第8章統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)檢驗(yàn)

第8章假設(shè)檢驗(yàn)正常人的平均體溫是37oC嗎？當(dāng)問(wèn)起健康的成年人體溫是多少時(shí)，多數(shù)人的回答是37oC，這似乎已經(jīng)成了一種共識(shí)。右邊是一個(gè)研究人員測(cè)量的50個(gè)健康成年人的體溫?cái)?shù)據(jù)37.1 36.9 36.9 37.1 36.436.9 36.6 36.2 36.7 36.937.6 36.7 37.3 36.9 36.436.1 37.1 36.6 36.5 36.737.1 36.2 36.3 37.5 36.937.0 36.7 36.9 37.0 37.136.6 37.2 36.4 36.6 37.336.1 37.1 37.0 36.6 36.936.7 37.2 36.3 37.1 36.736.8 37.0 37.0 36.1 37.0正常人的平均體溫是37oC嗎？◆根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的平均值是36.8oC，標(biāo)準(zhǔn)差為0.36oC◆根據(jù)參數(shù)估計(jì)方法得到的健康成年人平均體溫的95%的置信區(qū)間為(36.7，36.9)?！粢虼颂岢觥安粦?yīng)該以37oC作為衡量人的正常體溫的標(biāo)準(zhǔn)”◆我們應(yīng)該放棄“正常人的平均體溫是37oC”這個(gè)共識(shí)嗎？假設(shè)檢驗(yàn)的基本知識(shí)假設(shè)檢驗(yàn)：先對(duì)總體的參數(shù)提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)方法。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟:1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)

2.確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

3.規(guī)定顯著性水平

4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值

5.做出統(tǒng)計(jì)決策1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)原假設(shè)(H0)：需要通過(guò)樣本去推斷其正確與否的命題

H0：備擇假設(shè)(H1)：與原假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)。原假設(shè)和備擇假設(shè)是互斥的假設(shè)研究的問(wèn)題雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0【例】2010年某地新生兒的平均體重為3190克，現(xiàn)從2011年的新生兒中隨機(jī)抽取100個(gè)，測(cè)得其平均體重為3210克，問(wèn)2011年的新生兒與2010年相比，體重有無(wú)顯著差異。H0：μ=3190（克）H1：μ≠3190（克）2011年新生兒的體重與2010年無(wú)顯著差異2011年新生兒的體重與2010年有顯著差異【例】某品牌的洗滌劑在其產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中聲稱：每瓶的“平均凈含量不低于500克”。從消費(fèi)者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過(guò)抽檢其中的一批產(chǎn)品來(lái)驗(yàn)證該產(chǎn)品制造商的說(shuō)明是否屬實(shí)。試陳述原假設(shè)和備擇假設(shè)。H0：μ≥500（凈含量符合說(shuō)明書(shū)）H1：μ＜500

（凈含量不符合說(shuō)明書(shū)）【例】某種大量生產(chǎn)的袋裝食品，按規(guī)定重量不得少于250克。今從一批該種食品中隨機(jī)抽取50袋，發(fā)現(xiàn)有6袋重量低于250克。若規(guī)定不符合標(biāo)準(zhǔn)的比例超過(guò)5%，食品就不得出廠，則該批食品能否出廠？H0：π≤5%（次品率沒(méi)有超過(guò)上限，可以出廠）H1：π＞5%

（次品率超過(guò)上限，不可以出廠）2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定Z檢驗(yàn)（單尾和雙尾）

t檢驗(yàn)（單尾和雙尾）Z檢驗(yàn)（單尾和雙尾）

2檢驗(yàn)（單尾和雙尾）均值一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)比例方差

樣本量Z統(tǒng)計(jì)量總體標(biāo)準(zhǔn)差σZ統(tǒng)計(jì)量t統(tǒng)計(jì)量大Z統(tǒng)計(jì)量小已知未知總體均值的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定3.規(guī)定顯著性水平

顯著性水平：當(dāng)原假設(shè)正確而人們卻把它拒絕了的概率或風(fēng)險(xiǎn)。用α表示常用的α值有0.01,0.05假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤

α錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）：原假設(shè)為真卻被拒絕。

β錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）：原假設(shè)為偽卻被接受。H0:無(wú)罪法官審判裁決實(shí)際情況無(wú)罪有罪無(wú)罪正確錯(cuò)誤有罪錯(cuò)誤正確H0檢驗(yàn)決策實(shí)際情況H0為真H0為假不能拒絕H01-a（正確決策）b（取偽錯(cuò)誤)拒絕H0a(棄真錯(cuò)誤)1-b(正確決策）假設(shè)檢驗(yàn)就好像一場(chǎng)審判過(guò)程統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)過(guò)程小概率原理小概率原理：發(fā)生概率很小的隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不會(huì)發(fā)生的。

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：在一次試驗(yàn)中小概率事件一旦發(fā)生，我們就有理由拒絕原假設(shè)。4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值Z統(tǒng)計(jì)量：t統(tǒng)計(jì)量：或5.作出統(tǒng)計(jì)決策◆根據(jù)給定的顯著性水平α和統(tǒng)計(jì)量的分布，查表得出相應(yīng)的臨界值?！魧z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值進(jìn)行比較◆得出接受或拒絕原假設(shè)的結(jié)論雙側(cè)檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：右側(cè)檢驗(yàn)：雙側(cè)檢驗(yàn)的算例【例】某機(jī)床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為0=0.081mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為0.025mm。今換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，抽取n=200個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的橢圓度為0.076mm。試問(wèn)新機(jī)床加工零件的橢圓度的均值與以前有無(wú)顯著差異？（＝0.05）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:統(tǒng)計(jì)決策:，Z值位于拒絕域，所以拒絕H0，可以認(rèn)為新機(jī)床加工的零件的橢圓度與老機(jī)床有顯著差異H0:μ=0.081mm沒(méi)有明顯差異H1:μ0.081mm有顯著差異已知μ0=0.081mm，σ=0.025mm，

n=200，因?yàn)槭谴髽颖?，故選擇Z統(tǒng)計(jì)量

α=0.05，z0.025=1.96解：因?yàn)椤纠扛鶕?jù)以往經(jīng)驗(yàn),某公司銷售人員的銷售額近似服從正態(tài)分布，他們的月平均銷售額為15萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為2萬(wàn)元。公司又召進(jìn)來(lái)36名新銷售員,隨機(jī)抽取他們某一個(gè)月的平均銷售額,為12萬(wàn)元,試問(wèn)新員工的月平均銷售額與老員工有無(wú)顯著差異？（＝0.05）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:統(tǒng)計(jì)決策:，Z值位于拒絕域，所以拒絕H0，新員工的月平均銷售額與老員工相比有顯著差異。H0:μ=15萬(wàn)元沒(méi)有明顯差異H1:μ15萬(wàn)元有顯著差異已知μ0=15萬(wàn)元，σ=2萬(wàn)元，

n=36，因?yàn)槭谴髽颖荆蔬x擇Z統(tǒng)計(jì)量

α=0.05，z0.025=1.96解：因?yàn)椤纠?/p>

一項(xiàng)對(duì)200個(gè)家庭的調(diào)查顯示，每個(gè)家庭每天看電視的平均時(shí)間為7.25小時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差為2.5小時(shí)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，去年每天每個(gè)家庭看電視的平均時(shí)間為7小時(shí),取顯著性水平α=0.01，試證明今年每個(gè)家庭每天看電視的平均時(shí)間與去年相比是否有顯著差異？檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:統(tǒng)計(jì)決策:，Z值位于接受域，所以不能拒絕H0，有理由認(rèn)為今年每個(gè)家庭每天看電視的平均時(shí)間與去年相比是無(wú)顯著差異。H0:μ=7小時(shí)今年與去年無(wú)顯著差異H1:μ7小時(shí)今年與去年有顯著差異已知μ0=7小時(shí)，，s=2.5小時(shí)，

n=200，因?yàn)槭谴髽颖?，故選擇Z統(tǒng)計(jì)量

α=0.01，z0.005=2.58解：因?yàn)樽髠?cè)檢驗(yàn)的算例【例】某批發(fā)商欲從廠家購(gòu)進(jìn)一批打印墨盒，根據(jù)合同規(guī)定用這批墨盒打印的紙張數(shù)目平均不能低于1000張。已知其墨盒的打印紙張數(shù)量服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為200張。在總體中隨機(jī)抽取了100件墨盒，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)平均打印的紙張數(shù)量為960張，當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)，批發(fā)商是否應(yīng)該購(gòu)買這批墨盒？檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:統(tǒng)計(jì)決策:，Z值位于拒絕域，所以應(yīng)拒絕H0，檢驗(yàn)表明這批墨盒的使用壽命低于1000張，批發(fā)商不應(yīng)購(gòu)買這批墨盒。H0:μ≥1000張應(yīng)購(gòu)買墨盒H1:μ＜1000張拒絕購(gòu)買墨盒已知μ0=1000(張)，σ=200(張)，

n=100，因?yàn)槭谴髽颖?，故選擇Z統(tǒng)計(jì)量

α=0.05，本題為左側(cè)檢驗(yàn)，因此zα=1.645解：因?yàn)橛覀?cè)檢驗(yàn)【例】電視機(jī)顯像管批量生產(chǎn)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)為平均使用壽命1200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為300小時(shí)。某電視機(jī)廠宣稱其生產(chǎn)的顯像管質(zhì)量大大超過(guò)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)。為了進(jìn)行驗(yàn)證，隨機(jī)抽取了100件為樣本，測(cè)得平均使用壽命為1245小時(shí)。能否說(shuō)該廠的顯像管質(zhì)量顯著高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)？(α=0.05)解：H0：μ≤1200質(zhì)量沒(méi)有顯著超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)H1：μ＞1200質(zhì)量顯著超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)已知n=100，σ=300，故采用Z統(tǒng)計(jì)量驗(yàn)證。本題為右側(cè)檢驗(yàn)，α=0.05，Zα

=1.645因?yàn)閆<Zα，所以不能拒絕原假設(shè)，即不能說(shuō)該廠產(chǎn)品質(zhì)量顯著高于規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)

一家汽車生產(chǎn)企業(yè)在廣告中宣稱“該公司的汽車可以保證在2年或24000公里內(nèi)無(wú)事故”，但該汽車的一個(gè)經(jīng)銷商認(rèn)為保證“2年”這一項(xiàng)是不必要的，因?yàn)槠囓囍髟?年內(nèi)行駛的平均里程超過(guò)24000公里。為驗(yàn)證經(jīng)銷商的這一想法，隨機(jī)抽取49位車主，了解其2年內(nèi)的行駛里程，平均里程為25517公里，標(biāo)準(zhǔn)差為1866公里，取顯著性水平為0.01，問(wèn)經(jīng)銷商的想法是否可信。（Z0.01

=2.33，Z0.005

=2.58）小樣本，σ未知【例】某機(jī)器制造出的肥皂厚度為5cm，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，該機(jī)器制造出的肥皂厚度服從正態(tài)分布。今欲了解機(jī)器性能是否良好，隨機(jī)抽取10塊肥皂為樣本，測(cè)得平均厚度為5.3cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)機(jī)器性能良好的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:統(tǒng)計(jì)決策:，樣本統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，所以拒絕H0，可以認(rèn)為該機(jī)器的性能不好H0:μ=5cmH1:μ5cmμ0=5cm，σ未知，n=10，是小樣本，因此，應(yīng)選擇t統(tǒng)計(jì)量。此題為雙側(cè)檢驗(yàn)，α=0.05，t0.025(9)=2.262解：因?yàn)?/p>

航空服務(wù)公司規(guī)定,銷售一張機(jī)票的平均時(shí)間為2分鐘。由10名顧客購(gòu)買機(jī)票所用的時(shí)間組成的一個(gè)隨機(jī)樣本，結(jié)果為：1.9,1.7,2.8,2.4,2.6,2.5,2.8,3.2,1.6,2.5在α=0.05的顯著性水平下，檢驗(yàn)平均售票時(shí)間是否超過(guò)2分鐘？(t0.025(10)=2.2281,t0.05(10)=1.8125,t0.025(9)=2.2622,t0.05(9)=1.8331)利用P值進(jìn)行決策P值(P-value)：如果原假設(shè)為真，所得到的樣本結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率，也稱為觀察到的顯著性水平?！?/p>

P值表示當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)，從總體中抽出目前這個(gè)樣本或更極端的樣本發(fā)生的概率。★

如果概率很小，而這個(gè)概率很小的樣本卻被抽中了，說(shuō)明小概率事件發(fā)生了，則拒絕原假設(shè)。雙側(cè)檢驗(yàn)的P值/

2/

2Z拒絕拒絕H0值臨界值計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量臨界值1/2P值1/2P值左側(cè)檢驗(yàn)的P值H0值臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域抽樣分布1-置信水平計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量P值右側(cè)檢驗(yàn)的P值H0值臨界值a拒絕域抽樣分布1-置信水平計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量P值P值越小，拒絕原假設(shè)的證據(jù)就越強(qiáng)，檢驗(yàn)的結(jié)果越顯著。P＜α,拒絕原假設(shè)P＞α,不能拒絕原假設(shè)用P值做統(tǒng)計(jì)決策：總體比例的檢驗(yàn)采用Z統(tǒng)計(jì)量p為樣本比例，為總體比例的假設(shè)值【例】某種大量生產(chǎn)的袋裝食品，按規(guī)定重量不得少于250克。今從一批該種食品中隨機(jī)抽取50袋，發(fā)現(xiàn)有6袋重量低于250克。若規(guī)定不符合標(biāo)準(zhǔn)的比例超過(guò)5%，食品就不得出廠，則該批食品能否出廠？解：H0：≤

5%H1：＞

5%本題為右側(cè)檢驗(yàn)，α=0.05，Zα

=1.645已知n=50，=5%，p=6/50=0.12因?yàn)閆>Zα，Z值落在拒絕域中，所以拒絕原假設(shè)，即不能說(shuō)該批食品不能出廠。

對(duì)消費(fèi)者的一項(xiàng)調(diào)查表明，17%的人早餐飲料是牛奶。某城市的牛奶生產(chǎn)商認(rèn)為，該城市的人早餐飲用牛奶的比例更高。為驗(yàn)證這一