同濟(jì)第3版-高數(shù)-(6.3)第三節(jié)一階線性微分方程

中國藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第三節(jié)一階線性微分方程本節(jié)概要線性方程是除可分離變量方程之外又一類可直接求解的微分方程，其重要性是不言而喻的。此外，由于線性方程解的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得人們有可能直接從方程的解的結(jié)構(gòu)推斷方程的解的形式，從而為微分方程的討論開辟了新的途徑。

若在微分方程

F(

x

,y

,y

',y",…,y

(

n

)

)=0中出現(xiàn)的未知函數(shù)

y及其各階導(dǎo)數(shù)

y

,y

,…,y

(

n

)

都是一次的，就稱該方程為線性微分方程。線性微分方程的一般形式為

y(

n

)+

P1(

x

)y(

n-1

)+

…

+

Pn-1(

x

)y

+

Pn(

x

)y

=

f(

x

).

由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的線性性質(zhì)及一般線性方程的代數(shù)性質(zhì)可推知，線性微分方程具有許多良好的性質(zhì)，如解的可疊加性，可構(gòu)造性等。這些性質(zhì)給線性微分方程的討論和求解帶來了很大方便。0.線性微分方程的概念1.一階線性微分方程的求解導(dǎo)數(shù)可解出的一階線性微分方程的一般形式為：其中P(

x

),

Q(

x

)

都是已知函數(shù)。一階線性微分方程雖是最簡單的線性方程，但由于其不能分離變量，直接考慮其求解仍有困難。注意到當(dāng)

Q(

x

)

0時，方程為可分離變量方程，因此先考慮這種較簡單形式的方程的求解，再考慮方程一般形式的求解。分析

對應(yīng)齊線性方程的求解

對應(yīng)齊線性方程為

此時方程是可分離變量方程，它總有解y(

x

)

0，稱這一解為方程的

平凡解。求解齊線性方程主要考慮求其非平凡解。設(shè)總有

y(

x

)

0，則分離變量有

兩邊積分求得齊線性方程通解為

非齊線性方程的求解

非齊次線性方程為

由于Q(

x

)

0，故y(

x

)

0

不是方程的解，因此總可設(shè)

y(

x

)

0．于是可將方程變形為：對于以上方程，由于

y

=

y(

x

)是未知函數(shù)，右端第一項(xiàng)Q(

x

)/yd

x顯然無法積出，但若將

y

=

y(

x

)看作待定函數(shù)，則不論其具有何種形式，積分結(jié)果總應(yīng)是某個關(guān)于

x的函數(shù)，即有

∫Q(

x

)/yd

x=

u(

x

).因此若能求出

u(

x

)的表達(dá)式，就能求出非齊次方程的通解。

對以上方程兩邊進(jìn)行“形式積分”，以考察非齊次方程通解

y

=

(

x

,C

)應(yīng)具有的形式由此可求得方程的一個形式解

ln

y(

x

)=u(

x

)-∫

P(

x

)d

x

，

y(

x

)=

eu(

x

)-∫P(

x

)d

x

=

eu(

x

)·

e-∫P(

x

)d

x

.

由于

u(

x

)是待定函數(shù)，故e

u(

x

)也是待定的函數(shù)。記：C(

x

)=

e

u(

x

)，則上述結(jié)果可寫成

y(

x

)=C(

x

)·

e-∫P(

x

)d

x

，于是，為求非齊次線性方程的通解只需設(shè)法求出待定函數(shù)

C(

x

).

待定函數(shù)

C(

x

)的計算

將形式通解

y

=C(

x

)·

e-∫P(

x

)d

x代入非齊次方程有解得C(

x

)=

∫Q(

x

)·

e∫P(

x

)d

xd

x

+

C

.

于是求得非齊次方程的通解為

(1)

一階齊線性方程的名稱

一階齊次線性方程

y

'

+

P(

x

)y

=

0

中的“齊次”概念與第二節(jié)中齊次方程的“齊次”概念盡管都源自齊次函數(shù)，但二者的意義不盡相同。一階齊次線性方程的齊次概念指方程對應(yīng)于

y,y

的一次齊次函數(shù)，即

(

y

,y

)=

y

+

P(

x

)y是

y,y

的一次齊次函數(shù)，它滿足(

t

y

,t

y

)=(

t

y

)+

P(

x

)(

t

y

)=t(

y

,y

).相應(yīng)地，方程

y'

+

P(

x

)y

=

Q(

x

)稱為非齊次方程。3.關(guān)于線性微分方程的若干相關(guān)問題

第二節(jié)中齊次方程的齊次概念是指一階方程右端的已知函數(shù)

f(

x

,y

)是關(guān)于

x

,y的零次齊次函數(shù)。它滿足

f(

t

x

,t

y

)

=

t

0

f(

x

,y

)=

f(

x

,y

).(2)

求解非齊線性方程通解的常數(shù)變易法

非齊次方程的形式通解

y=C(

x

)·

e-∫P(

x

)d

x與齊次方程的通解y=C

e-∫P(

x

)d

x在形式上很相象，而求非齊次方程通解關(guān)鍵是確定相應(yīng)的待定函數(shù)

C(

x

)．

確定待定函數(shù)

C(

x

)的過程可歸結(jié)為所謂的“常數(shù)變易法”，其具體過程如下：求出齊線性方程

y

+

P(

x

)y

=

0通解y

=

C

e-∫P(

x

)d

x.

將其通解中的任意常數(shù)

C變易為待定函數(shù)

C(

x

)，寫出非齊次線性方程形式通解y

=

C(

x

)·

e-∫P(

x

)d

x.

將形式通解代回非齊次線性方程

y

+

P(

x

)y

=

Q(

x

)

求出待定函數(shù)

C(

x

).(3)

一階非齊次線性方程的另一種形式

由于在微分方程中

x、y

的地位實(shí)際是平等的，因此，若視

x為未知函數(shù)，則如下形式的方程也是一階線性方程：

此時方程的通解為例：求方程

tan

x·

y

-

y=

5

的通解。求解微分方程首先應(yīng)注意判別方程類型。

方程中出現(xiàn)了

y的一次項(xiàng)，而方程的其余部分不再出現(xiàn)

y，因而該方程是非齊次線性方程。此外還可看出，該方程同時也是可分離變量方程。分析

化方程為線性方程的標(biāo)準(zhǔn)式

對應(yīng)齊次方程為

分離變量有

兩邊積分有

求得對應(yīng)齊次方程的通解為方法1視方程為線性方程，用常數(shù)變易法求解

求對應(yīng)齊線性方程的通解

將齊次方程通解中的常數(shù)

C

變易為函數(shù)

C(

x

)，寫出非齊次方程的形式通解

y

=

C(

x

)sin

x

．于是，為求非齊次方程的通解只需設(shè)法確定其形式通解中的待定函數(shù)

C(

x

).

將形式通解代入非齊次方程有

用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解

在微分方程兩邊積分求得

將求得的待定函數(shù)

C(

x

)代入非齊次方程的形式通解，求得非齊次方程的通解為方法2視方程為可分離變量方程求解

對給定方程

tan

x·

y

-

y

=

5分離變量有兩邊積分求得lny

+

5

=lnsin

x

+ln

C

=ln

Csin

x

，即有y

+

5

=C

sin

x

.

若允許

C

取負(fù)值，則可求得方程通解為

y

=

5

+

C

sin

x

.例：求方程

x

ln

x

d

y

+(

y

-

ln

x

)d

x

=

0

的通解。

方程以微分對稱式給出，注意到

d

x系數(shù)中出現(xiàn)了y的一次項(xiàng)，而方程其余部分均不含

y

，故可確定這是個線性方程。化方程為線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

用公式法求解

判別方程類型，采取相應(yīng)解法

解例：求方程

(

x

-

2

x

y

-

y

2

)d

y

+

y

2

d

x

=

0

的通解。

方程以微分對稱式給出，注意到

d

y

系數(shù)中出現(xiàn)了x的一次項(xiàng)，而方程其余部分均不含

x

，故可確定這是個以

x

為未知函數(shù)的線性方程。化方程為線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式判別方程類型，采取相應(yīng)解法

解

用公式法求解

由非齊次線性方程的通解公式求得例：一容器內(nèi)盛有鹽水

100

L

，含鹽

50

g.現(xiàn)以濃度為c1

=

2g

/L

的鹽水注入容器內(nèi)，其流量為

1=3

L

/min

.設(shè)注入的鹽水與原有鹽水被攪拌迅速成為均勻混合溶液,同時，此混合溶液以流量為

1=2

L

/min流出。試求容器內(nèi)的含鹽量與時間t的函數(shù)關(guān)系。由于新鹽水的不斷注入和混合溶液的不斷排出，容器內(nèi)的含鹽量和隨時間

t而不斷改變，于是容易判斷容器內(nèi)的含鹽量與時間

t之間具有函數(shù)關(guān)系。然而，由于函數(shù)關(guān)系反映的是事物變化的全過程，因此要直接寫出這一函數(shù)關(guān)系并不容易，為此可取一個小的時間段進(jìn)行考察。分析用元素法建立微分方程求未知函數(shù)

解顯然，容器內(nèi)的含鹽量與時間

t的函數(shù)關(guān)系取決于各時刻容器內(nèi)的鹽水體積與濃度。設(shè)時刻

t容器內(nèi)的含鹽量為

x(

g

)，則時刻

t容器內(nèi)的鹽水體積積為：

V(

t

)=

100+(

3

-

2

)t=(

100

+

t

)(

L

).

時刻

t容器內(nèi)的溶液的濃度，即流出的混合溶液的濃度為：用元素法布列方程

容器內(nèi)的含鹽量與時間

t的關(guān)系是動態(tài)的，它不僅取決于時刻

t容器內(nèi)的鹽水體積與濃度，還取決于此刻容器內(nèi)鹽量的改變量

x，即取決于水流入的新鹽水和排出的混合溶液的量。為此可通過元素法進(jìn)行分析?？紤]在時間段[

t

,t

+

dt

]內(nèi)流入和流出容器的鹽量:

流入鹽量為：c1

1d

t；

流出鹽量為：c2

2d

t

.

于是可求得該時間段內(nèi)容器內(nèi)鹽量的增量為:

d

x

=(

c1

1

-

c2

2

)d

t

，代入

c1

=

2，

1=

3，

2=

2得且由所設(shè)條件有xt

=

0

=

50.

于是求容器內(nèi)的含鹽量與時間

t的函數(shù)關(guān)系歸結(jié)為如下微分方程初值問題：此初值問題對應(yīng)于求解一階非齊次線性方程，其中求解初值問題確定函數(shù)關(guān)系

由一階非齊次線性方程的通解公式有代入初始條件xt

=

0

=

50有

解得C

=-1.510

6.

于是求得容器內(nèi)的含鹽量與時間

t的函數(shù)關(guān)系為C.P.U.Math.Dept·楊訪例:

求方程

滿足初