案例 3 降落傘的選擇

案例3降落傘的選擇為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000kg，需選購(gòu)一些降落傘。已知空投高度為500m，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過20m/s。降落傘面為半徑r的半球面，用每根長(zhǎng)共16根繩索連接的載重m位于球心正下方球面處，如圖。

問題每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面費(fèi)用C1由傘的半徑r決定，見表1；繩索費(fèi)用C2由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元/米決定；固定費(fèi)用C3為200元。

r(m)22.533.54C1(元)651703506601000降落傘在降落過程中受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與降落速度和傘面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m、載重m=300kg的降落傘從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻t的高度，見表2。

試確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑多大（在表1中選擇），在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。如果救災(zāi)物資以每袋100kg或200kg等包裝空投(每降落傘可多包捆扎空投，但不可將一包分開)，降落傘的選購(gòu)方案如何？t(s)036912151821242730X(m)500470425372317264215160108551一、問題分析由題意，每種傘的價(jià)格是確定的，建模目的，要確定降落傘的選購(gòu)方案即共需要多少個(gè)傘，每個(gè)傘的半徑多大（在給定的半徑的傘中選），在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低思路確定每種傘在滿足空投的條件下最大載重量用最小二乘法確定空氣阻力系數(shù)建立線性整數(shù)規(guī)劃，運(yùn)用分枝定界法(Lingo軟件)求解二、假設(shè)與記號(hào)假設(shè)1.救災(zāi)物資2000千克可以任意分割2.降落傘落地時(shí)的速度不超過20m/s3.降落傘以及繩索的質(zhì)量可以不計(jì)4.傘在降落過程中，只受到重力和一個(gè)可以認(rèn)為是非重力因素共同作用的合力的空氣阻力的作用5.空氣阻力的阻力系數(shù)k是定值與其他因素?zé)o關(guān)記號(hào)表示半徑為r傘在滿足空投條件最大的載重量空氣阻力系數(shù)降落傘從開始下降計(jì)時(shí)的時(shí)間降落傘從降落位置到t時(shí)刻所下降的距離降落傘負(fù)重質(zhì)量降落傘傘面面積選購(gòu)的半徑為r的降落傘的個(gè)數(shù)三、模型的建立與求解1.確定空氣阻力系數(shù)

k（1）（2）（3）（4）對(duì)給定r=3(m)，m=300(kg)附表數(shù)據(jù)，確定kt(s)036912151821242730H(m)03075128183236285340392445499法一由附表數(shù)據(jù)處理得從t-H關(guān)系表可以看出后階段基本是線性關(guān)系即后階段降落傘是作勻速運(yùn)動(dòng)法二v(t)一開始增長(zhǎng)是較快，但很快接近于極限值可以知道9秒以后是近似于勻速運(yùn)動(dòng)利用Matlab2.求取半徑為r傘在滿足空投的條件最大的載重量由是關(guān)于m增函數(shù)是關(guān)于v增函數(shù)由（5）（6）由H=500，v=20，k=2.9575代入M(2)M(2.5)M(3)M(3.5)M(4)151.695237.023341.313464.565606.779取整1522373414656073.計(jì)算每種傘的單價(jià)半徑為r傘用繩索總長(zhǎng)度：r22.533.54c1651753506601000c2181.02226.27271.53316.78362.04c3200200200200200c446.02596.27821.531176.781562.04取整c446596822117715624.確定降落傘個(gè)數(shù)運(yùn)用分枝定界法(lingo軟件)總費(fèi)用為4932元需要選購(gòu)半徑為3m的降落傘6把，每個(gè)降落傘的承受的質(zhì)量可以按照333×4+334×2分配方式結(jié)果四、模型的檢驗(yàn)及推廣1.上面r=3，運(yùn)動(dòng)后期降落傘作近似勻速運(yùn)動(dòng)擬合k.可以檢驗(yàn)r22.533.54M(r)151.695237.023341.313464.565606.779S25.13339.2756.54976.969100.531M/s6.035746.035736.03579