶性.上述兩式也可以用代替.另外,對于奇函數(shù),若0在其定義域內(nèi),則一定有;對于偶函數(shù),有3．結合函數(shù)圖象由于奇偶函數(shù)的圖象具有以下性質:若為奇函數(shù),則它的圖象關于原點對稱,反之也成立;若函數(shù)為偶函數(shù),則它的圖象關于軸對稱,反之也成立.這個定理給我們提供了結合圖象處理奇偶性問題的依據(jù).【探究·發(fā)現(xiàn)】一些關于函數(shù)奇偶性的常用結論(1)奇函數(shù)在處有定義,則事實上,但是滿足的函數(shù)當然不一定是奇函數(shù).(2)既奇又偶的函數(shù)表達式是唯一的