等差數(shù)列的概念（第2課時）教案- 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

.2.1等差數(shù)列的性質及其應用【學習目標】課程標準學科素養(yǎng)1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質2.能運用等差數(shù)列的性質解決有關問題1、數(shù)學抽象2、數(shù)學運算【自主學習】等差數(shù)列的性質(1)通項公式的推廣：(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，則；特別地，若,則.(3)等差數(shù)列的項的對稱性.在有窮等差數(shù)列中,與首、末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和,即a1+an=a2+=a3+=……

【思考】(1)等差數(shù)列的性質“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq”反過來成立嗎?(2)對于任意等差數(shù)列{an},a1+a3+a4=a2+a6是否成立?由等差數(shù)列衍生的新數(shù)列若{an},{bn}分別是公差為的等差數(shù)列,則有數(shù)列名稱{a2n},{a2n-1}公差為

的等差數(shù)列公差為

的等差數(shù)列(k,m∈N*){c+an}公差為

的等差數(shù)列(c為任意常數(shù)){can}公差為

的等差數(shù)列(c為任意常數(shù)){an+an+k}公差為

的等差數(shù)列{pan+qbn}公差為

'的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))【小試牛刀】1.在等差數(shù)列{an}中,若a2=1,a6=-1,則a4=()A.-1B.1C.0 D.-12.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=10,則(a4+a6)2-2a5=()A.100 B.90C.95D.203.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+a7=-8,a2=2,則數(shù)列{an}的公差d=.4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a1+a2+a3=3,a7+a8+a9=9,則a4+a5+a6=.【經典例題】題型一等差數(shù)列性質的應用例1(1)等差數(shù)列中，已知，，求（）A．11 B．22 C．33 D．44在等差數(shù)列{an}中,若a2與a4是方程x2-4x+3=0的兩根,則a1+a2+a3+a4+a5=.【跟蹤訓練】1(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,則m=.(2)如果等差數(shù)列{log2an}滿足log2a1+log2a2+…+log2a10=10,那么.題型二等差數(shù)列中對稱設項法的應用例2已知三個數(shù)組成等差數(shù)列,首、末兩項之積為中間項的5倍,后兩項的和為第一項的8倍,求這三個數(shù).【跟蹤訓練】2已知四個數(shù)組成遞增的等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首、末兩項的積為-8,求這四個數(shù).題型三等差數(shù)列的應用例3：課本P16例3：某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經驗表明，每經過一年其價值就會減少萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定的取值范圍.【當堂達標】1.在等差數(shù)列{an}中,若a4=2,a8=14,則a15=()A.32 B.-32 C.35 D.-352.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a5=15,a7=12,則a2=()A.3 B.-3 C.32 D.-數(shù)列{an}滿足的值是（）-2C.2D.4.我國古代有一道數(shù)學問題:今有金錘,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,中間三尺重幾何?意思是:現(xiàn)有一根金錘,長5尺,頭部1尺,質量為4斤,尾部1尺,質量為2斤,且從頭到尾,每一尺的質量構成等差數(shù)列(注:尺、斤為我國古代計量單位,1米=3尺,1千克=2斤),則中間三尺的質量一共為()A.6斤 B.7斤 C.8斤 D.9斤5.在等差數(shù)列{an}中,若a1,a1021為方程x2-10x+16=0的兩根,則a2+a511+a1020=.6.設公差為-2的等差數(shù)列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99=.7.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差為(1)若(2)若8.(拔高題)已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2，公差，在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)是不是數(shù)列{an}的項？若是，它是{an}的第幾項？若不是，說明理由.【參考答案】【小試牛刀】1、解析:因為2a4=a2+a6=1-1=0,所以a4=0.2、解析:因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以(a4+a6)2-2a5=102-10=90.3、解析:由等差數(shù)列的性質,知2a4=a1+a7=-8,所以a4=-4.又因為a4=a2+2d,a2=2,所以d=-3.4、解析:因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是等差數(shù)列,所以a4+a5+a6是a1+a2+a3與a7+a8+a9的等差中項,根據(jù)題中條件可得a4+a5+a6=6.【經典例題】【例1】（1）【答案】B【分析】根據(jù)，，利用等差數(shù)列的性質求得和的值，然后由求解.【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，，∴，，∴，故選：B.（2）解析:因為a2與a4是方程x2-4x+3=0的兩根,所以a2+a4=4=a1+a5=2a3,所以a1+a2+a3+a4+a5=10.【跟蹤訓練】1（1）解析:因為a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,所以m=8.(2)解析:因為{log2an}為等差數(shù)列,所以log2a1+log2a2+…+log2a10=5(log2a1+log2a10).因為log2a1+log2a2+…+log2a10=10,所以log2a1+log2a10=2,所以log2(a1a10)=2,所以a1a10=22=4.【例2】【跟蹤訓練】2解:設這四個數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d.依題意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又因為四個數(shù)組成遞增的等差數(shù)列,所以d>0,所以d=1,故所求的四個數(shù)分別為-2,0,2,4.【當堂達標】1、解析:由a8-a4=14-2=4d,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.解析:由數(shù)列的性質,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3.C4、解析:原問題等價于等差數(shù)列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.由等差數(shù)列的性質,可知a2+a4=a1+a5=6,a3=a1+a52=3,所以a2+a3答案:D5、解析:因為a1,a1021為方程x2-10x+16=0的兩根,所以a1+a1021=10.