《基本不等式》同步練習(xí) 精品獲獎

《基本不等式》同步練習(xí)課時目標(biāo)1．熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用；2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．1．設(shè)x，y為正實數(shù)(1)若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4).(2)若xy＝p(積p為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值，且這個值為2eq\r(p).2．利用基本不等式求積的最大值或和的最小值時，需滿足：(1)x，y必須是正數(shù)；(2)求積xy的最大值時，應(yīng)看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時，應(yīng)看積xy是否為定值．(3)等號成立的條件是否滿足．利用基本不等式求最值時，一定要注意三個前提條件，這三個前提條件概括為“一正、二定、三相等”．一、選擇題1．函數(shù)y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－1)＋5))(x>1)的最小值為()A．－3B．3C．4答案B2．已知點P(x，y)在經(jīng)過A(3,0)，B(1,1)兩點的直線上，則2x＋4y的最小值為()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．16D．不存在答案B解析∵點P(x，y)在直線AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2eq\r(2x·4y)＝2eq\r(2x＋2y)＝4eq\r(2)(x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(3,4)時取等號)．3．已知x≥eq\f(5,2)，則f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,2)B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1D．最小值1答案D解析f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(x－22＋1,2x－2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時等號成立．4．函數(shù)y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值為()A．2\f(5,2)C．1D．不存在答案B解析y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))∵eq\r(x2＋4)≥2，而eq\f(1,\r(x2＋4))≤eq\f(1,2)，所以不能用基本不等式求最小值，用函數(shù)的單調(diào)性求最值，函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴在[2，＋∞)上也是增函數(shù)．∴當(dāng)eq\r(x2＋4)＝2即x＝0時，ymin＝eq\f(5,2).5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3B．4C.eq\f(9,2)\f(11,2)答案B解析∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(eq\f(x＋2y,2))2.∴原式可化為(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.當(dāng)x＝2，y＝1時取等號．6．若xy是正數(shù)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是()A．3\f(7,2)C．4\f(9,2)答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2＝x2＋y2＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥1＋1＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(2),2)或x＝y(tǒng)＝－eq\f(\r(2),2)時取等號．二、填空題7．設(shè)x>－1，則函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．答案9解析∵x>－1，∴x＋1>0，設(shè)x＋1＝t>0，則x＝t－1，于是有y＝eq\f(t＋4t＋1,t)＝eq\f(t2＋5t＋4,t)＝t＋eq\f(4,t)＋5≥2eq\r(t·\f(4,t))＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(4,t)，即t＝2時取等號，此時x＝1.∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值為9.8．已知正數(shù)a，b滿足a＋b－ab＋3＝0，則ab的最小值是________．答案9解析∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3.令eq\r(ab)＝t，則t2≥2t＋3.解得t≥3(t≤－1舍)．即eq\r(ab)≥3.∴ab≥9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時，取等號．9．建造一個容積為8m3，深為2m答案1760解析設(shè)水池的造價為y元，長方形底的一邊長為xm，由于底面積為4m2，所以另一邊長為eq\f(4,x)m．那么y＝120·4＋2·80·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(4,x)))＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥480＋320·2eq\r(x·\f(4,x))＝1760(元)．當(dāng)x＝2，即底為邊長為2m的正方形時，水池的造價最低，為1760元．10．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為________．答案8解析∵A(－2，－1)在直線mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(4m＋2n,n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)＋2≥4＋2·eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)，即m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)時等號成立．故eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為8.三、解答題11．已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．解方法一∵eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y).∵x>0，y>0，∴eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即y＝3x時，取等號．又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＝4，y＝12.∴當(dāng)x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16.方法二由eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，得x＝eq\f(y,y－9)，∵x>0，y>0，∴y>9.x＋y＝eq\f(y,y－9)＋y＝y(tǒng)＋eq\f(y－9＋9,y－9)＝y(tǒng)＋eq\f(9,y－9)＋1＝(y－9)＋eq\f(9,y－9)＋10.∵y>9，∴y－9>0，∴y－9＋eq\f(9,y－9)＋10≥2eq\r(y－9·\f(9,y－9))＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)y－9＝eq\f(9,y－9)，即y＝12時取等號．又eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，則x＝4，∴當(dāng)x＝4，y＝12時，x＋y取最小值16.12．某種生產(chǎn)設(shè)備購買時費用為10萬元，每年的設(shè)備管理費共計9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，問這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的年平均費用最少)?解設(shè)使用x年的年平均費用為y萬元．由已知，得y＝eq\f(10＋＋\f＋,2),x)，即y＝1＋eq\f(10,x)＋eq\f(x,10)(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2eq\r(\f(10,x)·\f(x,10))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(10,x)＝eq\f(x,10)，即x＝10時取等號．因此使用10年報廢最合算，年平均費用為3萬元．能力提升13．若關(guān)于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有()A．2∈M,0∈MB．2?M,0?MC．2∈M,0?MD．2?M,0∈M答案A解析∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤eq\f(k4＋4,1＋k2).∵eq\f(k4＋4,1＋k2)＝eq\f(1＋k22－21＋k2＋5,1＋k2)＝(1＋k2)＋eq\f(5,1＋k2)－2≥2eq\r(5)－2.∴x≤2eq\r(5)－2，M＝{x|x≤2eq\r(5)－2}，∴2∈M,0∈M.14．設(shè)正數(shù)x，y滿足eq\r(x)＋eq\r(y)≤a·eq\r(x＋y)恒成立，則a的最小值是______．答案eq\r(2)解析∵eq\f(\r(x)＋\r(y),2)≤eq\r(\f(x＋