第9章相似性原理和量綱分析

15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動能源與機械工程系水力學(xué)第9章相似理論與量綱分析15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動實際工程中，有時流動現(xiàn)象極為復(fù)雜，即使經(jīng)過簡化，也難以通過解析的方法求解。在這種情況下，就必須通過實驗的方法來解決。

而工程原型有時尺寸巨大，在工程原型上進行實驗，會耗費大量的人力與物力，有時則完全是不可能的(例如：水壩，水工建筑物中抗特大洪水的試驗)。所以，通常利用縮小的模型進行實驗。當然，如果原型尺寸很小，也可利用放大的模型進行實驗。而進行模型實驗，首先必須解決兩類問題。

(1)如何正確地設(shè)計和布置模型實驗，例如，模型形狀與尺寸的確定，介質(zhì)的選取。

(2)如何整理模型實驗所得的結(jié)果，例如，實驗數(shù)據(jù)的整理，以及如何將實驗的結(jié)果推廣到與實驗相似的流動現(xiàn)象上。

本節(jié)的內(nèi)容也適用于葉輪機械的模型研究、熱力設(shè)備的模型研究以及工程傳熱學(xué)等有關(guān)學(xué)科。15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動力學(xué)相似的內(nèi)涵；各相似準則的定義與物理意義；相似模型律的應(yīng)用*π定理及其應(yīng)用

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【教學(xué)重點】15一月2023

水力學(xué)

給排水工程（a）原型(b)模型

圖1滿足幾何相似、運動相似和動力相似的流動15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動（1）幾何相似（流動空間幾何相似）λl——長度比尺力學(xué)相似：兩個流動現(xiàn)象中相應(yīng)點處的各物理量彼此之間互相平行，并且互成一定的比例。第一節(jié)力學(xué)相似性原理15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動幾何相似是力學(xué)相似的前提15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動（2）運動相似（兩流動的對應(yīng)流線幾何相似或流速大小成同一比例，方向相同）λv——速度比尺時間比尺加速度比尺運動相似是實驗的目的15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動（3）動力相似（同名力作用，且對應(yīng)的同名力互成同一比例）λF——力的比尺動力相似是運動相似的保證15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動在模型實驗中，只要使其中起主導(dǎo)作用的外力滿足相似條件，就能夠保證兩流動現(xiàn)象有基本相同的運動狀態(tài)。這種只考慮某一種外力的動力相似條件稱為相似準則。

怎樣來達到流動的動力相似以保證運動相似呢？

設(shè)想在兩相似水流中，取兩個相應(yīng)質(zhì)點n和m，研究兩質(zhì)點所受粘性力、壓力、重力及慣性力。假設(shè)流體不可壓縮，則不需要考慮彈性力相似的問題。根據(jù)動力相似條件，應(yīng)有第二節(jié)相似準則與模型律一、相似準則15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動

由于慣性力相似與運動相似直接相關(guān)，我們把以上的關(guān)系式分別寫為和慣性力相聯(lián)系的下列等式；；（1）雷諾準則——粘性力是主要的力改成15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動無量綱數(shù)粘性力相似準則，也稱為雷諾相似準則。

雷諾數(shù)表征慣性力與黏性力之比.15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動（2）弗諾德準則——重力是主要的力改成15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動無量綱數(shù)（3）歐拉準則——壓力是主要的力改成重力相似準則，也稱為弗諾德相似準則。

弗諾德數(shù)表征慣性力與重力的相對比值。15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動無量綱數(shù)壓力相似準則，或稱為歐拉相似準則4、馬赫相似準則

在高速氣流中，彈性力起主導(dǎo)作用。由彈性力相似，可導(dǎo)出式中a為當?shù)匾羲佟＿@個速度的比值就是馬赫數(shù)M。歐拉數(shù)表征壓力（差）和慣性力之比馬赫數(shù)表征慣性力與彈性力之比15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動

雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)中都包含定性長度和定性速度。因此，若使雷諾數(shù)和弗諾德數(shù)都相等，就要求原型和模型在長度和速度比尺之間要保持一定關(guān)系。

由雷諾數(shù)模型律，有或或?qū)懗杀瘸哧P(guān)系的形式，即

二、模型律15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動

在多數(shù)情況下，模型和原型采用同種類且溫度相同的流體，此時，故有

或另一方面，根據(jù)弗諾德數(shù)相等，可導(dǎo)出15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動

顯然，對于同種、同溫的流體，若要同時滿足雷諾模型律和弗諾德模型律，則容易導(dǎo)出

這意味著模型尺寸與原型相同。因此模型實驗就失去意義了。

即使是對于不同種的流體，若通過調(diào)整運動粘度比尺，使上述兩模型律同時滿足，則有

這要求在模型流動中，采用特定粘度的流體，實際上這是很不容易實現(xiàn)的。因此，在模型律的應(yīng)用時，通常的做法是要求對流動現(xiàn)象起決定或主導(dǎo)作用的那一個模型律相似就可以了。15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動常見流動的模型律(1)管流(2)

(3)管中水流或氣流,粘性力(主導(dǎo)作用),應(yīng)滿足雷諾準則。(4)(5)具有自由面的液體急變流動,重力(主導(dǎo)),應(yīng)滿足Fr模型律（孔口，管嘴的自由出流）管中的水擊、空泡現(xiàn)象和空泡阻力——歐拉準則15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動【例1】煤油管路上的文丘里流量計，入口直徑為300mm，喉部直徑為150mm，在1:3的模型中用水來進行試驗。已知煤油的比重為0.82，水和煤油的運動粘性系數(shù)分別為0.010cm2／s和0.045cm2／s，求：

(1)已知原型煤油流量，為達到動力相似，模型中水的流量應(yīng)為多少?(2)若在模型中測得入口和喉部斷面的測管水頭差，推算原型中的測管水頭差應(yīng)為多少?

解：此流動的主要作用力為壓力和阻力，決定性相似準則為Re數(shù)，非決定性相似準則為Eu數(shù)。⑴由阻力相似的比尺關(guān)系15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動由于，故L/s

m⑵由壓力相似的比尺關(guān)系15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動1.基本量綱：(獨立量綱)

長度(L)時間(T)質(zhì)量(M)

2.導(dǎo)出量綱：第三節(jié)量綱分析法3.一致性原則：一、量綱一致性15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動某一物理過程，涉及n個變量，其中有m個基本變量，則此n個變量間的關(guān)系F(x1，x2，…，xn）=0，可用（n-m）個無量綱的π項關(guān)系式來表示，即

?（π1，π2，…，πn-m）=0

以上這個結(jié)論就是著名的π定理，也稱布金漢定理。二、π定理量綱分析法就是通過對現(xiàn)象中物理量的量綱以及量綱之間相互聯(lián)系的分析來研究現(xiàn)象相似性的方法。它是以方程式的因次和諧性為基礎(chǔ)的。15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動【例2】證明有壓管流中的壓強損失⊿p可表示為：

根據(jù)實驗，知道壓強損失⊿p與管長，管徑d，管壁粗糙度K，流體運動粘性系數(shù)，密度ρ和流速有關(guān)，于是有

解：1)找出影響某物理現(xiàn)象的n個獨立物理變量。2)從n個變量中選擇m個基本變量?；咀兞康臈l件為其量綱中包括n個變量中所有的基本量綱。m一般等于這些變量所涉及的基本量綱的個數(shù)。基本變量應(yīng)選取最簡單，最有代表性和容易測量的物理量，如物體的長度，流體的密度和粘度，相對速度等。二、使用π定理的具體步驟15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動

在這7個量中，基本量綱數(shù)為3，因而可選擇三個基本變量，不妨取管徑d[d]=L

平均流速[]=LT-1

密度ρ[ρ]=ML-3

3)排列個π項，如該物理現(xiàn)象中的，其基本變量為x1，x2，x3，作為重復(fù)變量，則各個π項的組成為：（i=1,2,...,

）用未知指數(shù)寫出無量綱參數(shù)πi(i=1-4）。15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動對每一個寫出量綱和諧方程組4)根據(jù)各個π項必須為無量綱量的條件，決定待定指數(shù)αi、βi、γi列出具體的π項。將各量的量綱代入，寫出量綱公式15一月2023

流體力學(xué)

設(shè)備和熱動

分別解得：

故有15一月2023

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