田凌清華大學(xué)機(jī)械制圖4 點(diǎn)、直線和平面的投影

點(diǎn)、直線和平面的投影44.1點(diǎn)的投影4.2直線的投影4.3平面的投影內(nèi)容24.1點(diǎn)的投影點(diǎn)在一個(gè)投影面的投影

A→aAaA1A2

反過來，就無法實(shí)現(xiàn)a→A

！P

因此，工程上一般需采用多個(gè)相互正交的投影面組成投影面體系，用多個(gè)投影來表示空間幾何元素的位置和形狀。4.1.1點(diǎn)的投影圖34VHXZYWOAa”aa'axaYaz點(diǎn)的三面投影①直觀圖...水平投影面正立投影面?zhèn)攘⑼队懊鍻Z軸OY軸空間“點(diǎn)”側(cè)面投影正面投影細(xì)實(shí)線字號：3.5圓點(diǎn)：直徑~1mm注意：∥V或⊥V的長度均按1：1度量OX軸水平投影H繞OX旋轉(zhuǎn)W繞OZ旋轉(zhuǎn)直觀圖展平方式5VHWXZOa”aa'axaYazYH

YW③最后擦去邊框，這樣的圖就是投影圖。②直觀圖展平

V面與畫面重合

H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°aYWH6XZOa”aa'axaYW

azYH

YWaYH投影特性②a’ax

=Aa(點(diǎn)與H的距離)

aax=Aa’

(點(diǎn)與V的距離)

a’az=Aa”

(點(diǎn)與W的距離)③aax=a”az①

a’a

OX，a’a”O(jiān)Z

7點(diǎn)的二求三

已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，可利用點(diǎn)的三面投影特性求其第三個(gè)投影。a”O(jiān)XZaa'

YH

YWa”84.1.2點(diǎn)的坐標(biāo)與投影的關(guān)系

如果將投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸，將投影面當(dāng)作坐標(biāo)面,

點(diǎn)的坐標(biāo)與投影的關(guān)系為：aa'

XOZYH

YWa”axazaYH

aYW

點(diǎn)的X坐標(biāo)值=點(diǎn)與面的距離點(diǎn)的Y坐標(biāo)值=點(diǎn)與面的距離

點(diǎn)的Z坐標(biāo)值=點(diǎn)與面的距離

W

H

V94.1.3兩點(diǎn)間的相對位置aa'

XOZYH

YWa”axazaYH

aYW方位關(guān)系:上下左右左右后前后前上下

例：已知點(diǎn)A（12，8，10），點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方5mm、左0mm、前0mm，試完成點(diǎn)B的投影。距觀察者近的方位:前、左、上b'≡bb”5分析：點(diǎn)B在點(diǎn)A的正下方5mm，即點(diǎn)B（12，8，5）。

XOZYH

YWVWH10≡baa'

XOZYH

YWa”axazaYHaYWb'b”可見性

利用重影點(diǎn)的投影可進(jìn)行可見性判斷。在投影中，距觀察者近的點(diǎn)為可見點(diǎn)；遠(yuǎn)離觀察者的點(diǎn)為不可見點(diǎn)。表示方法

不可見點(diǎn)的重合投影加圓括號表示。(b)4.1.4重影點(diǎn)及可見性重影點(diǎn)

若兩個(gè)點(diǎn)的同名投影重合，則稱這兩個(gè)點(diǎn)為重影點(diǎn)。

點(diǎn)的投影特性點(diǎn)的二求三兩點(diǎn)間的相對位置重影點(diǎn)及可見性要點(diǎn)小結(jié)1112ABPCDPPEF4.2.1直線在單一投影面上的投影a≡b

直線垂直于投影面：直線在該投影面上的投影積聚為點(diǎn)cdef

直線平行于投影面：直線在該投影面上的投影反映實(shí)長

直線傾斜于投影面：直線在該投影面上的投影縮短4.2直線的投影134.2.2直線在三投影面體系中的投影相對于投影面名稱HVW規(guī)定夾角的名稱

直線與投影面夾角的規(guī)定名稱14投影面垂直線的投影

在三投影面體系中，當(dāng)直線垂直于某一個(gè)投影面時(shí)，則必同時(shí)平行于另兩個(gè)投影面，這樣的直線稱為投影面垂直線。ABPa≡b

共有三種投影面垂直線：直線⊥投影面V：正垂線直線⊥投影面H：鉛垂線直線⊥投影面W：側(cè)垂線15WVH以正垂線AB為例，討論其投影特性：XOYWZYHABa'≡b'abb”a”a’

≡b’aba”b”∵AB

⊥

V，∴AB∥H，AB∥W。①a’≡b’②ab=a”b”=AB=LAB

③ab⊥OX,a”b”⊥OZ

④=90°、

==0°投影特性：

投影面垂直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；另外兩個(gè)投影反映實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的軸。16投影面平行線的投影

在三投影面體系中，當(dāng)直線平行于某一個(gè)投影面，同時(shí)與另兩個(gè)投影面傾斜，這樣的直線稱為投影面平行線。CDPcd

共有三種投影面平行線：直線∥投影面V：正平線直線∥投影面H：水平線直線∥投影面W：側(cè)平線17WVH以水平線CD為例，討論其投影特性：XOYWZYHCDd'cdd”c”d’cdc”d”CD

∥H，與V、W傾斜。①cd=

CD

=

LCD

②c’d’∥OX,c”d

”∥OYW

③c’d’<CD,c”d

”<CD

④=0°，

0°<、<

90°

c'c’

投影特性：

投影面平行線在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長、反映與另外兩個(gè)投影面的夾角實(shí)際大小；

另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的軸，且縮短。18一般位置線的投影

直線與三個(gè)投影面都傾斜，這樣的直線稱為一般位置線。PEFef19以一般位置線EF

為例，討論其投影特性：f’efe”f”e’XOYWZYH投影特性：

三個(gè)投影均與軸傾斜、投影縮短，與三個(gè)投影面的夾角都不反映實(shí)際大小。?

?

?WVHG

H

h’hh”g”gg'20WVHG

H

h’hh”g”gg'GVGW4.2.3線段的實(shí)長及其與投影面的夾角..△YGH△XGH△ZGH.GHh’hgg'OX.g’h'△YGHLGH例:求線段HG的實(shí)長及其與投影面V的夾角。求線段HG的實(shí)長可利GHGH、GHGV、GHGW任一個(gè)直角三角形；而夾角、、則分別在不同的三角形中?！鱕GH214.2.4屬于直線的點(diǎn)屬于直線的點(diǎn)，其投影必在該直線的同名投影上，且分該直線的各投影成比例。（用圖解法）XOYWZYH

XOa”b”c”對于側(cè)平線，有兩種判斷方法：利用側(cè)投影；利用比例法。a’b’abll’a’ab’bc'ckk’224.2.5直線的跡點(diǎn)

直線與投影面的交點(diǎn)，稱為該直線的跡點(diǎn)。跡點(diǎn)既在直線上（或延長線上），又在投影面上。XO因跡點(diǎn)是投影面上點(diǎn)，所以，跡點(diǎn)的一個(gè)投影必在軸上！m’m≡

Mnn’≡Na’b’ab規(guī)定：直線與H面的交點(diǎn)—水平跡點(diǎn)（M）直線與V面的交點(diǎn)—正面跡點(diǎn)（N）直線與W面的交點(diǎn)—側(cè)面跡點(diǎn)（S）直線的投影特性何時(shí)投影積聚為點(diǎn)、反映實(shí)長、投影縮短投影面垂直線、平行線、一般位置線的投影特性線段的實(shí)長及其與投影面的夾角屬于直線的點(diǎn)跡點(diǎn)的求法要點(diǎn)小結(jié)23244.3.1平面的表示方法PABC線及線外一點(diǎn)兩平行線兩相交直線平面圖形不共線的三點(diǎn)XOa'b'c'abcPABCXOa'b'c'abcPABCDd'dXOa'b'c'abcPABCDd'dXOa'b'c'abcPABCa'XOb'c'abc幾何元素表示4.3平面的投影25

XZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPWPV與PH交OX軸于點(diǎn)PX(P、H、V三面共點(diǎn)）WVHPPVPHPWPXPYPZ跡線表示跡線：平面與投影面的交線。規(guī)定：正面、水平、側(cè)面跡線分別用PV、PH、PW表示。26WVHQVQHQWQQXQYQVQYHQYW

XZYHYWOQXQHQW跡線：平面與投影面的交線。規(guī)定：正面、水平、側(cè)面跡線分別用PV、PH、PW表示。跡線表示27跡線：平面與投影面的交線。規(guī)定：正面、水平、側(cè)面跡線分別用PV、PH、PW表示。

XZYHYWOWVHRRHRWRHRYHRWRY跡線表示28a’ab’ba”b”c”c'c無軸投影只強(qiáng)調(diào)形狀、大小，不考慮其相對于投影面的位置。作圖時(shí)，利用幾何元素之間的相互位置關(guān)系。注意：幾何元素間的方位關(guān)系幾何元素間的度量關(guān)系例：完成△ABC的側(cè)面投影。294.3.2平面的投影特性平面在單一投影面上的投影特性平面垂直于投影面：平面在該投影面上的投影積聚為直線；平面平行于投影面： 平面在該投影面上的投影反映實(shí)形；平面傾斜于投影面： 平面在該投影面上的投影為類似形。30平面在三投影面體系中的投影特性①投影面平行面的投影平行于某一個(gè)投影面的平面—投影面平行面：平面平行于V—正平面平面平行于H—水平面平面平行于W—側(cè)平面正平面的投影特性：平行于V：在V上投影反映實(shí)形；垂直于H、W：在H、W上投影積聚，且平行于軸。

XZYHYWOa’b’c'abca”b”c”例：31②投影面垂直面的投影垂直于某一個(gè)投影面、與另兩個(gè)投影面傾斜的平面—投影面垂直面：平面垂直于V—正垂面平面垂直于H—鉛垂面平面垂直于W—側(cè)垂面

XZYHYWOa’b’c'abca”b”c”鉛垂面的投影特性：垂直于H：在H上投影投影積聚，且與軸傾斜；傾斜于V、W：在V、W上投影類似于空間的面。例：32③一般位置平面的投影與三個(gè)投影面均傾斜的平面——一般位置平面。

XZYHYWOa’ab’ba”b”c”c'c一般位置面的投影特性：與三個(gè)投影面均傾斜，所以三個(gè)投影都具類似性。例：完成△ABC的側(cè)面投影。33d'1'd1ee'距H面20de=10

20XOa'c'b'abc4.3.3屬于平面的直線和點(diǎn)屬于平面的直線定理①：若直線通過屬于平面的兩個(gè)點(diǎn)，則直線必在面上。例：在已知面上作一水平線，距H面20，長度10。2010直線DI在面上！DE為所求34定理②：若直線通過屬于平面的一個(gè)點(diǎn)，且平行于屬于該平面的一條已知直線，則該直線必在面上。XOa'd'b'abd例：試完成平行四邊形ABCD的投影。c'cDC∥AB，且過面上點(diǎn)D,DC在(AB╳AD)平面上BC∥AD，且過面上點(diǎn)B,BC在(AB╳AD)平面上四邊形ABCD即為所求35XOa'c'b'abckk'1'1屬于平面的點(diǎn)定理：若點(diǎn)在屬于平面的直線上，則點(diǎn)必在該面上。例：求屬于△的點(diǎn)K的水平投影。線上找點(diǎn)面上畫線36

定理：若點(diǎn)在屬于平面的直線上，則點(diǎn)必在該面上。XOa'c'b'abc