第三章地震作用和結構抗震驗算

第三章地震作用和結構抗震驗算3.1概述3.2單自由度體系的彈性地震反應分析3.3單自由度體系的水平地震作用與反應譜3.4多自由度彈性體系的地震反應分析3.5多自由度彈性體系最大地震反應與水平地震作用3.6豎向地震作用3.7結構非彈性地震反應分析3.8結構抗震驗算主要內容§3.1概述：能引起結構內力、變形等反應的各種因素1.地震作用作用分類——各種荷載：如重力、風載、土壓力等——各種非荷載作用：如溫度、基礎沉降、地震等等效地震荷載：工程上，可將地震作用等效為某種形式的荷載作用作用直接作用間接作用一、結構地震反應

：地震時由于地面加速度在結構上產生的慣性力地震作用由地震動引起的結構內力、變形、位移及結構運動速度與加速度等：由地震動引起的結構位移地面運動結構動力特性：自振周期，振型和阻尼2.結構地震反應3.結構地震位移反應：結構地震反應影響因素

1.連續(xù)化描述（分布質量）二、結構動力計算簡圖及體系自由度描述結構質量的兩種方法采用集中質量方法確定結構計算簡圖（步驟）：2.集中化描述（集中質量）工程上常用定出結構質量集中位置（質心）將區(qū)域主要質量集中在質心；將次要質量合并到相鄰主要質量的質點上去集中化描述舉例a、水塔建筑主要質量：水箱部分次要質量：塔柱部分水箱全部質量部分塔柱質量集中到水箱質心單質點體系b、廠房（大型鋼筋混凝土屋面板）主要質量：屋面部分廠房各跨質量集中到各跨屋蓋標高處

集中化描述舉例c、多、高層建筑主要質量：樓蓋部分多質點體系d、煙囪結構無主要質量部分結構分成若干區(qū)域集中到各區(qū)域質心

多質點體系三、與各類型結構相應的地震作用分析方法不超過40m的規(guī)則結構：底部剪力法一般的規(guī)則結構：兩個主軸的振型分解反應譜法

質量和剛度分布明顯不對稱結構：考慮扭轉或雙向地震作用的振型分解反應譜法8、9度時的大跨、長懸臂結構和9度的高層建筑：考慮豎向地震作用

特別不規(guī)則、甲類和超過規(guī)定范圍的高層建筑：一維或二維時程分析法的補充計算慣性力、阻尼力、彈性恢復力§3.2單自由度體系的彈性地震反應分析一、運動方程作用在質點上的三種力：＊慣性力＊阻尼力——由結構內摩擦及結構周圍介質（如空氣水等）對結構運動的阻礙造成＊彈性恢復力——由結構彈性變形產生

c

——阻尼系數

k——體系剛度力的平衡條件：令二、運動方程的解1.方程的齊次解——自由振動

齊次方程：自由振動：在沒有外界激勵的情況下結構體系的運動方程的解：特征方程特征根為共軛復數，（2）若（4）若，、為負實數（3）若，、體系不振動——超阻尼狀態(tài)體系不振動——臨界阻尼狀態(tài)體系產生振動——低阻尼狀態(tài)其中圖各種阻尼下單自由度體系的自由振動當臨界阻尼系數：臨界阻尼比（簡稱阻尼比）（1）若tx(t)0=x1<x<01>x體系自由振動——無阻尼狀態(tài)初始條件:,初始速度則體系自由振動位移時程

初始位移當（無阻尼）——固有頻率——固有周期無阻尼單自由度體系自由振動為簡諧振動自振的振幅將不斷衰減，直至消失有阻尼體系例題3-1已知一水塔結構，可簡化為單自由度體系（見圖）。，求該結構的自振周期。

解：并采用國際單位可得:

2.方程的特解I——簡諧強迫振動

地面簡諧運動

使體系產生簡諧強迫振動

設，代入運動方程方程的特解（零初始條件化簡為振幅放大系數A—地面運動振幅

B—體系質點的振幅

）：0.20.5125圖單自由度體系簡諧地面強迫振動振幅放大系數達到最大值

共振3.方程的特解II——沖擊強迫振動

圖地面沖擊運動地面沖擊運動：質點加速度（0～dt）：dt時刻的速度：dt時刻的位移：地面沖擊作用后，體系不再受外界任何作用，將做自由振動

根據自由振動位移方程，可得自由振動初速度為圖體系自由振動地震地面運動一般為不規(guī)則往復運動

求解方法：將地面運動分解為很多個脈沖運動時刻的地面運動脈沖4.方程的特解III——

一般強迫振動

地面運動加速度時程曲線引起的體系反應為：

疊加：體系在t時刻的地震反應為：地面運動脈沖引起的單自由度體系反應杜哈密積分方程通解（單自由度體系）：體系地震反應（全解）=自由振動（齊次解）+強迫振動（特解）三、單自由度體系地震作用分析運動方程或其中由Duhamel積分可得零初始條件下質點相對于地面的位移為最大位移反應由Duhamel積分可得零初始條件下質點相對于地面的位移為最大位移反應質點相對于地面的速度為質點相對于地面的最大速度反應為質點的絕對加速度為質點最大加速度反應為四、地震反應譜最大相對速度最大加速度最大反應之間的關系在阻尼比、地面運動確定后，最大反應只是結構周期的函數。

單自由度體系在給定的地震作用下某個最大反應與體系自振周期的關系曲線稱為該反應的地震反應譜。最大相對位移相對位移反應譜絕對加速度反應譜相對速度反應譜地震反應譜的特點1.阻尼比對反應譜影響很大2.對于加速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值隨周期急劇增大，大于某個值時，快速下降。3.對于速度反應譜，當結構周期小于某個值時幅值隨周期增大，隨后趨于常數。4.對于位移反應譜，幅值隨周期增大。相對位移反應譜相對速度反應譜§3.3單自由度體系的水平地震作用與反應譜一、水平地震作用的定義單自由度體系的地震作用單自由度體系運動方程

位移最大F=地震作用求得地震作用后，即可按靜力分析方法計算結構的最大位移反應

質點所受最大慣性力，即單自由度體系的地震最大絕對加速度反應與其自振周期T的關系，記為二、地震反應譜地震加速度反應譜（地震反應譜）：杜哈密積分求導一般結構阻尼比較小；得到地震反應譜＊地震加速度反應譜的意義

地震（加速度）反應譜可理解為一個確定的地面運動，通過一組阻尼比相同但自振周期各不相同的單自由度體系，所引起的各體系最大加速度反應與相應體系自振周期間的關系曲線T1T1sa(T)TT2T2T3T3T4T4T5T5ξ=ξ0＊影響地震反應譜的因素：兩個影響因素：1.體系阻尼比2.地震動1.體系阻尼比體系阻尼比越大體系地震加速度反應越小地震反應譜值越小

圖阻尼比對地震反應譜的影響Sa/xgmaxT(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0ξ=0.010.030.050.102.地震動不同的地震動將有不同的地震反應譜

地震動特性三要素:振幅、頻譜、持時

地震動振幅僅對地震反應譜值大小有影響振幅振幅越大地震反應譜值越大呈線性比例關系頻譜：地面運動各種頻率（周期）成分的加速度幅值的對應關系不同場地條件下的平均反應譜不同震中距條件下的平均反應譜

地震反應譜峰值對應的周期也越長

場地越軟震中距越大地震動主要頻率成份越?。ɑ蛑饕芷诔煞菰介L）地震動頻譜對地震反應譜的形狀有影響

持時對最大反應或地震反應譜影響不大

G—體系的重量；

—地震系數；

—動力系數二、設計反應譜設計反應譜：地震反應譜直接用于結構的抗震設計有一定的困難，而需專門研究可供結構抗震設計用的反應譜，稱之為設計反應譜

＊地震系數定義：可將地震動振幅對地震反應譜的影響分離出來基本烈度6789地震系數k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震系數大致增加一倍

＊動力系數定義意義：體系最大加速度的放大系數體系最大加速度地面最大加速度是規(guī)則化的地震反應譜為使動力系數能用于結構抗震設計，采取以下措施：

1.取確定的阻尼比，因大多數實際建筑結構的阻尼比在0.05左右考慮阻尼比對地震反應譜的影響

2.按場地、震中距將地震動記錄分類3.計算每一類地震動記錄動力系數的平均值考慮地震動頻譜的影響因素

考慮類別相同的不同地震動記錄地震反應譜的變異性＊地震影響系數定義圖地震影響系數譜曲線

圖中—特征周期，與場地條件和設計地震分組有關

—結構自振周期—衰減指數，取0.9—直線下降段斜率調整系數，取0.02—阻尼調整系數，取1.0值：我國建筑抗震采用兩階段設計，各設計階段的地震影響設防烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40注：括號中數值分別用于設計基本地震加速度取和的地區(qū)

§3.2單自由度體系的彈性地震反應分析一、運動方程二、運動方程的解1.方程的齊次解——自由振動

2.方程的特解I——簡諧強迫振動

3.方程的特解II——沖擊強迫振動

4.方程的特解III——

一般強迫振動

三、單自由度體系地震作用分析四、地震反應譜§3.3單自由度體系的水平地震作用與反應譜水平地震作用：地震加速度反應譜（地震反應譜）：二、設計反應譜設計反應譜：地震反應譜直接用于結構的抗震設計有一定的困難，而需專門研究可供結構抗震設計用的反應譜，稱之為設計反應譜

＊地震系數定義：可將地震動振幅對地震反應譜的影響分離出來基本烈度6789地震系數k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震系數大致增加一倍

＊動力系數定義意義：體系最大加速度的放大系數體系最大加速度地面最大加速度是規(guī)則化的地震反應譜為了便于動力系數用于結構抗震設計，采取以下措施：

1.取確定的阻尼比，因大多數實際建筑結構的阻尼比在0.05左右2.按場地、震中距將地震動記錄分類3.計算每一類地震動記錄動力系數的平均值＊地震影響系數定義圖地震影響系數譜曲線

—特征周期，與場地條件和設計地震分組有關

—結構自振周期—衰減指數，取0.9—直線下降段斜率調整系數，取0.02—阻尼調整系數，取1.0值：我國建筑抗震采用兩階段設計，各設計階段的地震影響設防烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40注：括號中數值分別用于設計基本地震加速度取和的地區(qū)

＊阻尼對地震影響系數的影響當結構阻尼比不等于0.05時，其形狀參數作如下調整：1.曲線下降段衰減指數的調整2.直線下降段斜率的調整

的調整：

3.當?。卣鹱饔糜嬎阌山猓海?）求結構體系的自振周期單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質量集中于屋蓋處。已知設防烈度為8度，設計地震分組為二組，Ⅰ類場地；屋蓋處的重力荷載代表值G=700kN，框架柱線剛度,阻尼比為0.05。試求該結構多遇地震時的水平地震作用。h=5m例題3-2地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別查表確定（3）計算結構水平地震作用（2）求水平地震影響系數查表確定地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度例題3-3，

位于II類場地第二組，基本烈度為7度（地震加速度為0.10g),阻尼比求該結構多遇地震下的水平地震作用

查表，查表，解:已知一水塔結構，可簡化為單自由度體系（見圖）。由圖3-12（地震影響系數譜曲線）

此時應考慮阻尼比對地震影響系數形狀的調整。§3.4多自由度彈性體系的地震反應分析一、多自由度彈性體系的運動方程圖多自由度體系的變形在單向水平地面運動作用下，多自由度體系的變形如圖所示。設該體系各質點的相對水平位移為xi(i=1,2,…,n),其中n為體系自由度數，則各質點所受的水平慣性力為……體系水平慣性力

其中剛度方程：

多自由度體系無阻尼運動方程

多自由度有阻尼體系運動方程

圖多自由度體系的變形(各質點振幅）二、多自由度體系的自由振動＊自由振動方程不考慮阻尼的影響，體系不受外界作用，令多自由度自由振動方程

動力特征方程設方程的解為關于時間t微分兩次得代入振動方程得：由于則須有：＊自振頻率體系發(fā)生振動，

有非零解，則必有：——多自由度體系的動力特征值方程其解由小到大排列為為體系第i階自由振動圓頻率一個n自由度體系，有n個自振圓頻率，即有n種自由振動方式或狀態(tài)動力特征方程例題3-4計算僅有兩個自由度體系的自由振動頻率解：由式

解上方程得：可得：多自由度體系以某一階圓頻率＊振型自由振動時，

將有一特定的振幅與之相應

它們之間應滿足動力特征方程設與相應，用分塊矩陣表達則動力特征方程展開得

解得

（**）（*）將（**）代入（*），可用以復驗求解結果的正確性由此可得體系以頻率自由振動的解為

體系在自由振動過程中的形狀保持不變定義：振型把反映體系自由振動形狀的向量稱為振型稱為規(guī)則化的振型，也可簡稱為振型

把也稱為第i階振型

令例題3-5三層剪切型結構如圖所示，求該結構的自振圓頻率和振型解：該結構為3自由度體系，質量矩陣和剛度矩陣分別為先由特征值方程求自振圓頻率，令得或由上式可解得從而由

得

由自振周期與自振頻率的關系

，可得結構的各階自振周期分別為由得代入

校核則第一階振型為同樣可求得第二階和第三階振型為為求第一階振型，將

代入

將各階振型用圖形表示:

第一階振型第二階振型第三階振型振型具有如下特征:

對于串聯(lián)多質點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖上就有幾個節(jié)點（振型曲線與體系平衡位置的交點)利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否＊振型的正交性體系動力特征方程改寫上式對體系任意第i階和第j階頻率和振型均應成立

兩邊左乘式(2)兩邊轉置兩邊左乘

剛度矩陣和質量矩陣的對稱性(1)

(2)

(3)

(1)、(3)兩式相減得：如則(4)

(4)式代入(1)式，得：(5)三、地震反應分析的振型分解法＊運動方程的求解由振型的正交性，體系地震位移反應向量

稱為振型正則坐標

唯一對應，是時間的函數

與把{x}代入多自由度體系一般有阻尼運動方程可得：將上式兩邊左乘得（1）（2）注意到振型關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性，并設振型關于阻尼矩陣也正交，即則式（2）成為：由可得：令（3）（2）

計算可得：分解n自由度體系的n維聯(lián)立運動微分方程n個獨立的關于正則坐標的單自由度體系運動微分方程與一單自由度體系的運動方程相同

則將式（3）兩邊同除以由杜哈密積分，可得式（4）的解為（4）其中相當于阻尼比為i、自振頻率為i的單自由度體系的地震位移反應（5）多自由度體系地震位移反應的解

多自由度體系的地震反應可通過分解為各階振型地震反應求解，故稱振型分解法

——體系的第j階振型地震反應

（6）＊阻尼矩陣的處理振型關于下列矩陣正交：剛度矩陣阻尼矩陣振型分解法的前提：質量矩陣無條件滿足采用瑞雷阻尼矩陣（7）

由于得實際計算時，可取對結構地震反應影響最大的兩個振型的頻率，并取確定瑞雷阻尼矩陣中待定系數a、b：

任取體系兩階振型、

（8）（9）單自由度體系地震作用計算：由回顧：多自由度體系地震反應分析的振型分解法：多自由度體系地震位移反應的解：

第一階振型第二階振型第三階振型§3.5多自由度彈性體系的最大地震反應

與水平地震作用一、振型分解反應譜法理論基礎：地震反應分析的振型分解法及地震反應譜概念由于各階振型的線性組合，即是相互獨立的向量，則可將單位向量表示成其中為待定系數，為確定將式（1）兩邊左乘得（1）由上式解得（2）其中對于右圖所示的多質點體系，質點i任意時刻的水平相對位移反應為則質點i在任意時刻的水平相對加速度反應為將水平地面運動加速度表達成

將式（2）代入式（1）得如下以后有用的表達式振型j在質點i處的位移（3）（4）（6）（5）圖多質點體系質點i任意時刻的地震慣性力

為質點i的第j振型水平地震慣性力則可得質點i任意時刻的水平地震慣性力為（7）（5）（6）＊質點i的第j振型水平地震作用將質點i的第j振型水平地震作用定義為該階振型最大慣性力，即則根據地震反應譜的定義采用設計反應譜，則由——質點i的重量；——按體系第j階周期計算的第j振型地震影響系數

可得可得m1m2mi1振型地震作用標準值2振型j振型n振型（8）（9）（10）（7）通過各振型反應＊振型組合由振型j各質點水平地震作用，此稱為振型組合

由各振型產生的地震作用效應，采用“平方和開方”法確定：注：由于各振型最大反應不在同一時刻發(fā)生，因此直接由各振型最大反應疊加估計體系最大反應，結果會偏大，按靜力分析方法計算，可得體系振型j某特定最大地震反應估計體系最大地震反應SRSS法體系最大地震反應計算步驟:2.計算各振型的地震影響系數：3.計算各振型的振型參與系數：4.計算各振型各樓層的水平地震作用：1.求體系的自振周期和振型：5.計算各振型的地震作用效應：6.計算地震作用效應：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。抗震設防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組，阻尼比為0.05。解：（1）求體系的自振周期和振型例3-6第一振型第二振型第三振型（2）計算各振型的地震影響系數1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）查表得地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別（3）計算各振型的振型參與系數第一振型第二振型第三振型第二振型第二振型第三振型第三振型（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第一振型第三振型第二振型第一振型（5）計算各振型的地震作用效應（層間剪力）第一振型1振型第二振型2振型第三振型3振型組合后各層地震剪力（6）計算地震作用效應（層間剪力）例題3-7三層剪切型結構同例3-4。結構處于8度區(qū)（地震加速度為0.20g），I類場地第一組，結構阻尼比為0.05。試采用振型分解反應譜法，求結構在多遇地震下的最大底部剪力和最大頂點位移。已知解：查特征周期值表、水平地震影響系數最大值表得：1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別圖地震影響系數譜曲線

得第一振型各質點（或各樓面）水平地震作用為由第二振型各質點水平地震作用為第三振型各質點水平地震作用為則由各振型水平地震作用產生的底部剪力為通過振型組合求結構的最大底部剪力為若僅取前兩階振型反應進行組合由各振型水平地震作用產生的結構頂點位移為通過振型組合求結構的最大頂點位移若僅取前兩階振型反應進行組合注意振型分解反應譜法計算結構最大地震反應易犯錯誤：先將各振型地震作用組合成總地震作用，然后用總地震作用計算結構總地震反應正確的計算次序：先由振型地震作用計算振型地震反應，再由振型地震反應組合成總地震反應以本例底部剪力結果加以說明：

若先計算總地震作用，則各樓層處的總地震作用分別為按上面各樓層總地震作用所計算的結構底部剪力為與前面正確計算次序的結果相比，值偏大

原因:振型各質點地震作用有方向性，負值作用與正值作用方向相反，而按平方和開方的方法計算各質點總地震作用，沒有反映振型各質點地震作用方向性的影響。

＊振型組合時振型反應數的確定

結構的低階振型反應大于高階振型反應振型反應的組合數可按如下規(guī)定確定

不需要取結構全部振型反應進行組合（1）一般情況下，可取結構前2-3階振型反應進行組合，但不多于結構自由度數（2）當結構基本周期時或建筑高寬比大于5時,可適當增加振型反應組合數結構的總地震反應以低階振型反應為主，而高階振型反應對結構總地震反應的貢獻較小振型階數越高，振型反應越小回顧：振型分解反應譜法計算體系最大地震反應計算步驟:2.計算各振型的地震影響系數：3.計算各振型的振型參與系數：4.計算各振型各樓層的水平地震作用：1.求體系的自振周期和振型：5.計算各振型的地震作用效應：6.計算地震作用效應：二、底部剪力法＊應用條件建筑物高度不超過40m結構以剪切變形為主質量和剛度沿高度分布較均勻結構的地震反應將以第一振型反應為主結構的第一振型接近直線假定

（1）結構的地震反應可用第一振型反應表征；

（2）結構的第一振型為線性倒三角形，即任意質點的第一振型位移與其高度成正比圖結構簡化第一振型＊底部剪力的計算任意質點i的水平地震作用

結構底部剪力

代入上式，得結構底部剪力

一般建筑各層重量和層高均大致相同

單質點體系，n=1，則

多質點體系，n≥2，則按抗震規(guī)范統(tǒng)一取即—結構總重力荷載等效系數—結構等效總重力荷載?===njjEeqGGG1cc＊地震作用分布結構總水平地震作用

分配至各質點上

僅考慮了第一振型地震作用高階振型地震作用影響

各階振型地震反應總地震作用分布等效地震作用分布結構基本周期較長時結構高階振型地震作用影響不能忽略高階振型反應對結構上部地震作用的影響較大(a)我國抗震規(guī)范規(guī)定：結構基本周期，則需在結構頂部附加集中水平地震作用結構頂部附加地震作用系數1.多層鋼筋混凝土房屋和鋼結構房屋按下表采用不考慮0.35~0.552.多層內框架磚房3.其它房屋可不考慮

考慮高階振型的影響時

結構的底部剪力仍為但各質點的地震作用須按下式分布(b)ΔFnFnFiF2F1＊鞭梢效應底部剪力法適用于重量和剛度沿高度分布均比較均勻的結構當建筑物有局部突出屋面的小建筑時，該部分結構的重量和剛度突然變小，將產生鞭梢效應，即局部突出小建筑的地震反應有加劇的現(xiàn)象。因此，按底部剪力法計算作用在小建筑上的地震作用，需乘以增大系數3但是，作用在小建筑上的地震作用向建筑主體傳遞時（或計算建筑主體的地震作用效應時），則不乘增大系數(b)(a)底部剪力法計算體系最大地震反應計算步驟:2.計算體系的等效重力荷載：3.計算第一振型的水平地震影響系數：4.計算結構總的水平地震作用標準值：1.求體系的基本周期和第一階振型：5.計算頂部附加水平地震作用：6.計算各層的水平地震作用標準值：?===njjEeqGGG1cc7.計算各層的層間剪力：底部剪力法應用舉例例3-8：試用底部剪力法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。已知結構的基本周期T1=0.467s,抗震設防烈度為8度,Ⅱ類場地,設計地震分組為第二組。10.5m7.0m3.5m解：（1）計算結構等效總重力荷載代表值（2）計算水平地震影響系數查表得地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別（3）計算結構總的水平地震作用標準值（4）頂部附加水平地震作用頂部附加地震作用系數1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）（5）計算各層的水平地震作用標準值振型分解反應譜法結果（6）計算各層的層間剪力例3-9：六層磚混住宅樓，抗震設防烈度為8度區(qū)，場地為Ⅱ類，設計地震分組為第一組，根據各層樓板、墻的尺寸等得到恒荷和各樓面活荷乘以組合值系數，得到的各層的重力荷載代表值為G1=5399.7kN,G2=G3=G4=G5=5085kN,G6=3856.9kN。試用底部剪力法計算多遇地震下各層地震剪力標準值。G12.952.702.702.702.702.70G2G3G4G5G6

由于多層砌體房屋中縱向或橫向承重墻體的數量較多，房屋的側移剛度很大，因而其縱向和橫向基本周期較短，一般均不超過0.25s。所以規(guī)范規(guī)定，對于多層砌體房屋，確定水平地震作用時采用。并且不考慮頂部附加水平地震作用。解：結構總水平地震作用標準值1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）各層水平地震剪力標準值各層水平地震作用Σ2.955399.716.655085.029.355085.0312.055085.0414.755085.0517.453856.96Vi(kN)Fi(kN)GiHi(kN.m)Hi(m)Gi(kN)層67320.921328.8233815.2547544.7561274.2575003.75306269.72884.5985.7805.3624.8444.4280.44025.1884.51870.22675.53300.33744.74025.129596.6例3-10：四層鋼筋混凝土框架結構，建造于設防烈度為8度區(qū)，場地為Ⅱ類，設計地震分組為第一組，層高和層重力代表值如圖所示。結構的基本周期為0.56s,試用底部剪力法計算各層地震剪力標準值。解：結構總水平地震作用標準值4.363.363.36G4=831.6G3=1039.6G2=1039.6G1=1122.73.361.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數最大值（阻尼比為0.05）地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別頂部附加水平地震作用頂部附加地震作用系數各層水平地震作用131.6238.9313.7359.319.7111.9107.374.845.6339.612008.311517.78024.94895.036445.914.4411.087.724.36831.61039.51039.51122.74033.34321ΣVi(kN)(kN)Fi(kN)GiHi(kN.m)Hi(m)Gi(kN)

層各層水平地震剪力標準值ΔFnF4F3F2F1例題3-11三層剪切型結構。結構處于8度區(qū)（地震加速度為0.20g），I類場地第一組，結構阻尼比為0.05。試采用底部剪力法，求結構在多遇地震下的最大底部剪力和最大頂點位移。已知：解：求得而結構總重力荷載為

則結構的底部剪力為已知

需考慮結構頂部附加集中作用

查頂部附加地震作用系數表得

則又已知

頂部附加地震作用系數則作用在結構各樓層上的水平地震作用為由此得結構的頂點位移為與振型分解反應譜法的計算結果很接近

三、結構基本周期的近似計算＊能量法理論基礎：能量守衡原理，即一個無阻尼的彈性體系作自由振動時，其總能量（變形能與動能之和）在任何時刻均保持不變體系自由振動體系質點水平速度向量為設體系按j振型作自由振動。t時刻的水平位移向量

動能為勢能為當體系振動到達振幅最大值

體系的振動能

體系的動能為零

當體系達到平衡位置時

體系變形能為零

體系的振動能

由能量守恒原理

體系質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]已知時，頻率ωj是振型的函數

近似將作用于各個質點的重力荷載Gi當做水平力所產生的質點水平位移ui作為第一振型位移：求體系基本頻率ω1

由于為產生第一階振型的力向量代入T1＝2π/ω1，g=由于適用于以剪切變形為主的框架結構例題3-12采用能量法求圖示結構的基本周期

解：各樓層的重力荷載為將各樓層的重力荷載當做水平力產生的樓層剪力:

則將樓層重力荷載當做水平力所產生的樓層水平位移為：基本周期：與精確解T1=0.433s的相對誤差為-2％解:例3-13.求結構的基本周期。G2G1（1）計算各層層間剪力（2）計算各樓層處的水平位移（3）計算基本周期已知：回顧：多自由度彈性體系的最大地震反應與水平地震作用一、振型分解反應譜法二、底部剪力法---只考慮第一振型的影響理論基礎：地震反應分析的振型分解法及地震反應譜概念底部剪力法適合建筑物高度不超過40m，結構以剪切變形為主且質量和剛度沿高度分布較均勻的結構。底部剪力法計算體系最大地震反應計算步驟:2.計算體系的等效重力荷載：3.計算第一振型的水平地震影響系數：4.計算結構總的水平地震作用標準值：1.求體系的基本周期和第一階振型：5.計算頂部附加水平地震作用：6.計算各層的水平地震作用標準值：?===njjEeqGGG1cc7.計算各層的層間剪力：三、結構基本周期的近似計算＊能量法理論基礎：能量守衡原理，即一個無阻尼的彈性體系作自由振動時，其總能量（變形能與動能之和）在任何時刻均保持不變近似將作用于各個質點的重力荷載Gi當做水平力所產生的質點水平位移ui作為第一振型位移：＊等效質量法

思想：用一個等效單質點體系來代替原來的多質點體系

等效原則

（1）等效單質點體系的自振頻率與原多質點體系的基本自振頻率相等

（2）等效單質點體系自由振動的最大動能與原多質點體系的基本自由振動的最大動能相等

xegmeg由U1max=U2max

按第一振型振動的最大動能

等效單質點的最大動能

可得等效單質點體系的質量1.多質點體系體系按第一振型振動時，質點mi處的最大位移

體系按第一振型振動時，相應于等效質點meg處的最大位移

(a)xegmeg2.連續(xù)質量懸臂梁結構體系

連續(xù)質量懸臂體系及等效質量體系

近似采用水平均布荷載產生的水平側移曲線作為第一振型曲線：

等效單質點體系的質量

彎曲型結構

剪切型結構

則彎剪型懸臂結構

(b)(a)確定等效單質點體系的質量后可按單質點體系計算原多質點體系的基本頻率基本周期體系在等效質點處受單位水平力作用所產生的水平位移

例題3-14采用等效質量法求圖示結構的基本周期解：計算等效質量：由上個例子已知離散質量結構

等效單質點結構

則在單位質點下施加單位水平力產生的水平位移為由體系基本周期為與精確解T1=0.433s的相對誤差為7.6%解:求結構的基本周期。G2G1能量法的結果為T1=0.508s例3-15.已知：＊頂點位移法思想：將懸臂結構的基本周期用將結構重力荷載作為水平荷載所產生的頂點位移uT來表示例：質量沿高度均勻分布的等截面彎曲型懸臂桿質量沿高度均勻分布的等截面剪切型懸臂桿

可推用于質量和剛度沿高度非均勻分布的彎曲型和剪切型結構基本周期的近似計算結構為彎剪型有注意：頂點位移uT的單位是米(m)。適用于：質量和剛度沿高度分布比較均勻的任何結構體系，可直接由頂點位移估計基本周期。例題3-16

采用頂點位移法計算圖示結構的基本周期例3-13中，已求得結構在重力荷載當做水平荷載作用下的頂點位移為解：因本例結構為剪切型結構由式計算結構基本周期為：

與精確解T1=0.433s的誤差為3％自振周期的經驗公式

根據實測統(tǒng)計，忽略填充墻布置、質量分布差異等，初步設計時可按下列公式估算（1）高度低于25m且有較多的填充墻框架辦公樓、旅館的基本周期（2）高度低于50m的鋼筋混凝土框架-抗震墻結構的基本周期H---房屋總高度；B---所考慮方向房屋總寬度。（3）高度低于50m的規(guī)則鋼筋混凝土抗震墻結構的基本周期（4）高度低于35m的化工煤炭工業(yè)系統(tǒng)鋼筋混凝土框架廠房的基本周期

此外，在實測統(tǒng)計基礎上，再忽略房屋寬度和層高的影響等，有下列更粗略的公式（1）鋼筋混凝土框架結構（2）鋼筋混凝土框架-抗震墻或鋼筋混凝土框架-筒體結構N---結構總層數。（3）鋼筋混凝土抗震墻或筒中筒結構（4）鋼-鋼筋混凝土混合結構（5）高層鋼結構§3.6豎向地震作用在烈度較高的震中區(qū)，豎向地震對結構的破壞也會有較大影響。煙囪等高聳結構和高層建筑的上部在豎向地震的作用下，因上下振動，而會出現(xiàn)受拉破壞對于大跨度結構，豎向地震引起的結構上下振動慣性力，相當增加結構的上下荷載作用。

抗震規(guī)范（GB50011—2001）規(guī)定

設防烈度為8度和9度區(qū)的大跨度屋蓋結構、長懸臂結構、煙囪及類似高聳結構和設防烈度為9度區(qū)的高層建筑，應考慮豎向地震作用震害調查表明

計算結構豎向地震作用的方法：靜力法、水平地震作用折減法、豎向地震反應譜法等規(guī)范采用的是基于豎向地震反應譜法的擬靜力法。豎向地震反應譜與水平地震反應譜形狀相差不大Ⅰ類場地豎向地震平均反應譜與水平地震平均反應譜可利用水平地震反應譜進行分析當n較大時，規(guī)范規(guī)定統(tǒng)一取先確定結構底部總豎向地震作用再計算作用在結構各質點上的豎向地震作用結構總豎向地震作用標準值

質點i的豎向地震作用標準值按各構件承受的重力荷載代表值的比例分配，乘以1.5的豎向地震動力效應增大系數計算豎向地震作用效應:

一、高聳結構及高層建筑類似于水平地震作用的底部剪力法

二、大跨度結構—靜力法對于平板網架、大跨度屋蓋、長懸臂結構等大跨度結構，可以認為豎向地震作用的分布與重力荷載的分布相同豎向地震作用標準值重力荷載標準值豎向地震作用系數

豎向地震作用系數：

1.平板型網架和跨度大于24m屋架，按下表取值：結構類別烈度場地類別ⅠⅡⅢ、Ⅳ平板型網架鋼屋架8不考慮（0.10）0.08（0.12）0.10（0.15）90.150.150.20鋼筋混凝土屋架80.10（0.15）0.13（0.19）0.13（0.19）90.200.250.252.長懸臂和其他大跨度結構8度時取

9度時取

§3.7結構非彈性地震反應分析在罕遇地震（大震）下，允許結構開裂，產生塑性變形，但不允許結構倒塌為保證“大震不倒”，需進行結構非彈性地震反應分析

結構進入非彈性變形狀態(tài)后，剛度發(fā)生變化，這時結構彈性狀態(tài)下的動力特征（自振頻率和振型）不再存在

因此，振型分解反應譜法或底部剪力法不適用于結構非彈性地震反應分析、結構的非彈性性質1.滯回曲線結構或構件在反復荷載作用下的力與非彈性變形間的關系曲線滯回曲線：可反映在地震反復作用下的結構非彈性性質可通過反復加載試驗得到

＊幾種典型的鋼筋混凝土構件的滯回曲線

2.滯回模型

滯回模型：描述結構或構件滯回關系的數學模型稱為滯回模型幾種常用的滯回模型

一般適用于鋼結構梁、柱、節(jié)點域構件

雙線性模型退化雙線性模型一般適用于鋼筋混凝土梁、柱、墻等構件一般適用于砌體墻和長細比比較大的交叉鋼支撐構件剪切滑移模型滯回模型的參數可通過試驗或理論分析得到二、結構非彈性地震反應分析的逐步積分法

1.運動方程結構的恢復力結構進入非彈性變形狀態(tài)結構運動的時間歷程｛x(t)｝結構的非彈性性質有關

不再與[K]{x}對應（彈性恢復力）結構彈塑性運動方程時刻：

（1）（2）與令將（1）、（2）兩式相減：結構運動的增量方程如在增量時間內，結構的增量變形不大近似有代入結構運動的增量方程，得結構在t時刻的剛度矩陣由t時刻結構各構件的剛度確定（3）2.方程的求解通過逐步積分，獲得上述方程的數值解

采用泰勒級數展開式，

時刻：在的時間間隔內，結構運動加速度的變化是線性的

常量假定線性加速度法多自由度有阻尼體系運動方程（3）（4）（5）代入上述泰勒展開式解得代入增量方程得其中（6）（7）（8）（3）計算結構非彈性地震反應流程、

輸入、計算計算

預定時間結束計算是否非彈性地震反應分析的逐步積分法線性加速度法：t時間間隔內加速度線性變化假定

平均加速度法：t時間間隔內加速度為常數假定

Newmark－β法Wilson－θ法

2.[K(t)]的確定

逐步積分法計算結構非彈性地震反應的關鍵：確定任意t時刻的總體樓層側移剛度矩陣[K(t)]

根據t時刻的結構受力和變形狀態(tài)

方法：采用結構構件滯回模型

確定t時刻各構件的剛度

按照一定的結構分析模型確定[K(t)]

分析模型

層模型

桿模型

適用于砌體結構和強梁弱柱型結構

適用于任意框架結構

自由度少

自由度多，計算精度高逐步積分法，也適用于結構彈性地震反應時程分析此時結構的剛度矩陣[K(t)]保持為彈性不變層模型

桿模型

三、結構非彈性地震反應分析的簡化方法結構非彈性最大地震反應的簡化計算方法適用范圍：不超過12層且層剛度無突變的鋼筋混凝土框架結構和填充墻鋼筋混凝土框架結構不超過20層且層剛度無突變的鋼框架結構和支撐鋼框架結構單層鋼筋混凝土柱廠房計算步驟

1.確定樓層屈服強度系數

定義

樓層屈服強度系數

——按框架或排架梁、柱實際截面實際配筋和材料強度標準值計算的樓層i抗剪承載力——罕遇地震下樓層i彈性地震剪力。

圖一個框架柱的抗剪承載力

計算地震作用時，無論是鋼筋混凝土結構還是鋼結構，阻尼比均取hj—樓層柱j凈高

、—分別為樓層屈服時柱j上、下端彎矩

樓層屈服時，、可按下列情形分別計算（1）強梁弱柱型節(jié)點柱端屈服柱端屈服彎矩為鋼筋混凝土結構鋼結構強梁弱柱型節(jié)點（2）強柱弱梁型節(jié)點

梁端屈服，而柱端不屈服（梁端所受軸力可以忽略）梁端屈服彎矩為

鋼筋混凝土結構鋼結構

柱端彎矩：將柱兩側梁端彎矩之和按節(jié)點處上下柱的線剛度之比分配給上、下柱強柱弱梁型節(jié)點(3)混合型節(jié)點

柱端彎矩:

發(fā)生塑性變形集中的部位，即最小或相對較小的樓層2.結構薄弱層位置判別沿高度分布不均勻的框架結構塑性變形集中發(fā)生在某一或某幾個樓層結構薄弱層：

較小的樓層率先屈服，將引起卸載作用，限制地震作用進一步增加，其他樓層不屈服原因：在地震作用下一般發(fā)生塑性變形集中現(xiàn)象結構塑性變形集中在少數樓層，其他樓層的耗能作用不能充分發(fā)揮，因而對結構抗震不利沿高度分布均勻的框架結構可將底層當做結構薄弱層

單層鋼筋混凝土柱廠房

薄弱層一般出現(xiàn)在上柱

＊多層框架結構樓層屈服強度系數沿高度分布均勻與否的判別：如果各層

沿高度分布均勻如果任意某層

沿高度分布不均勻

3.結構薄弱層層間彈塑性位移的計算分析表明，地震作用下結構薄弱層的層間彈塑性位移與相應彈性位移之間有相對穩(wěn)定的關系

薄弱層層間彈塑性位移可由相應層間彈性位移乘以修正系數得到其中

層間彈塑性位移層間彈性位移樓層i的彈性地震剪力樓層i的彈性層間剛度彈塑性位移增大系數結構類別總層數n或部位0.50.40.30.2多層均勻結構二～四1.301.401.602.10五～七1.501.651.802.40八～十二1.802.002.202.80單層廠房上柱1.301.602.002.60鋼筋混凝土結構彈塑性位移增大系數（1）鋼筋混凝土結構和鋼結構查彈塑性位移增大系數表——

彈塑性位移增大系數，取值如下：Rs層數屈服強度系數0.60.50.40.30（無支撐）51.051.051.101.20101.101.151.201.20151.151.151.201.30201.151.151.201.30151.501.651.702.10101.301.401.501.80151.251.351.401.80201.101.151.201.80451.701.852.353.45101.301.401.702.50151.251.301.401.80201.101.151.251.80鋼框架及框架－支撐結構彈塑性位移增大系數

（2）（3）按查表所得值的1.5倍確定由內插法確定

式中為時的取值例題3-10一個4層鋼筋混凝土框架，如圖所示。圖中G1~G4為各樓層重力荷載代表值。該框架梁截面尺寸為250×600，柱截面尺寸為450×450，為強梁弱柱型框架。柱混凝土為C30，，鋼筋為Ⅱ級，第一層柱配筋。第二~四層柱配筋混凝土保護層厚已知結構基本周期位于Ⅰ類場地一區(qū)，設計基本地震加速度為0.2g要求采用簡化方法計算罕遇地震下該框架的最大層間彈塑性位移。按底部剪力法容易確定罕遇地震下作用于各樓層處的水平地震作用為：解：（1）確定樓層屈服強度系數則各樓層彈性地震剪力為：為簡化計算，近似假設框架每一樓層四根柱承受的重力荷載相同則各樓層柱的軸壓力分別為：因是強梁弱柱型框架，樓層屈服時所有柱端屈服則各樓層柱柱端彎矩均按式計算：由式，各樓層的抗剪承載力為則各樓層屈服強度系數為（2）結構薄弱層的判別按式計算各樓層a值：

各樓層

則結構由此判別結構底層為薄弱層

沿高度分布均勻（3）結構薄弱層的層間彈塑性位移結構底部層間彈性剛度為則由于

可直接查表(鋼筋混凝土結構彈塑性位移增大系數表)確定由

查表得

則回顧：結構基本周期的近似計算：適用范圍：設防烈度為8度和9度區(qū)的大跨度屋蓋結構、長懸臂結構、煙囪及類似高聳結構和設防烈度為9度區(qū)的高層建筑，應考慮豎向地震作用等效質量法：頂點位移法：自振周期的經驗公式§3.6豎向地震作用高聳結構及高層建筑—底部剪力法大跨度結構-靜力法§3.8結構抗震驗算一、結構抗震計算原則一般情況下，可在建筑結構的兩個主軸方向分別考慮水平地震作用并進行抗震驗算，各方向的水平地震作用全部由該方向抗側力構件承擔2.有斜交抗側力構件的結構，當相交角度大于15時，宜分別考慮各抗側力構件方向的水平地震作用3.質量和剛度明顯不均勻、不對稱的結構，應考慮水平地震作用的扭轉影響，同時應考慮雙向水平地震作用的影響4.不同方向的抗側力結構的共同構件，應考慮雙向水平地震作用的影響5.8度和9度時的大跨度結構、長懸臂結構、煙囪和類似高聳結構及9度時的高層建筑，應考慮豎向地震作用二、結構抗震計算方法的確定前面介紹的結構抗震計算方法總結如下：

＊底部剪力法

把地震作用當做等效靜力荷載，計算結構最大地震反應＊振型分解反應譜法

利用振型分解原理和反應譜理論進行結構最大地震反應分析擬靜力法擬動力方法＊時程分析法

選用一定的地震波，直接輸入到所設計的結構，然后對結構的運動平衡微分方程進行數值積分，求得結構在整個地震時程范圍內的地震反應完全動力方法

計算量大，而計算精度高時程分析法計算的是某一確定地震動的時程反應底部剪力法和振型分解反應譜法考慮了不同地震動時程記錄的隨機性底部剪力法、振型分解反應譜法和振型分解時程分析法

——只適用于結構彈性地震反應分析逐步積分時程分析法

——不僅適用于結構非彈性地震反應分析，也適用于作為非彈性特例的結構彈性地震反應分析

結構抗震計算方法選擇：多遇地震作用下：根據不同的結構和不同的設計要求分別對待：

彈性分析方法

結構的地震反應是彈性的罕遇地震作用下：結構的地震反應是非彈性的非彈性分析方法規(guī)則、簡單的結構：

簡化方法不規(guī)則、復雜的結構：

較精確的計算方法

次要結構：

簡化方法重要結構：較精確的計算方法

我國《建筑抗震設計規(guī)范》（GBJ50011—2001）規(guī)定，各類建筑結構的抗震計算，采用下列方法：（1）高度不超過40m，以剪切變形為主且質量和剛度沿高度分布比較均勻的結構，以及近似于單質點體系的結構，可采用底部剪力法

（2）除（1）外的建筑結構，宜采用振型分解反應譜法

（3）特別不規(guī)則建筑、甲類建筑和下表所列高度范圍的高層建筑，應采用時程分析法進行多遇地震下的補充計算，可取多條時程曲線計算結果的平均值與振型分解反應譜法計算結果的較大值7度和8度時Ⅰ、Ⅱ類場地>100m8度Ⅲ、Ⅳ類場地>80m9度>60m采用時程分析法的房屋高度范圍

三、重力荷載代表值進行結構抗震設計時，所考慮的重力荷載，稱為重力荷載代表值

結構重力荷載

恒載（自重）活載（可變荷載）

重力荷載代表值

結構恒載標準值

有關活載（可變荷載）標準值有關活載組合值系數（見下表）地震發(fā)生時，活載不一定達到標準值的水平，一般小于標準值因此計算重力荷載代表值時可對活載折減可變荷載種類組合值系數雪荷載0.5屋頂積灰荷載0.5屋面活荷載不計入按實際情況考慮的樓面活荷載1.0按等效均布荷載考慮的樓面活荷載藏書庫、檔案庫0.8其他民用建筑0.5吊車懸吊物重力硬鉤吊車0.3軟鉤吊車不計入表可變荷載組合值系數

四、不規(guī)則結構的內力調整及最低水平地震剪力要求不規(guī)則類型定義側向剛度不規(guī)則該層的側向剛度小于相鄰上一層的70%，或小于其上相鄰三個樓層側向剛度平均值的80%；除頂層外，局部收進的水平向尺寸大于相鄰下一層的25%。豎向抗側力構件不連續(xù)豎向抗側力構件（柱、抗震墻、抗震支撐）的內力由水平轉換構件（梁、桁架等）向下傳遞樓層承載力突變抗側力結構的層間受剪承載力小于相鄰上一樓層的80%豎向不規(guī)則結構，其薄弱層的地震剪力應乘以1.15的增大系數，并應符合下列要求:1、豎向抗側力構件不連續(xù)時，該構件傳遞給水平轉換構件的地震內力應乘以1.25～1.5的增大系數2.樓層承載力突變時，薄弱層抗側力結構的受剪承載力不應小于相鄰上一樓層的65％第i層對應于水平地震作用標準值的樓層剪力：為保證結構的基本安全性，抗震驗算時，結構任一樓層的水平地震剪力應符合下式的最低要求：第j層的重力荷載代表值——剪力系數不應小于規(guī)定的樓層最小地震剪力系數值對豎向不規(guī)則結構的薄弱層，尚應乘以1.15的增大系數

類別7度8度9度扭轉效應明顯或基本周期小于3.5s的結構0.016（0.024）0.032（0.048）0.064基本周期大于5.0s的結構0.012（0.018）0.024（0.032）0.040注：基本周期介于3.5s和5.0s之間