彈性力學(xué)-平面問題的直角坐標(biāo)解答

第三節(jié)位移分量的求出第四節(jié)簡支梁受均布荷載第五節(jié)楔形體受重力和液體壓力例題教學(xué)參考資料第一節(jié)多項式解答第二節(jié)矩形梁的純彎曲第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答逆解法步驟:逆解法⑴先找出滿足的解⑶在給定邊界形狀下，由下式反推出各邊界上的面力，⑵求出§3－1多項式解答例1一次式=ax+by+c,對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。

故：應(yīng)力函數(shù)加減一次式，不影響應(yīng)力。例2二次式，分別表示常量的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c例3逆解法設(shè)圖中所示的矩形長梁，l>>h，試考察應(yīng)力函數(shù)能解決什么樣的受力問題？yxol

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h/2(l>>h)解：按逆解法。1.將代入相容方程，可見是滿足的。有可能成為該問題的解。2.由求出應(yīng)力分量由邊界形狀和應(yīng)力分量反推邊界上的面力。在主要邊界（大邊界）上，

因此，在的邊界面上，無任何面力作用，即在x=0，l的次要邊界（小邊界）上，在x=0,l小邊界上的面力如下圖中(b)所示，而其主矢量和主矩如(c)所示。

由此，可得出結(jié)論：上述應(yīng)力函數(shù)可以解決懸臂梁在x=0處受集中力F作用的問題。FFM(c)(b)§3-2矩形梁的純彎曲梁l×h×1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。問題提出

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h/2lyx(l>>h)oMM⑴由逆解法得出，可取，且滿足⑵求應(yīng)力(a)求解步驟：本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按求解，應(yīng)滿足相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。⑶檢驗應(yīng)力邊界條件，原則是:邊界條件b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。主要邊界從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。主要邊界次要邊界x=0,l,(c)的邊界條件無法精確滿足。次要邊界用兩個積分的條件代替當(dāng)時，即使在邊界上面力不同于的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e)思考題如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。試對此結(jié)論加以說明?！?-3位移分量的求出在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出1.由物理方程求應(yīng)變求形變2.代入幾何方程求位移求位移⑴對式(a)

積分⑵對式(b)

積分求位移⑶再代入(c),并分開變量，上式對任意的x,y

都必須成立，故兩邊都必須為同一常量。求位移由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量，須由邊界約束條件來確定。歸納：從應(yīng)力求位移步驟：3.由邊界約束條件確定剛體位移分量2.代入幾何方程，積分求；由物理方程求出應(yīng)變；2.鉛直線的轉(zhuǎn)角

故在任一截面x處，平面截面假設(shè)成立。純彎曲問題的討論：1.彎應(yīng)力與材力相同；3.縱向纖維的曲率（常體力），同材力。故在純彎曲情況下，彈力解與材力解相同。

思考題1.彈性力學(xué)中關(guān)于純彎曲梁的解答，與材料力學(xué)的解答在應(yīng)力、應(yīng)變等方面完全一致。由此是否可以說在純彎曲情況下材料力學(xué)中的平截面假設(shè)成立？2.試證明剛體位移實際上表示彈性體中原點的平移和轉(zhuǎn)動分量，并應(yīng)用本節(jié)的解答加以驗證。（提示：微分體的轉(zhuǎn)動分量）§3-4簡支梁受均布荷載簡支梁，受均布荷載及兩端支撐反力。。問題yxoll

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h/2采用此假設(shè)。半逆解法按半逆解法求解。⑴假設(shè)應(yīng)力分量。由材力⑵由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由對x積分，對x再積分，(a)半逆解法⑶將代入相容方程，求解。相容方程對于任何均應(yīng)滿足,故的系數(shù)均應(yīng)等于0。由此得三個常微分方程。半逆解法式(b)中已略去對于的一次式。將式(b)代入式(a)，即得。(b)半逆解法解出:對稱性條件─由于結(jié)構(gòu)和荷載對稱于軸，故應(yīng)為的偶函數(shù)，為

x的奇函數(shù)，故。⑷由求應(yīng)力。半逆解法在無體力下，應(yīng)力公式如書中式(f),(g),(h)所示。⑸考察邊界條件。由此解出系數(shù)A,B,C,D。

主要邊界主要邊界次要邊界x=l次要邊界由此解出H，K另一次要邊界(x=-l

)的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分條件，最后應(yīng)力解答：應(yīng)力應(yīng)力的量級當(dāng)時,x~l

同階，y~h

同階第一項同階,（與材力解同）第二項同階;（彈力的修正項）同階；（與材力解同）應(yīng)力的量級同階；（材力中不計）當(dāng)時,量級的值很小,可以不計。應(yīng)力與材力解比較:最主要量級,和次要量級,在材力中均已反映,且與彈力相同。最小量級~,在材力中沒有。當(dāng)時,占主項的1/15(6%),應(yīng)力比較彈力與材力的解法比較:應(yīng)力比較彈力嚴(yán)格考慮并滿足了域內(nèi)的平衡微分方程,幾何方程和物理方程,以及S上的所有邊界條件(在小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理,但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。材力在許多方面都作了近似處理,所以得出的是近似解答。幾何條件中引用平截面假定沿為直線分布；例如：邊界條件也沒有嚴(yán)格考慮；材力解往往不滿足相容條件。平衡條件中，略去作用，沒有考慮微分體的平衡，只考慮的內(nèi)力平衡；物理方程中采用的是簡化后的一維物理方程；對于桿件，材力解法及解答具有足夠的精度，對于非桿件，不能用材力解法求解，應(yīng)采用彈力解法求解。§3-5楔形體受重力及液體壓力設(shè)有楔形體，左面垂直，頂角為α，下端無限長，受重力及齊頂液體壓力。oyxnαα用半逆解法求解。應(yīng)力,而應(yīng)力的量綱只比高一次（L），應(yīng)力(x,y一次式）=即可假設(shè)應(yīng)力為x,y

的一次式。（1）用量綱分析法假設(shè)應(yīng)力（2）由應(yīng)力與關(guān)系式，應(yīng)為x,y的純?nèi)问剑?）

滿足相容方程（4）由求應(yīng)力，（5）考察邊界條件——本題只有兩個大邊界，均應(yīng)嚴(yán)格滿足應(yīng)力邊界條件。

x=0鉛直面，解出解出斜邊界上，須按一般的應(yīng)力邊界條件來表示，有其中由式（b)解出a、b,最后的應(yīng)力解答應(yīng)力水平截面上的應(yīng)力分布如圖所示。楔形體解答的應(yīng)用作為重力壩的參考解答：分縫重力壩接近平面應(yīng)力問題，在壩體中部的應(yīng)力，接近楔形體的解答。重力壩規(guī)范規(guī)定的設(shè)計方法——材料力學(xué)解法重力壩的進一步分析，可按有限單元法進行。第三章例題例題1例題2例題3例題4例題8例題7例題6例題5例題1設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計，圖3-5，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。圖3-5ydyyxl

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h/2o解：本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)，可按下列步驟求解。1.將代入相容方程，顯然是滿足的。2.將代入式(2-24)，求出應(yīng)力分量?？疾爝吔鐥l件：主要邊界上應(yīng)精確滿足式(2-15),在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的邊界條件代替。注意x=0是負x面，圖3-5中表示了負x面上的的正方向，由此得：由(a),(b)解出最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得例題2擋水墻的密度為，厚度為b,圖示,水的密度為，試求應(yīng)力分量。yox解：用半逆解法求解。假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。

因為在y=-b/2邊界上，y=b/2邊界上，，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)沿x

向也是一次式變化，即2.按應(yīng)力函數(shù)的形式，由推測的形式3.由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。代入得要使上式在任意的x處都成立，必須代入，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次式。4.由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。將代入式(2-24),注意體力求得應(yīng)力分量為5.考察邊界條件：主要邊界上,有由上式得到求解各系數(shù)，由由此得又有代入A,得在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個積分的邊界條件：由式(g),(h)解出代入應(yīng)力分量的表達式得最后的應(yīng)力解答：例題3已知試問它們能否作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)？解：作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，將代入，(a)其中A=0，才可能成為應(yīng)力函數(shù)；必須滿足3(A+E)+C=0,才可能成為應(yīng)力函數(shù)。例題4圖中所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩的作用，試用應(yīng)力函數(shù)求解圖示問題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點的位移和轉(zhuǎn)角均為零。bbAyxhOFFb/2解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：(1)校核相容方程，滿足(2)求應(yīng)力分量，在無體力時，得(3)考察主要邊界條件，考察次要邊界條件，在y=0上，上述應(yīng)力已滿足了和全部邊界條件，因而是上述問題的解。代入，得應(yīng)力的解答，(4)求應(yīng)變分量，(5)求位移分量，將u,v代入幾何方程的第三式，兩邊分離變量，并全都等于w常數(shù)，即從上式分別積分，求出代入u,v,得再由剛體約束條件，代入u,v,得到位移分量的解答在頂點x=y=0，例題5圖中矩形截面的簡支梁上，作用有三角形分布荷載。試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。yxoh/2h/2l解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1)將代入相容方程，由此，(2)代入應(yīng)力公式，在無體力下，得(3)考察主要邊界條件對于任意的x值，上式均滿足，由此得(a)(b)(c)(d)由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)(4)考察小邊界上的邊界條件(x=0),由得由式(2)和(6)解出另兩個積分的邊界條件，顯然是滿足的。于是將各系數(shù)代入應(yīng)力表達式，得最后的應(yīng)力解答。讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件是滿足的，例題6矩形截面的柱體受到頂部的集中力和力矩M的作用，不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量。Mqqhyxo

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b/2解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：(1)代入相容方程，(2)求應(yīng)力分量，在無體力下，考察邊界條件，在主要邊界在小邊界x=0再由(a),(b)式解出代入，得應(yīng)力解答，例題7試用應(yīng)力函數(shù)求解圖中所示的半無限平面體在的邊界上受均布壓力q的問題。解：應(yīng)校核相容方程和邊界條件，若這些量均滿足，則可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是例題8試用應(yīng)力函數(shù)求解圖中所示的半平面體在的邊界上受均布切力q的問題。解：應(yīng)校核相容方程和邊界條件，若這些量均滿足，則可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是第三章

教學(xué)參考資料（1）本章學(xué)習(xí)重點及要求（2）本章內(nèi)容提要（3）重力壩的材力解法（4）校核應(yīng)力邊界條件時，應(yīng)注意下列幾點：1、應(yīng)首