射影幾何入門

1.1-1對應的定義12.1-1對應的意義和性質(zhì)23.1-1對應在數(shù)學中的應用44.無窮集之間的1-1對應 45.部分和整體的1-1對應,無窮集的定義6.無窮遠點.點列和線束107.軸束.基本形118.三種基本形的六種透視對應129.射影關系1410.1到無窮或無窮到1的對應16TOC\o"1-5"\h\z11.平面點的無窮階數(shù) 1712.一階與二階無窮集 1713.通過空間一點的所有直線 1714.通過空間一點的所有平面 1815.平面上所有的直線1816.平面系和點系1917.空間中的所有平面1918.空間中的所有點2019.空間系2020.空間中的所有直線 2021.點與數(shù)之間的對應 2022.無窮遠元素2225（二）1-1對應基本形之間的關系2523.七種基本形2524.射影性2525.Desargues定理2626.關于二個完全四邊形的基本定理2727.定理的重要性2828.定理的重述2829.四調(diào)和點概念2930.調(diào)和共軛的對稱性3031.概念的重要性3032.四調(diào)和點的投影不變性3133.四調(diào)和線3134.四調(diào)和平面. 3135.結(jié)果的概要性總結(jié)3236.可射影性的定義3337.調(diào)和共軛點相互之間的對應3338.調(diào)和共軛的元素的隔離3439.無窮遠點的調(diào)和共軛3440.射影定理和度量定理,線性作圖法3541.平行線與中點3642.將線段分成相等的n個部分3743.數(shù)值上的關系3744.與四調(diào)和點關聯(lián)的代數(shù)公式3745.進一步的公式3846.非調(diào)和比（交比）39TOC\o"1-5"\h\z（三）射影相關基本形的結(jié)合 4147.疊加的基本形,自對應元素4148.無自對應點的情況4249.射影對應的基本定理,連續(xù)性假設 4350.定理應用于線束和平面束4451.具有一公共自對應點的射影點列 4452.無公共自對應點的射影相關點列 4553.透視對應的兩個射線束4754.透視對應的面束（軸束）4755.二階點列4756.軌跡的退化48TOC\o"1-5"\h\z57.兩階線束 4858.退化情況 4859.二階圓錐面49（四）二階點列 4960.二階點列與二階線束4962.切線5063.軌跡生成問題的陳述5064.基本問題的解決5165.圖形的不同構(gòu)作法5266.將軌跡上四點連到第五點的直線5267.定理的另一種陳述形式5368.更為重要的定理5469.Pascal定理5470.Pascal定理中點的名稱的替換5471.在一個二階點列上的調(diào)和點5672.軌跡的確定5673.作為二階點列的圓和圓錐線5674.通過五點的圓錐曲線5775.圓錐線的切線5876.內(nèi)接四邊形5977.內(nèi)接的三角形6078.退化圓錐線61（五）二階線束 6379.已定義的二階射線束6380.圓的切線6381.圓錐曲線的切線6582.系統(tǒng)的生成點列線6583.線束的確定6584.Brianchon定理6785.Brianchon定理中線的替換68TOC\o"1-5"\h\z86.用Brianchon定理構(gòu)造線束 6887.與一圓錐曲線相切的點6888.外切四邊形 6989.外切三邊形 7090.Brianchon定理的應用7091.調(diào)和切線7192.可射影性和可透視性7193.退化情況7294.對偶律72（六）極點和極線 7595.關于圓的極點和極線757796.圓錐曲線的內(nèi)點的共軛點的軌跡7797.更多的性質(zhì)7898.極點極線的定義7899.極點與極線的基本定理78100.共軛點與共軛直線79102.自配極三角形79103.射影相關的極點與極線80104.對偶性81105.自對偶定理81106.其他對應關系82（七）圓錐曲線的度量性質(zhì)83

107.直徑與中心83108.相關的幾個定理83109.共軛直徑84110.圓錐曲線的分類 84111.漸近線84112.有關的幾個定理 85113.關于漸近線的定理85115.由雙曲線及其漸近線切割的弦86116.定理的應用868799100117.8799100118.用漸近線來表示一個雙曲線的方程88119.拋物線方程88120.參引共軛直徑的有心圓錐線的方程91（八）對合（Involution） 95121.基本定理95122.線性作圖法96直線上點的對合的定義97對合中的二重點97有關通過四點的圓錐曲線的Desargues定理126.退化圓錐線100127.通過四點并與一已知直線相切的圓錐線二重對應100Steiner的作圖方法101Steiner作圖法在重對應中的應用102二階點列中點的對合103射線的對合104TOC\o"1-5"\h\z二重射線 105134.通過一固定點與四線相切的圓錐線105雙重對應 105處于對合下的二階射線束106有關對合二階射線束的定理106由一圓錐曲線確定的射線的對合106定理的陳述 106定理的對偶 107（九） 對合的度量性質(zhì)109無窮遠點的引入;對合的中心109基本度量定理109

143.二重點的存在110144.二重射線的存在112145.通過圓來構(gòu)筑對合112146.147.1498.146.147.1498.150.圓點113對合中的正交射線對由圓圓一點錐圓的線錐性的質(zhì)線軸確定的1111對54合,圓的對點合是圓點115114115151.圓點的位置116152.尋找圓錐曲線的焦點117153.圓和拋物線117154.圓錐線焦點性質(zhì)118155.拋物線的情況 119156.拋物面反射鏡 119157.準線．主軸．頂點119158.圓錐線的另一種定義120159.離心率120160.焦距之和與差121（十）綜合射影幾何的歷史 123161.早期成果123162.統(tǒng)一性原理124163.Desargues124164.極點與極線125165.通過4點的二階曲線的Desargues定理125166.推廣到空間的極點與極線理論126TOC\o"1-5"\h\z167.描述圓錐曲線的Desargues方法 126Desargues工作的被接納 127Desargues時代的保守性 127Desargues的寫作風格 128Desargues工作缺乏欣賞 129Pascal與他的定理 129Pascal的短評 130Pascal的獨創(chuàng)性 130DeLaHire和他的工作 131Descartes和他的影響 132Newton和Maclaurin133Maclaurin的證法 133179.畫法幾何與綜合幾何的二次復興134180.對偶性,同調(diào)性,連續(xù)性,偶然性聯(lián)系 135181.Poncelet和Cauchy 135182.Poncelet的工作 136183.解析幾何妥欠綜合幾何的債137184.Steiner和他的工作 137185.VonStaudt和他的工作 138139186.近期的發(fā)展附錄140參考文獻148索引1511391.1-1對應的定義第1章1-1對應【定義】任意給定兩個集合，如果在它們之間能夠建立一種對應，使得任意一個集合中的每一個元素，都對應到另一集合中的一個且僅一個元素，那么，這兩個集合就稱為能夠建立1-1對應的集合，簡稱兩個集合為1-1對應（One-to-OneCorrespondence）。這里，1-1對應是定義兩個集合之間的一種關系，而不是它們元素之間的關系，但要確定兩個集合是否有這種關系，需要考察它們的元素之間是否能夠建立一個具體的1-1對應?！纠吭噯栍扇齻€數(shù)字組成的集合｛1,2,3｝,和由三個字母組成的集合｛A,B,C｝之間是否1-1對應？【答】我們在這兩個集合的元素之間建立下面這樣的對應：1<->A，2<->B，3<->C這里符號<->表示其左右兩邊元素為對應。這樣，兩個集合中的每一個元素，都對應到了另一集合中的一個且僅一個元素。所以集合｛1,2,3｝與集合｛A,B,C｝為1-1對應。顯然，包含兩個數(shù)字的集合｛1,2｝或包含四個數(shù)字的集合｛1,2,3,4｝就不能與包含三個字母的集合｛A,B,C｝建立1-1對應。集合1-1對應的概念非常簡單，但也非常重要，它在科研、生產(chǎn)或在日常生活中都頻繁使用。例如，我們通常進行的計數(shù)過程就是將被計數(shù)對象與數(shù)字'1'、'2'、'3'之間在心中建立1-1對應；在人類尚未進入文明時代、尚未發(fā)明數(shù)字之前，也已利用他們的手指與被計數(shù)對象（如每天的掠物）建立1-1對應。科學家們的神圣工作是對自然界各種事物進行命名與分類本質(zhì)上就是將這些事物及其屬性與適當?shù)膚ord（單字）建立1-1對應。這種過程雖然不像計數(shù)那樣簡單，需要反復，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本質(zhì)上，每一步無非就是對事物及其屬性進行記錄，并用一些word與它們建立1-1對應。這些word開始只是少數(shù)人的專用語言，隨著科學不斷普及，這些專業(yè)術(shù)語也就逐步演變成人們的日常用語。如果你仔細分析語言的各種成分，你將發(fā)現(xiàn)，人類語言的全部概念實際都是利用1-1對應這種簡單想法（idea）生成的。2.1-1對應的進一步的意義和性質(zhì)集合的1-1對應是定義在兩個集合上的兩個互逆的1-1變換所聯(lián)合組合。如集合｛1,2,3｝與集合｛A,B,C｝的1-1對應1<->A， 2<->B， 3<->C就是下列兩個1-1變換的組合：f：（1->A，2->B，3->C）g：（1<-A，2<-B，3<-C）其中f是｛1,2,3｝到｛A,B,C｝的變換，g是｛A,B,C｝到｛1,2,3｝的變換，且g與f互逆。如果將二個變換改為f：（1->A, 2->B, 3->C）g：(2<-A， 1<-B， 3<-C)則盡管f和g都是1-1變換，使一個元素變到一個元素，但g與f不是互逆的兩個變換，它們合在一起就不構(gòu)成（同）一個1-1對應。1-1對應關系具有對稱性和傳遞性。即：如果集合A與B為1-1對應，則B與A也1-1對應；如果集合A與B為1-1對應，且集合B與集合C也1-1對應，則集合A與C也1-1對應。1-1對應規(guī)定的僅僅是元素的對應方式，不允許1個元素對應到多個元素，也不允許某個元素不與另一集合中的任何元素對應。但除此以外不再附加任何條件。我們不要求一個集合中的某個元素必須與另一集合中某個固定元素進行對應。只要滿足1-1關系，無論什么元素都可以與它對應。如前節(jié)例子中的數(shù)字集｛1,2,3｝與字母集｛A,B,C｝之間，下列6種對應方式都是合格的1-1對應(1)1<->A，2<->B，3<->C(2)1<->A，2<->C，3<->B(3)1<->B，2<->A，3<->C(4)1<->B，2<->C，3<->A(5)1<->C，2<->A，3<->B(6)1<->C，2<->B，3<->A可以看出，A,B,C三元素的任何一種排列，都可與1,2,3對應。這6種不同的1-1對應可用以下6張關系表來表示：每個表的左邊列出了集合｛1,2,3｝的元素，上邊列出集合｛A,B,C｝的元素，中間的每個格子代表對應行和列的元素是否有對應關系，T代表有對應關系，否則代表沒有對應關系?？梢钥闯觯恳恍忻恳涣卸贾挥幸粋€格子為T，這表示兩個集合元素之間的對應為1-1的。六個表代表六種不同的1-1對應方式。如果兩個集合都有n個元素，就有n!種不同的1-1對應方式。其次，建立對應的兩個集合完全任意。它們可以有相同類型元素，如｛1,2,3｝與｛4,5,6｝對應；或完全相同的元素，如｛1,2,3｝與｛1,2,3｝本身對應（這樣的2個集合間仍有6種可行的對應方式）；或不同類型的元素，如前所述的｛1,2,3｝與｛A,B,C｝之間的對應。如果一個牧童用繩子把5頭羊分別牽在5棵樹上，就是讓｛羊｝和｛樹｝建立1-1對應；學生上課時，50名學生走進一間有50個座位的教室，找到空位就坐下，就是在｛班級學生｝和｛教室座位｝2個集合之間自動建立一個1-1對應；物理學家經(jīng)常把各種客觀事物的變化規(guī)律與他們主觀想象出來的公式混為一談，就是在｛客觀規(guī)律｝和｛錯誤公式｝兩個集合之間建立1-1對應。本書考察的對應主要是點、線、面等幾何元素組成的集合之間的對應，有時也考察其他對應，包括幾何元素與數(shù)的對應、幾何元素與字母的對應，等。3.1-1對應在數(shù)學中的應用在數(shù)學中，人們努力從事的工作，常常就是在簡單概念和復雜概念之間建立1-1對應，或者是在已探索過的領域和正在探索中的未知領域?qū)ふ?-1對應。例如，利用平面幾何中點和直線的性質(zhì)或關系，到空間幾何中去尋找點、線、面對應的性質(zhì)和關系；利用中心、焦點、切線、漸近線等點和直線的性質(zhì)來研究二階曲線的性質(zhì)。解析幾何是利用簡單的代數(shù)方法來研究幾何，而進入大學的高等代數(shù)中又反過來利用低維的幾何直觀來研究任意維的線性空間。在我們學習射影幾何時，也要利用我們已學過的各門數(shù)學知識，其中最重要的是平面幾何的知識。4.無窮集之間的1-1對應兩個集合，如果它們相互1-1對應，我們通常就稱這兩個集合包含了相同數(shù)目的元素；如果一個集合的一部分與另一個集合1-1對應，那么前一集合的元素數(shù)目比后一集合的元素數(shù)目為大。但這些結(jié)論僅適用于有限集如果為無窮集，結(jié)論就常常不是這樣了。下面我們來看幾個例子。［例1］2,4,6,8,10,．．．等偶數(shù)僅僅是自然數(shù)的一半，但偶數(shù)集{2,4,6,8,10,...}與自然數(shù)集{1,2,3,4,5, ...}是相互之間能夠建立1-1對應的兩個集合。【證明】我們?yōu)檫@兩個集合的元素建立下面的對應：自然數(shù)：1,2,3,4,...

偶數(shù)：2,4,6,8,...在這種對應下,每個偶數(shù)2n都能找到一個自然數(shù)n與其對應,而且反之,每個自然數(shù)n也都能找到一個偶數(shù)2n與其對應?？梢?偶數(shù)雖為自然數(shù)的一半,但仍與自然數(shù)1-1對應。［例2］自然數(shù)集合：N={1,2,3,4,5, }與自然數(shù)對(i,j),i,j=1,2,3,... 的集合：N2={(1,1),(1,2),(1,3), ,(2,1),(2,2),(2,3), ,(3,1),(3,2),(3,3), }為1-1對應的集合。【證明】我們可以根據(jù)數(shù)對(i,j)的兩個分量i,j的大小，將所有數(shù)對排成一個無窮方陣。規(guī)定數(shù)對(i,j)放在方陣第i行j列。這樣每個數(shù)對(i,j)就有一個且僅有一個方陣格點與其對應,而所有數(shù)對就與方陣所有格點建立了1-1對應。然后,再按下表所示方式將無窮多個方陣格點與無窮多個自然數(shù)建立對應：1 2 6 7 / /358//..4913/...1012//...11//....//...../....按這種對角線次序的排列方法，平面方陣的任意一個格點（i,j）都會有唯一的一個自然數(shù)n（i,j）與其對應，而且反過來，每一個自然數(shù)n也一定能找到一個格點（i（n）,j（n））與此自然數(shù)對應。所以，利用這種方法方式，平面正整數(shù)格點全體，因而也是數(shù)對（i,j）全體，與自然數(shù)全體建立了1-1對應。讀者不妨思考一下，與自然數(shù)n=100對應的格點（i,j）的分量i,j是多少？反過來，格點（10,10）對應的自然數(shù)n又是多少？如果有條件且又有興趣的話，還可在計算機上編個小程序來計算自然數(shù)n與數(shù)對（i,j）之間的對應關系，無論用C用Delphi或者別的語言都行?！纠?】1英寸線段上所有點與2英寸線段上所有的點為兩個1-1對應的集合，【證明】如圖4-1所示。其中AB和A'B'分別是有2英寸和1英寸長的兩條線段，C是AB上的任意一點。為尋找A'B'上與C對應的點，我們連AA'和BB'，并延長交于S。再作S與C的連線交A'B'于C'，則C'就是A'B'上與C對應的點。反之，對A'B'上任意C'，同樣可找出AB上的對應點C。圖4-11英寸與2英寸長線段點的1-1對應【例4】對于無窮長直線AB上的任意一點，都能在1英寸長的線段A'B'上找到兩個點與它對應?！咀C明】我們作一個半徑為2n分之一英寸的圓，則其周長為1英寸，也就是線段A'B'的長。因此，可以把這個圓看成就是由線段A'B'圍成的圓如圖4-2所示。[注意，為了使標寫的文字清晰，我們在圖中把圓畫大了一些，但所畫圓的尺寸大小，不影響下面的證明。 ]現(xiàn)設此圓的圓心為S。我們從直線AB上的任意點C作直線與S相連，此直線與圓的下半段圓弧交于C'，與上半段圓弧交于C''。則C'與C''就是與C對應的兩點，由此得證。圖4-21英寸圓周與無窮長直線點的對應反過來，對于圓上任意兩個對稱點C'與C''是否也能在直線AB上找到對應的一點呢？顯然，這里有一個例外，就是當C'與C''的連線C'C''平行于AB時，在AB上就找不到對應點了，因為這時的連線C'C''與AB不相交。此例說明了一個似乎不可思議的事情：1英寸線段A'B'上的點比無窮長直線AB上的點的兩倍還要多出兩個點。【例5】無窮直線上的點的集合與無窮平面上點的集合可以建立1-1對應。【證明】我們需要用以下三步來證明整個結(jié)論：無窮直線與單位直線(0,1)中點可以建立1-1對應；單位直線(0,1)與單位平面(0,1)X(0,1)中點可以建立1-1對應；單位平面(0,1)X(0,1)與無窮平面的點可以建立1-1對應。然后，根據(jù)1-1對應關系的傳遞性，就證明了無窮直線上的點與無窮平面上點也可以建立1-1對應。其中(1)是明顯的，我們只證(2)和(3)。先證(2)。因(0,1)中點是小于1的數(shù)d,可以用一個無窮小數(shù)d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8來表示，如果d原來為有窮小數(shù)，改為等價的無窮循環(huán)小數(shù)(如0.4改為0.39999)，這樣，(0,1)間的每一個數(shù)都有一個且僅有一個實數(shù)與它對應；現(xiàn)令x=0.a1a3a5a7,y=0.a2a4a6a8也就是說，用d的奇數(shù)位小數(shù)作為x的小數(shù)，d的偶數(shù)位小數(shù)作為y小數(shù)，那么，對任意一個直線點d,就有一個對應的平面點P(x,y)。且反之，有一個平面點P(x,y)，其中x=0.a1a2a3a4,y=0.b1b2b3b4