道路工程制圖第五章-投影變換

第五章：投影變換1

本章教學(xué)要求掌握換面法和旋轉(zhuǎn)法的作圖方法和特點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)換面法和旋轉(zhuǎn)法的具體應(yīng)用以及作圖原理教學(xué)難點(diǎn)能夠通過換面法和旋轉(zhuǎn)法將一般位置圖形轉(zhuǎn)化為特殊位置圖形能力目標(biāo)概述1換面法2旋轉(zhuǎn)法3本章主要內(nèi)容§5-1

概述投影變換的目的當(dāng)直線或平面平行于投影面時，其投影可直接反映實(shí)長、實(shí)形或傾角；當(dāng)直線或平面垂直于投影面時，其投影有積聚性。利用這些特性，便可以在投影圖中直接解決特殊位置幾何元素的定位（交點(diǎn)、交線）和度量問題（距離、角度、實(shí)形），而處于一般位置的直線或平面不具備這些特性，我們可通過投影變換的方法把處于一般位置的空間幾何元素轉(zhuǎn)換為特殊位置，使之處于有利于解題的位置。投影變換的方法可歸納為變換投影面法（換面法）和旋轉(zhuǎn)法兩類投影變換的方法VAHCBcbXaabca1c1b1V1X1X1基本原理—空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1b1a1bcabacX§5-2

換面法新投影面必須符合以下兩個基本條件：1、新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。2、新投影面必須垂直于一個不變投影面。VAHCBcbXaabcV1X1c1b1a1新投影面選擇原則點(diǎn)的變換規(guī)律——點(diǎn)的一次變換VHXHX1V1a1aAaa1VHXaXVHaX1V1a1V1a1X1HV1aAa1、點(diǎn)的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。2、點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于點(diǎn)的舊投影到舊投影軸的距離。a1X1HV1aXVHa點(diǎn)的投影變換規(guī)律VHXH1X1X1H1Va1XVHaaa1aAa點(diǎn)在V/H1體系中的投影二次投影變換是在第一次變換的基礎(chǔ)上連續(xù)變換。第一次用V1更換V面，形成V1/H體系(新軸為O1X1)，第二次以V1/H為原體系，V1不變，用H2更換H面，形成V1/H2體系（新軸為O2X2）。兩次以上變換是上述過程的重復(fù)作圖，但注意每次只能更換一個投影面，且V、H面必須交替變換。點(diǎn)的變換規(guī)律——點(diǎn)的二次變換VXHa2aaa1XVHX1HV1V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa點(diǎn)的二次投影變換示意圖直線的換面法直線的換面法一般位置直線投影面平行線一般位置直線變換為正平線：求實(shí)長及傾角α一般位置直線變換為水平線：求實(shí)長及傾角β先將直線變換為投影面平行線，再將投影面平行線變換為投影面垂直線一般位置直線投影面垂直線VHXAaBb

abV1X1a1b1a1b1

X1V1HbabaXVH一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1bb投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€XHaAabbBVV1X1H2a2b2a1b1一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€例題1用換面法求點(diǎn)A到直線BC的距離以及點(diǎn)A到直線BC的垂線和垂足。backabkcb1c1a1b2(k2)

(c2)a2k1XVHOX1V1HO1V1H2O2X2a2b2的長即為A到BC的距離，K為所求垂足，AK即為所求的垂線例題2已知平行兩水平線AB和CD的投影ab、ab和cd，兩直線的間距為l，求cd。abcdalbcdcdXVHOX1V1HO1a1（b1）c1（d1）c1（d1）附加例題

求兩直線AB與CD的公垂線

。X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222H2平面的換面法平面的換面法一般位置平面投影面垂直平面投影面垂直平面投影面平行平面acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1c1d1一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵娓郊永}

已知E到平面ABC的距離為N，求E點(diǎn)的正面投影e。

acbbacenkenddX1VH1b1a1c1d1k1ke1HXVCAcbaBX1V1c1b1a1V1c1b1a1X1投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻鎍1c1b1X1bcabacXVHacbXX1V1c1b1a1bcaacXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻鎍cXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2附加例題已知點(diǎn)E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點(diǎn)的投影。例題3已知一隧道洞門模型的三面投影，求洞門斜面的實(shí)形。aXZZ1O1WV1O例題4用換面法求兩平面△ABC和△ABD的夾角。XVHOV1HO1X1X2VH2O2αα即為兩平面的夾角例題5擺MN掛在M點(diǎn)，它在垂直于△ABC的鉛垂面內(nèi)擺動，求：（1）擺MN的端點(diǎn)N與平面△ABC的接觸點(diǎn)K的投影。（2）擺MN在接觸點(diǎn)K時，擺動的幅角α。XVHOX1V1HO1a'b'c'm'n'abcm(n)m1'n1'a1'b1'c1'k2'k1'k1k2α1α2擺動的幅角分別為α1和α2k11'k21'基本原理—保持原投影面體系不動，將空間幾何元素繞某一軸線旋轉(zhuǎn)成為特殊位置，以達(dá)到有利于解題的目的。VHPHacbABCabc1b1c1§5-3

旋轉(zhuǎn)法OOPAA1旋轉(zhuǎn)平面旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軌跡圓旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角P旋轉(zhuǎn)法相關(guān)名詞解釋實(shí)形旋轉(zhuǎn)法的基本概念A(yù)A1aa1αOOa'a1'α點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律：點(diǎn)繞垂直于某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)在該投影面上的投影沿圓周運(yùn)動，反映實(shí)際的旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)半徑；在另一投影面上的投影則沿平行于投影軸的線段（軌跡圓的積聚投影）移動。當(dāng)一點(diǎn)繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，它的運(yùn)動軌跡在軸所垂直的投影面上的投影為一個圓，而在軸所平行的投影面上的投影為一平行于投影軸的直線。VHO1O2a1aPAA1θθVHXO1O2a1aa1aθ點(diǎn)繞正垂軸旋轉(zhuǎn)點(diǎn)繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)當(dāng)直線繞垂直于投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，該旋轉(zhuǎn)軸通過直線一端點(diǎn)，直線相對該投影面的傾角保持不變，同時在該投影面上的投影長度也不變。HbBa1aAA1θVHXba1aa1aθθb當(dāng)平面繞垂直某一投影面的軸旋轉(zhuǎn)時，平面對該投影面的傾角保持不變，平面在該投影面上的投影形狀也保持不變。直線和平面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面平行線位置把一般位置直線旋轉(zhuǎn)到投影面垂直線位置例題6用旋轉(zhuǎn)法求AB的實(shí)長及對H面的傾角α。XOo'a'o(a)b'b1'bα把一般位置平面旋轉(zhuǎn)到投影面垂直面位置把一般位置平面旋轉(zhuǎn)到投影面平行面位置例題7試用旋轉(zhuǎn)法求△ABC對H面的傾角α。XOb1'd1bb'ac'dd'cb1c1c1'd1'

(a1')a'繞同一根軸、向同一方向、旋轉(zhuǎn)同一角度“三同”原則幾何元素在軸所垂直的投影面上的投影，旋轉(zhuǎn)前后的形狀和大小不變一、繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)法的基本概念二、點(diǎn)繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)二、繞平行于投影面的軸旋轉(zhuǎn)一、繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)法的基本概念二、點(diǎn)繞投影面平行軸旋轉(zhuǎn)例題8已知△ABC的兩面投影，試求其實(shí)形。a1bb'ac'dd'cb1a'a0o1將投影面傾斜線變換成投影面平行線

將投影面平行線變換成投影面垂直線將投影面傾斜線變換成投影面垂直線將投影面傾斜面變換成投影面垂直面將投影面垂直面變換成投影面平行面將投影面傾斜面變換成投影面平行面換面法目標(biāo)：將一般位置的直線和平面轉(zhuǎn)換為特殊位置的直線或平面，或者將特殊位置的直線轉(zhuǎn)換為有利于求解的特殊位置。Xa

a

aXVHX1b

bbXV1HaX1bX1a1b1α將投影面傾斜線變換成投影面平行線

實(shí)長H面傾角變換V面變換H面Xa

a

VHb

ba1b1H1VX1β實(shí)長V面傾角Xa

a

VHb

bX1V1Ha1b1將投影面平行線變換成投影面垂直線將投影面傾斜線變換成投影面垂直線Xa

a

VHX1b

bV1Ha1b1V1H2X2a2b2將投影面傾斜面變換成投影面垂直面Xa

a

VHb

bHV1c

cd

dX1a1

c1

d1

b1

α1變換V面（求α1）H面傾角WhyX1軸這么選？變換H面（求β1）Xa

a

VHbc

ce

eb

X1c1a1e1b1β1H1VV面傾角將投影面垂直面變換成投影面平行面Xa

a

VHbc

cb

X1HV1a1

c1

b1

實(shí)形WhyX1軸這么選？將投影面傾斜面變換成投影面平行面Xa

a

VHbc

ce

eb

X1H1Vc1a1e1b1H1V2X2a2

b2

c2

e2

實(shí)形將投影面傾斜線變換成投影面平行線

將投影面平行線變換成投影面垂直線將投影面傾斜線變換成投影面垂直線將投影面傾斜面變換成投影面垂直面將投影面垂直面變換成投影面平行面將投影面傾斜面變換成投影面平行面旋轉(zhuǎn)法目標(biāo)：將一般位置的直線和平面轉(zhuǎn)換為特殊位置的直線或平面，或者將特殊位置的直線轉(zhuǎn)換為有利于求解的特殊位置。Xa

a

VHb

b將投影面傾斜線變換成投影面平行線

a1a1實(shí)長旋轉(zhuǎn)軸Xa

a