長江大學(xué)高等代數(shù)基本定理

第一章帶余除法對于P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)與g(x),其中g(shù)(x)豐0,一定有P[x]中的多項(xiàng)式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中d(r(x))<d(g(x))或者r(x)=0，并且這樣的q(x),r(x)是唯一決定的.定理1對于數(shù)域P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x),其中g(shù)(x)豐0,g(x)If(x)的充分必要條件是g(x)除f(x)的余式為零.定理2對于P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一個(gè)最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一個(gè)組合，即有P[x]中多項(xiàng)式u(x),v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).定理3P[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x)互素的充分必要條件是有P[x]中的多項(xiàng)式u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x))=1，且f(x)Ig(x)h(x)，那么f(x)Ih(x).定理5如果p(x)是不可約多項(xiàng)式，那么對于任意的兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x)，由p(x)If(x)g(x)—定推出p(x)If(x)或者p(x)Ig(x).因式分解及唯一性定理數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù)>1的多項(xiàng)式f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.所謂唯一性是說，如果有兩個(gè)分解式f(x)二p(x)p(x)Lp(x)二q(x)q(x)Lq(x),那么必有s=t，并且適當(dāng)排列因式1 2s1 2t的次序后有p(x)=cq(x),i=1,2,L,s,其中c(i=1,2,L,s)是一些非零常數(shù).i ii i定理6如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式(k>1)，那么它是微商f'(x)的k-1重因式.定理7(余數(shù)定理)用一次多項(xiàng)式x-?去除多項(xiàng)式f(x)，所得的余式是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值f(a).定理8P[x]中n次多項(xiàng)式(n>0)在數(shù)域P中的根不可能多于n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算.定理9如果多項(xiàng)式f(x),g(x)的次數(shù)都不超過n，而它們對n+1個(gè)不同的數(shù)a,a,La有相同的值，即f(a)二g(a),i二1,2,Ln+1,那么f(x)=g(x).12 n+1 i i代數(shù)基本定理每個(gè)次數(shù)＞1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根.復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理每個(gè)次數(shù)＞1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理每個(gè)次數(shù)＞1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積.定理10(高斯(Gauss)引理)兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式.定理11如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.TOC\o"1-5"\h\z定理12設(shè)f(x)二axn+axn-1+L+a是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而-是它的有理n n-1 0 s根，其中r,s互素，那么必有sIa,rIa.特別地，如果f(x)的首項(xiàng)系數(shù)a二1，那n 0 n么f(x)的有理根是整根，而且是a的因子.0定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)設(shè)f(x)二axn+axn-1+L+a是一n n-1 0個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù)p，使得p/a；npIa,a,L,a；n-1n-2 0p2/a0那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.第二章定理1對換改變排列的奇偶性.定理2任意一個(gè)n級排列與排列12Ln都可以經(jīng)過一系列對換互變，并且所作對換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性.定理3設(shè)d=a11a21定理3設(shè)d=a11a21Ma12a22Ma1na2nM，A表示元素a的代數(shù)余子式，則下列公式成ij ijan1an2ann立：aA+aAk1i1 k2i2aA+aAk1i1 k2i2+aknAind，當(dāng)k二i,0,當(dāng)k豐i.d，d，當(dāng)l=j,0,當(dāng)l豐j.并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為aA+aA+L+aA=1l1j 2l 2j nlnj定理4（克拉默法則）如果線性方程組111122ax+ax+LV 21 1 22 2LLLL1n+a2nn1x=b,n2ax+ax+L+ax=bn11 n2 2nnnnaaLa11121n的系數(shù)矩陣A=aaLa21222nMMMaaLa的行列式d=|a|n1豐0，n2nnax+ax+L+ax=b,那么該線性方程組有解，X1=茅X2=共,Xn=牛,其中〃是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)b,b,L,b所成的行列式，即1 2naLabaLa111,j-11 1,j+11naLabaLa .d=212,j-12 2,j+12n,j=1,2,L,n.jMMMMMaLabaLan1n,j-1nn,j+1nn定理5如果齊次線性方程組ax+ax+L+ax=0,111122nn1ax+ax+L+ax=0V211222nn2LLLLax+ax+L+ax=0n1n22nnn的系數(shù)矩陣的行列式|A|H0,那么它只有零解?換句話說，如果該方程組有非

零解，那么必有|A|=0.定理6(拉普拉斯定理)設(shè)在行列式D中任意取定了k(1<k<n-1)個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.定理7兩個(gè)n級行列式D=1aaLabbLb1112定理7兩個(gè)n級行列式D=1aaLabbLb11121n11121naaLa和DbbLb21222n=21222nMMM2MMMaaLabbLbn1n2nnn1n2nn的12In乘積等于一個(gè)n級行列式C=ciic21Mcc22Mcn2cc2nM，其中cj是Di的第i行元素分別與cn1D的第j列的對應(yīng)元素乘積之和：c=a2 ijcnn:b+ab+L+ab.i11ji22j innj第三章定理1在齊次線性方程組ax+ax+L+ax=0,111 122 innax+ax+L+ax=0,v211 222 2nnLLLLax+ax+L+ax=0n11n2 2 nnn中，如果S<"，那么它必有非零解.定理2設(shè)a1,a2L,ar與b竹L，br是兩個(gè)向量組，如果向量組a1,a2L,ar可以經(jīng)b1,b2,L,br線性表出，r>s，那么向量組a1,a2L,ar必線性相關(guān).定理3一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量定理4矩陣的行秩與列秩相等.定理5nn矩陣

aaLa1112n1A=aaLa2122n2MMMaaLan1n2nn的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n.rr定理6一矩陣的秩是的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)級子式不為零，同時(shí)所有丫+1級子式全為零.ax+ax+L+ax+ax+L+ax=b,111 122 1nnax+ax+L+axv211 222 2nnLLLL1=b,ax+ax+ax+ax+L+axn11n2 2它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解aaLaaaLab11121n11121n1aaLaaaLab21222n與增廣矩陣A=21222n2MMMMMMMaaLaaaLabs1s2sns1s2sns有相同的秩。定理8在齊次線性方程組有非零解的情況下，nnnn系所含解的個(gè)數(shù)等于n-r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩.ax+ax+L+ax=b,111 122 1nn1亠亠,m ax+ax+L+ax=b…人「亠匚“^”,、、、定理9如果r是萬程組V211 222 2nn2的一個(gè)特解，那么該萬0LLLLax+ax+L+ax=bn1 1n2 2 nnnn程組的任一個(gè)解r都可以表成r=r0+h，其中h是導(dǎo)出組ax+ax+L+ax=0,111 12 2 1n nax+ax+L+ax=0,,,人匚―「 ”十、十匚,,,, 人「亠匚 ,,V211 222 2n n 的一個(gè)解.因此，對于萬程組的任一個(gè)特解r0，當(dāng)h取L/L/L/L/ax+ax+L+ax=0n1 1n2 2 nnn遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，r=r0+h就給出本方程組的全部解.第四章定理1設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)n，n矩陣，那么|AB|=\A\\B，即矩陣的乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.定理2設(shè)A是數(shù)域P上n'm矩陣，B是數(shù)域P上m's矩陣，于是秩（AB）￡min［秩（A）,秩（B）］，即乘積的秩不超過各因子的秩.定理矩陣a是可逆的充分必要條件是A非退化，而定理rA是一個(gè)S-定理矩陣a是可逆的充分必要條件是A非退化，而定理rA是一個(gè)S-A*（d=\A0）d〃矩陣，如果P是"S可逆矩陣，Q是/“可逆矩陣,那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).定理任意一個(gè)s輊10L0L0犏犏01L0L0MMn矩陣A都與一形式為g0L1L0的矩陣等價(jià)，它稱為矩犏犏犏犏犏犏犏犏犏0L0L0MMM0L0L0陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，主對角線上1的個(gè)數(shù)等于A的秩（1的個(gè)數(shù)可以是零）.定理6n級矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：A積：A=Q1Q2LQm12m第五章定理1數(shù)域P上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和dx2+dx2+Ldx2.11 22nn定理2在數(shù)域p上，任意一個(gè)對稱矩陣都合同于一對角矩陣.定理3任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。定理4任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。定理5（1）任一復(fù)對稱矩陣a都合同于一個(gè)下述形式的對角矩陣；

犏1犏犏O犏臌（2）r1 ，其中，對角線上1的個(gè)數(shù)等于A的秩犏1犏犏O犏臌（2）r1 ，其中，對角線上1的個(gè)數(shù)等于A的秩.0O0任一實(shí)對稱矩陣A都合同于一個(gè)下述形式的對角矩陣:犏犏犏犏i犏犏犏-i犏犏犏O犏犏犏 -i犏犏犏 0犏犏 O犏犏犏 0，其中對角線上1的個(gè)數(shù)P及-1的個(gè)數(shù)丫-P（r是A的秩）都是唯一確定的，分別稱為A的正、負(fù)慣性指數(shù).它們的差2p-r稱為a的符號差.定理6n元實(shí)二次型f（XiX2L，Xn）是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于定理7實(shí)二次型naxx=XAXijiji=1j=1是正定的充分必要條件為矩陣A的順序主子式全大于零.定理8對于實(shí)二次型f^，…，二）=XAX其中A是實(shí)對稱的，下列條件等價(jià):f(x1,x2,L,xn)=i）2）f（X「巴）是半正定的，它的正慣性指數(shù)與秩相等3）有可逆實(shí)矩陣C，使C'AC=did2其中，dRi=l,2,?,?n（4）有實(shí)矩陣C使A=CC，（5）A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1如果在線性空間V中有n個(gè)線性無關(guān)的向量°1'°2「聳，且V中任一向量都可以用它們線性表出，那么V是n維的，而烏就是V的一組基.定理2如果線性空間V的非空子集合W對于V的兩種運(yùn)算是封閉的，那么W就是一個(gè)子空間.定理31）兩個(gè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià).2）氣終,??,）的維數(shù)等于向量組吟號??巴的秩.定理4設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)m維子空間，°1'°2廠烏是W的一組基，那么這組向量必定可擴(kuò)充為整個(gè)空間的基.也就是說，在V中必定可以找到n-m個(gè)向量力0^咒，使得°1吟°巴是V的一組基.定理5如果V,V是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么它們的交VnV也是V的子空1212間.定理6如果V,V是V的子空間，那么它們的和V+V也是V的子空間.1212定理7（維數(shù)公式）如果V,V是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么12維（V）+維（V）=維（V+V）+維（vnv）.121212定理8和V+V是直和的充分必要條件是等式12a+a=0,12agV（i=1,2）ii只有在a全為零向量時(shí)才成立.i定理9設(shè)V,V是V的子空間，令W=V+V，則W=V十V的充分必要條件為121212維（W）=維（V）+維（V）.12定理10設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間，那么一定存在一個(gè)子空間W使V=U十W.定理11V,V，…,V是V的一些子空間，下面這些條件是等價(jià)的：12s

1） W=》V是直和；i2） 零向量的表法唯一；3） Vn工V={o} （i=1,?2?,s,ijj豐i4） 維（w）=工維（V）.i定理12數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù).第七章定理1設(shè)g,g，…,g是線性空間V的一組基，a,a,????,是V中任意n個(gè)向量.存在1 2n 1 2n唯一的線性變換A使Ag“,i=1,2,…,n.ii定理2設(shè)g,g，…,g是數(shù)域p上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個(gè)線1 2n性變換對應(yīng)一個(gè)nxn矩陣?這個(gè)對應(yīng)具有以下的性質(zhì)：1）線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；2） 線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；3） 線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；4） 可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.定理3設(shè)線性變換A在基g,g，…,g下的矩陣是A，向量g在基g,g，…,g下的坐1 2n 1 2n標(biāo)是(x,x，…,x)，1 2n則Ag在基g,g，…,g標(biāo)是(x,x，…,x)，1 2n1 2n 1 2n定理4設(shè)線性空間定理4設(shè)線性空間V中線性變換A在兩組基yx11y=Ax22_y_xnn計(jì)算.TOC\o"1-5"\h\zg,g，…,g （6）1 2n耳，耳，…，耳 （7）1 2n下的矩陣分別為A和B，從基（6）到基（7）的過渡矩陣是X，于是B=X-1AX?定理5線性變換在不同基下所對應(yīng)的矩陣是相似的；反過來，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作同一個(gè)線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.定理6相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.哈密爾頓一凱萊(Hamilton-Caylay)定理設(shè)a是數(shù)域p上一個(gè)nxn矩陣，f(入)=|XE-A|是A的特征多項(xiàng)式，貝Uf(A)=An—(a+aH \-a)An-1h f(—1)n|a|e=O?11 22 nn定理7設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，A的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣的充分必要條件是，A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.定理8屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.定理9如果九，…,九是線性變換A的不同的特征值，而a，…,?是屬于特征值九的1k i1 irii線性無關(guān)的特征向量，i=1,…,k，那么向量組a，…,a，…,a，…。也線性無關(guān).11 1r1 k1 krk定理10設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，￡,￡，…,￡是V的一組基，在這組基12n下A的矩陣是A，則A的值域AV是由基像組生成的子空間，即AV=L(A￡,A￡,…，A￡)-1 2 nA的秩=A的秩.定理11設(shè)A是n維線性空間V的線性變換，則AV的一組基的原像及A-1(0)的一組基合起來就是V的一組基.由此還有A的秩+A的零度=n.定理12設(shè)線性變換A的特征多項(xiàng)式為f(九)，它可分解成一次因式的乘積f(九)=(九一九)r(九一九九…(九一九)r?1 2 s則V可分解成不變子空間的直和V=V十V十…十V，1 2 s其中V=￡I(A-入￡)憶=0,^eV}?ii定理13設(shè)A是復(fù)數(shù)域上線性空間V的一個(gè)線性變換，則在V中必定存在一組基，使A在這組基下的矩陣是若爾當(dāng)形矩陣.定理14每個(gè)n級復(fù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似.定理15數(shù)域P上n級矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件為A的最小多項(xiàng)式是P上互素的一次因式的乘積.第八章定理1一個(gè)nn的l-矩陣A(l)是可逆的充分必要條件為行列式|A(l)|是一個(gè)非零的數(shù).定理2任意一個(gè)非零的S'n的/-矩陣a(i)都等價(jià)于下列形式的矩陣其中r?1di(I)(i1,2L,r)是首相系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且d(l)|d(l)，(i=1,L2,r-1.)i i+1定理3等價(jià)的l-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.定理4l-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.定理5兩個(gè)l-矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.定理6矩陣A(l)是可逆的充分必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積.定理7設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)n'n矩陣.A與B相似的充分必要條件是它們的特征矩陣lE-A和lE-B等價(jià).定理8兩個(gè)同級復(fù)數(shù)矩陣B相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子.定理9首先用初等變換化特征矩陣lE-A為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)就是A的全部初等因子.定理10每個(gè)n級矩陣的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.定理11設(shè)A是復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換，在V中必定存在一組基，使A在這組基下的矩陣是若爾當(dāng)形，并且這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被A唯一決定的.定理12復(fù)數(shù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是，A的初等因子全為一次的.定理13復(fù)數(shù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是，A的不變因子都沒有重根.定理14數(shù)域P上n'n方陣A在P上相似于唯一的一個(gè)有理標(biāo)準(zhǔn)形，稱為A的有理標(biāo)準(zhǔn)形.定理15設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間的線性變換，則在V中存在一組基，使A在該基下的矩陣是有理標(biāo)準(zhǔn)形，并且這個(gè)有理標(biāo)準(zhǔn)形由A唯一決定，稱為A的有理標(biāo)準(zhǔn)形.第九章定理1n維歐式空間中任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基.定理2對于n維歐式空間中任意一組基s,￡,???,￡,都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基12n