初中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-三角形-軸對稱與軸對稱圖形

精品設(shè)計精品設(shè)計典型例題一例01．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）（A）有兩個角相等的三角形（B）有一個內(nèi)角是45°的直角三角形（C）有一個內(nèi)角是30°，另一個內(nèi)角為120°的三角形（D）有一個角是30°的直角三角形分析：在（A）中，有兩個角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是軸對稱圖形，它的對稱軸為底邊上的高（或底邊上的中線或頂角的平分線）.而（B）和（C）中的兩個三角形同樣也是等腰三角形，所以也是軸對稱圖形.那么（D）中三角形的三個內(nèi)角各不相等，不是等腰三角形，所以（D）不是軸對稱圖形.解答：選（D）說明：在三角形中，只有等腰三角形才是軸對稱圖形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是軸對稱圖形.典型例題二例02.已知：直線MN,同側(cè)兩點(diǎn)A、B（如圖）求作：點(diǎn)P,使P在MN上，并且AP+BP最小.作法1.作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A.2.連結(jié)AA'交MN于P點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn).說明這類問題經(jīng)常遇到，可以和生活中的問題結(jié)合衍生出許多應(yīng)用問題，但本質(zhì)都是這道題.典型例題三例03?在圖（a）中，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)Pi，P2，連結(jié)PP交OA于于"，交OB于"，若PP2作法：略.解答：如圖（b）所示，P,P關(guān)于OA對稱，1???PM=PM1同理可得PN=PN.2APMN的周長二PM+PN+MN=PM+MN+PN=PP=5cm1212APMN的周長為5cm.說明準(zhǔn)確作圖是關(guān)鍵.典型例題四例04.已知：（如圖）四邊形ABCD和過點(diǎn)D的直線MN,求作：四邊形A'B'CD，使四邊形A'B'C'D'與四邊形ABCD關(guān)于MN對稱.作法1?作BE丄MN，垂足為E；延長BE到B'，使B'E=BE，得到點(diǎn)B的對稱點(diǎn).同法作點(diǎn)A和點(diǎn)C的對稱點(diǎn)A'C'.因?yàn)镈在對稱軸MN上，所以點(diǎn)D的對稱點(diǎn)D'重合.連結(jié)A'B'、B'C'、C'D'.四邊形A'B'CD即為所求.說明關(guān)鍵是掌握概念和基本作圖.典型例題五例05.有一條小河（如圖所示），兩岸有A、B兩地，要設(shè)計道路并在河上垂直于河岸

架一座橋，用來連接A、B間路線怎樣走，橋應(yīng)架在何處，才能使A到B的距離最短.分析：橋梁無論架在何處均垂直于河岸，因此橋梁的長度是定值，決定路程長度的關(guān)鍵是選取建橋點(diǎn)的位置，相對應(yīng)地在河岸A地同測取一點(diǎn)B，使B與河岸距離等于B'與河岸到橋頭的距離之和，于是，這個總是轉(zhuǎn)化為“直線同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，欲在直線上求一點(diǎn)，使這一點(diǎn)與A、點(diǎn)，使這一點(diǎn)與A、B距離之和最短.已知：求作：線段CD，使CD與［、12均互相垂直，并且AC+CD+BD最小.作法：⑴作丄L，與12分別交點(diǎn)E'、E，并且BE=BE（2）在EE上取一點(diǎn)B使B〃E'=BE（或者找到B點(diǎn)關(guān)于〈的對稱點(diǎn)B）⑶連結(jié)AB"，與1交于C點(diǎn)，作CD丄「與12交于D點(diǎn),CD即為所求作的線段.典型例題六例06.如圖所示，P是ZBAC平分線AD上一點(diǎn)，P與A不重合，AC>AB.求證：PC-PB<AC-分析：用對稱法.可利用軸對稱圖形的知識找出點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B'，因AD為ABAC的平分線，故B'在AC上，連結(jié)B'P，從而構(gòu)造AAB'P與AABP兩個軸對稱圖形，再利用三角形兩邊之差小于第三邊來證明.證明：作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B'，連結(jié)B'P.*/AD是ABAC的平分線，??.點(diǎn)B'在AC上（ABAC是以角平分線AD所在直線為對稱軸的軸對稱圖形）,又TAP在對稱軸AD上,.??AB二ABBP二BP',在APBC中，PC-PB'<B'C，

BCACABACAB，BPBP9???PCBPACAB.說明：BAC和ABP就是利用角平分線AD構(gòu)造出的軸對稱圖形，這種方法對于證明有關(guān)線段的不等關(guān)系非常方便、有效.典型例題七例07.如圖，E、F是ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，在BC上求一點(diǎn)M,使EMF的周長最小.分析因?yàn)镋、F是定點(diǎn)，所以EF是定值.要使AEMF的周長最小，只要MEMF最小.解答（1）作點(diǎn)F關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F?（2）連結(jié)EF交BC于M,點(diǎn)M就是所求.說明這類問題在日常生活中經(jīng)常可以遇到.典型例題八例08.如圖，過C作BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，作DE//AB交AC于E.求證：AECE.分析由已知條件容易得到23,從而AEDE.要證明AECE,只須證明DECE，聯(lián)想到AD是角平分線又是垂線，若延長CD交AB的延長線于P，則C、P關(guān)于直線AD對稱，于是問題可以解決.解答延長CD交AB的延長線于P.在ADP和ADC中，21二Z2<AD二ADZADC=ZADP.??AADP=AADC（角邊角）故ZP=ZACD.又???DE//AP,???Z4=ZP,則Z4=ZACD,DE=CE.DE//AB，Z1=Z3，又???Z1=Z2,Z2=Z3，DE=AE（等邊對等角），AE=CE.說明全等三角形是證明角或線段相等的一種方法，但不是惟一方法，不要一證線段相等就找全等三角形.等腰三角形的判定定理及其推論，中垂線的性質(zhì)，都是證線段相等的重要途徑.典型例題九例09.如圖，AD是AABC中ZBAC的平分線，且AB>AC.求證：BC>DC.分析由于AD是ZBAC的平分線，所以可以以AD為軸構(gòu)造軸對稱圖形，即把AADC沿AD翻折180。，這樣DE=DC，就可以在ABED中解決問題.證明在AB上截取AE,使AE=AC，連結(jié)DE.?AD是ZBAC的平分線，Z1=Z2，在AAED和AACD中，'AE=AC（作圖）<Z1=Z2（已證）AD=AD（公共邊）AAED=AACD（邊角邊），DE=DC，???Z3=Z4（全等三角形對應(yīng)邊對應(yīng)角相等），???ZBED>Z3,Z4>ZB(內(nèi)角和定理的推論)，ZBED>ZB,BD>ED(大角對大邊)):,BD>DC.說明本題中的AAED的AACD就是利用角平分線構(gòu)造出來的軸對稱圖形.本題還有其他構(gòu)造軸對稱圖形的方法，比如把AADB沿AD翻折180。，也可證明結(jié)論.選擇題1．選擇題(1)在下列命題中：兩個全等三角形是軸對稱圖形兩個關(guān)于直線l對稱的圖形是全等形等邊三角形是軸對稱圖形線段有三條對稱軸正確命題的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4下列圖形是一定軸對稱圖形的是()(A)任意三角形(B)有一個角等于60°的三角形(C)等腰三角形(D)直角三角形P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB=PC，則p點(diǎn)是()(A)三條中線的交點(diǎn)(B)三條高的交點(diǎn)(C)三個角的平分線的交點(diǎn)(D)三邊垂直平分線的交點(diǎn)已知：D為AABC的邊BC的中點(diǎn)，且AD丄BC，下面各結(jié)論不正確的是()(A)AABC=AACD(B)ZB=ZC(C)AD是ZBAC的平分線(D)AABC是等邊三角形正五角星的對稱軸有()(A)1條(B)2條(C)5條(D)10條等邊三角形的對稱軸共有()(A)1條(B)3條(C)6條(D)無數(shù)條下列四個圖形①等腰三角形②等邊三角形③等腰直角三角形④直角三角形中,定是軸對稱圖形的有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個下列圖形中，不一定是軸對稱圖形的是()(A)線段(B)角(C)三角形(D)等腰直角三角形參考答案：1．選擇題(1)B(2)C(3)D(4)D(5)C(6)B(7)C(8)C填空題

1．填空題TOC\o"1-5"\h\z（1）等邊三角形的對稱軸有條.（2）如果沿著一條直線折疊，兩個點(diǎn)能互相重合，那么這兩個點(diǎn)叫做.（3）把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形.（4）如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做.參考答案1．填空題（1）3（2）對稱點(diǎn)（3）軸對稱（4）軸對稱圖形解答題1.如圖，已知線段AB及直線MN,求作線段AB關(guān)于MN的對稱圖形.2.2.如圖，已知AABC及直線EF,求作AABC關(guān)于EF的對稱圖形.3.3.如圖，已知折線ABC及直線PQ,求作折線ABC關(guān)于直線PQ的對稱圖形.4.如圖，已知AABC，分別以O(shè)M,ON為對稱軸作三角形與它對稱.在AAEC中，ZB二2ZC,AH丄BC,垂足為H,點(diǎn)B關(guān)于AH的對稱點(diǎn)是B'.求證：B'C=AB.如圖，已知：在直線MN的同側(cè)有兩點(diǎn)A和B.求作：MN上一點(diǎn)，使ZACM=ZBCN.如圖，EFGH是一個矩形的臺球臺面，有黑白兩球分別位于A，B兩點(diǎn)位置上，試問：怎樣撞擊黑球A,求能使A先碰撞臺邊EF反彈后兩擊中白球B？H.G?B參考答案