概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第1章3節(jié)

前面講到：事件就是某些樣本點組成的集合，事件之間的運算也就是集合運算.

前蘇聯(lián)學(xué)者柯爾莫哥洛夫于1933年在《概率論基礎(chǔ)概念》一書中，用公理化的方法與集合論的觀點成功地解決了這一問題，提出了概率空間的概念.

但是，并沒有對事件的集合進行限制.對于事件，一個很明顯的要求就是所有事件組成的集合對于并、交、余這三種運算封閉.第一章隨機事件和概率一、概率空間及其三要素1、樣本空間2、與可測空間3、概率P與概率空間二、概率的可列可加性與連續(xù)性三、概率空間的實際例子§1.3概率的公理化定義概率空間第一章隨機事件和概率一、概率空間及其三要素1、樣本空間

是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為樣本點，相應(yīng)于隨機試驗的結(jié)果.2、與可測空間

我們把事件A定義為的一個子集，它包含若干樣本點，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的樣本點中有一個發(fā)生.

一般并不把的一切子集都作為事件，因為這將對給定概率帶來困難.同時，又必須把問題中感興趣的事件都包括進來，因為事件的交、余、并等也應(yīng)該為事件，也應(yīng)該有相應(yīng)的概率.

中的元素稱為事件，也稱為事件域.

稱為必然事件，稱為不可能事件.

于是，我們把事件的全體記為，它是由的某些子集構(gòu)成的集合族，并且還應(yīng)滿足下面的條件：稱滿足上述條件的集合族為域，也稱-代數(shù).

很顯然，根據(jù)定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并以及差也都在事件域中.例1為一-代數(shù).例2為一-代數(shù).例3是由的一切子集構(gòu)成.這時，是一個有限的集合，共有元素2n個.為一-代數(shù).例4為一-代數(shù).可以驗證對于一般的，若由的一切子集構(gòu)成，

注事件域可以很簡單，也可以十分復(fù)雜，要根據(jù)問題的不同要求來選擇適當(dāng)?shù)氖录?3、概率P與概率空間（i）

概率P

為定義在事件域上的函數(shù)，即它是一個從到的映射：，且它滿足（ii）

性質(zhì)（iii）也稱為可列可加性.（iii）完全可加性：

稱這樣的P為可測空間上的一個概率測度，簡稱為概率，

稱為概率空間.

數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而承認(rèn)的前提，這些前提規(guī)定了所討論的對象的一些基本關(guān)系和所滿足的條件，然后以之為基礎(chǔ)，推演出所討論的對象的進一步的內(nèi)容.幾何學(xué)就是一個典型例子.成功地將概率論實現(xiàn)公理化的是現(xiàn)代蘇聯(lián)大數(shù)學(xué)家柯莫哥洛夫.值得贊賞的不止在于他實現(xiàn)了概率論的公理化，還在于他提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，而在這么一個基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.

概率測度P的性質(zhì)與推廣:第一章隨機事件和概率第一章隨機事件和概率重要推廣加法公式的推廣（多除少補原理）第一章隨機事件和概率提示：可用歸納法證明推論（次可加性）

利用多除少補原理來作概率的計算，常能使解題思路清晰，計算便捷.例5（匹配問題）某人寫好n封信，又寫好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少有一封信放對的概率.（1708年為Montmort所解決，后由Laplace等人推廣）解若以Ai記第i封信與信封符合，則所求的事件為不難求得因此二、概率的可列可加性與連續(xù)性定義1若且，則是中的一個單調(diào)不減的集序列.若且，則是中的一個單調(diào)不增的集序列.定義2對于上的集合函數(shù)，若它對中任何一個單調(diào)不減的集序列均有：成立，則我們稱它是下連續(xù)的.（1）

若（1）式對中任何一個單調(diào)不增的集序列均成立，則我們稱它是上連續(xù)的.定理若為上滿足的非負(fù)集合函數(shù)，則它具有可列可加性的充要條件為：（ii）它是下連續(xù)的.（i）它是有限可加的；分析即要證明提示因為故且其中互不相容，為單調(diào)不減的集序列，即證明（1）已證明，下面證明（2）.（2）得證.其中互不相容，為單調(diào)不減的集序列，即其中互不相容，為單調(diào)不減的集序列，即這樣，我們便證得式.推論1概率是下連續(xù)的.推論2概率是上連續(xù)的.證明因而設(shè)則這樣，由推論1可知：即三、概率空間的實際例子

在柯爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元總體為概率空間，其中為樣本空間，為事件域，為概率，它們都認(rèn)為是給定的，并以此為出發(fā)點討論種種問題.至于實際問題中，如何選定，怎樣構(gòu)造，怎樣給定，要視具體情況而定.例6

Bernoulli概率空間取，其中為的非空真子集.任取兩個正數(shù)p與q(p+q=1)，令易證此P是一個概率測度，從而是一個概率空間.它是描述Bernoulli試驗的概率空間.例7

有限概率空間

樣本空間為有限集的一切子集（共2n個）組成的集類.

事件域取為取n個非負(fù)實數(shù)使最后，對的每一個子集，令

易證此P是一個概率測度，從而是一個概率空間.特別取，就是古典概型空間.（4）例8

離散概率空間

樣本空間為可列集取非負(fù)實數(shù)列使再按（4）式定義概率，則是一概率空間,稱為離散概率空間.

例9

一維幾何概率空間對每個事件，取，則它為一概率.于是得到幾何概型的概率空間

.的一切子集組成的集類.

事件域仍取為

樣本空間為中的博雷爾點集，具有正的有限的勒貝格測度

.事件域取作中的博雷爾集類.

從上面的例子可以看到下面兩點：（1）選定了之后，對于事件概率的給定還有相當(dāng)大的靈活性.因為只有這樣，才能用概率空間來描述不同的隨機現(xiàn)象.（2）事件的概率不能任意給定，即在事件域中,各事件的概率有一定的關(guān)系，給定概率必須滿足這些關(guān)系.例10

已知證明例11解選例例12

已知求A,B,C中至少有一個發(fā)生解的概率.例13

假定

P(A)=1/3，P(B)=1/2，在如下條件下分別求.(2)A

B；(3)P(AB)=1/8.(1)A、B互斥；解(1)此時A、B互斥，也即AB=φ,

故P(AB)=0,故(2)此時A

B

，故