第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第三章三角函數(shù)、解三角形 [知識(shí)能否憶起]1．任意角

(1)角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為

、

、

．②按終邊位置不同分為

和

．

(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成

．正角負(fù)角零角象限角軸線角α＋k·360°(k∈Z)超鏈接[動(dòng)漫演示更形象，見配套課件](3)弧度制：①1弧度的角：把長度等于

的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．半徑長正數(shù)負(fù)數(shù)零

無關(guān)角的大小2ππl(wèi)＝|α|r2．任意角的三角函數(shù)yx自變量函數(shù)值(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函數(shù)線設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

，即

，其中cos

α＝

，sinα＝

，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，則tanα＝

.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的

、

、

.(cos

α，sinα)P(cos

α，sinα)OMMPAT余弦線正弦線正切線三角函數(shù)線有向線段

為正弦線有向線段

為余弦線有向線段

為正切線MPOMAT [小題能否全取]1．－870°的終邊在第幾象限 (

)A．一B．二C．三

D．四解析：因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．答案：C答案：

B3．(教材習(xí)題改編)若sinα<0且tanα>0，則α是(

)A．第一象限角

B．第二象限角C．第三象限角

D．第四象限角解析：由sinα<0，知α在第三、第四象限或α終邊在y軸的負(fù)半軸上，由tanα>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：C5．弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為________，面積為________．答案：4

6π

1.對(duì)任意角的理解

(1)“小于90°的角”不等同于“銳角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其實(shí)銳角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合為{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．

(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．2．三角函數(shù)定義的理解[例1]已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β；(2)因?yàn)镸＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：MN.1．利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．

2．已知角α的終邊位置，確定形如kα，π±α等形式的角終邊的方法：先表示角α的范圍，再寫出kα、π±α等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè)

D．4個(gè)(2)如果角α是第二象限角，則π－α角的終邊在第________象限．答案：(1)C

(2)一[例2]

(1)已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(t，t2＋1)(t>0)，則tanα的最小值為 (

)[答案]

(1)B

(2)D定義法求三角函數(shù)值的兩種情況

(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．

(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值．答案：（1）B（2）C[例3]

(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角．

(2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？若本例(1)中條件變?yōu)椋簣A弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________．1．在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．3．若扇形的面積為定值，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長取到最小值？[答案]－81.誤認(rèn)為點(diǎn)P在單位圓上，而直接利用三角函數(shù)定義，從而得出錯(cuò)誤結(jié)果.2.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)定義正確地求得x，y，r的值；然后對(duì)于含參數(shù)問題要注意分類討論.答案：C1．已知點(diǎn)P(sin

α－cos

α，tanα)在第一象限，則在[0,2π]內(nèi)，α的取值范圍是 (

)教師備選題（給有能