桿的強(qiáng)度 穩(wěn)定計(jì)算

第三章桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定計(jì)算3.1軸向拉伸與壓縮的概念在工程中以拉伸或壓縮為主要變形的桿件，稱為：拉、壓桿若桿件所承受的外力或外力合力作用線與桿軸線重合的變形，稱為軸向拉伸或軸向壓縮。3.2軸向拉(壓)桿的內(nèi)力與軸力圖3.2.1拉壓桿的內(nèi)力

唯一內(nèi)力分量為軸力其作用線垂直于橫截面沿桿軸線并通過形心。通常規(guī)定：軸力使桿件受拉為正，受壓為負(fù)。

3.2.2軸力圖

用平行于軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，以此表示軸力與橫截面位置關(guān)系的幾何圖形，稱為軸力圖。作軸力圖時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、軸力圖的位置應(yīng)和桿件的位置相對(duì)應(yīng)。軸力的大小，按比例畫在坐標(biāo)上，并在圖上標(biāo)出代表點(diǎn)數(shù)值。

2、習(xí)慣上將正值（拉力）的軸力圖畫在坐標(biāo)的正向；負(fù)值（壓力）的軸力圖畫在坐標(biāo)的負(fù)向。例題3.1

一等直桿及受力情況如圖（a）所示，試作桿的軸力圖。如何調(diào)整外力，使桿上軸力分布得比較合理。解：1）求AB段軸力1–1截面：

2–2截面：

7.1扭轉(zhuǎn)的概念及外力偶矩的計(jì)算扭轉(zhuǎn)的概念

軸是以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿作用于垂直桿軸平面內(nèi)的力偶使桿引起的變形，稱扭轉(zhuǎn)變形。變形后桿件各橫截面之間繞桿軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，稱為扭轉(zhuǎn)角，用表示7.2

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力及扭矩圖7.2.1扭矩平衡條件

內(nèi)力偶矩T稱為扭矩

扭矩的單位：或扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：自截面的外法線向截面看，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)

扭矩圖常用與軸線平行的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面的扭矩，把計(jì)算結(jié)果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，負(fù)值扭矩畫在x軸下方。這種圖形稱為扭矩圖。3.1工程中梁彎曲的概念梁平面彎曲的概念

以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形或簡稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。

當(dāng)梁上所有外力均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，變形后的梁軸線也仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這種在變形后梁的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為平面彎曲。

梁的荷載：

（1）集中荷載即作用在梁上的橫向力（2）集中力偶即作用在通過梁的軸線的平面內(nèi)的外力偶。（3）分布荷載即沿全長或一段連續(xù)分布的橫向力3.2梁的內(nèi)力—剪力和彎矩3.2.1梁的-剪力和彎矩梁在外力作用下，其任一橫截面上的內(nèi)力可用截面法來確定?，F(xiàn)分析距A端為x處橫截面m-m上的內(nèi)力。如果取左段為研究對(duì)象，則右段梁對(duì)左段梁的作用以截開面上的內(nèi)力來代替。存在兩個(gè)內(nèi)力分量：內(nèi)力FQ與截面相切，稱為剪力，內(nèi)力偶矩M稱為彎矩，

9.2.2剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定即微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面上的剪力FQ為正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。當(dāng)微段的彎曲為向下凸即該微段的下側(cè)受拉時(shí)，橫截面上的彎矩為正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。

3.2.3計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩例題3-1

外伸梁受荷載作用，圖中截面1-l和2-2都無限接近于截面A，截面3-3和4-4也都無限接近于截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求約束反力2.求截面1-1的內(nèi)力3.求截面2-2的內(nèi)力4.求截面3-3的內(nèi)力5.求截面4-4的內(nèi)力比較截面1-1和2-2的內(nèi)力發(fā)現(xiàn)說在集中力的兩側(cè)截面剪力發(fā)生了突變，突變值等該集中力的值。比較截面3-3和4-4的內(nèi)力在集中力偶兩側(cè)橫截面上剪力相同，而彎矩突變值就等于集中力偶矩。梁的內(nèi)力計(jì)算的兩個(gè)規(guī)律：

（1）梁橫截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在與截面平行方向投影的代數(shù)和。即：若外力使選取研究對(duì)象繞所求截面產(chǎn)生順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢時(shí)，等式右邊取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。此規(guī)律可簡化記為“順轉(zhuǎn)剪力為正”，或“左上，右下剪力為正”。相反為負(fù)。（2）橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力對(duì)該截面形心O的力矩的代數(shù)和。即：

若外力或外力偶矩使所考慮的梁段產(chǎn)生向下凸的變形(即上部受壓，下部受拉)時(shí)，等式右方取正號(hào)，反之，取負(fù)號(hào)。此規(guī)律可簡化記為“下凸彎矩正”或“左順，右逆彎矩正”，相反為負(fù)。例題3.2

一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求出約束力反力2.求指定截面上的剪力和彎矩截面C：根據(jù)截面左側(cè)梁上的外力得：截面B左、B右：取右側(cè)梁計(jì)算，得：在集中力作用截面處，應(yīng)分左、右截面計(jì)算剪力；在集中力偶作用截面處，也應(yīng)分左、右截面計(jì)算彎矩。9.3

梁的內(nèi)力圖—剪力圖和彎矩圖3.3.1剪力方程和彎矩方程在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，

FQ=FQ(x)

M=M(x)梁的剪力方程梁的彎矩方程3.3.2剪力圖和彎矩圖

以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示FQ(x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱FQ圖和M圖。繪圖時(shí)一般規(guī)定正號(hào)的剪力畫在x軸的上側(cè)，負(fù)號(hào)的剪力畫在x軸的下側(cè)；正彎矩畫在x軸下側(cè)，負(fù)彎矩畫在x軸上側(cè)，即把彎矩畫在梁受拉的一側(cè)。例題3.3

圖所示，懸臂梁受集中力F作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖解：1.列剪力方程和彎矩方程

(0＜x＜l)

(0≤x＜l)2.作剪力圖和彎矩圖

由剪力圖和彎矩圖可知：例題3.4

簡支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力由對(duì)稱關(guān)系，可得：最大剪力發(fā)生在梁端，其值為FQ,max=2.列剪力方程和彎矩方程3.作剪應(yīng)力圖和彎矩圖最大彎矩發(fā)生在跨中，它的數(shù)值為Mmax例題3.5

簡支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪力方程和彎矩方程

（0<x<a）

(0≤x≤a)

AC段：CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力圖和彎矩圖例題3.6

簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力圖和彎矩圖CB段：

(a<x≤l)AC段：

(0≤x≤a)3.繪出剪力圖和彎矩圖

3.4.1分布荷載集度與剪力、彎矩(q與FQ、M)之間的微分關(guān)系3.4彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系微段的平衡，得剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)位置處的荷載集度；

彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。

二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可用來判定曲線的凹凸向，

若q(x)<0,彎矩圖為下凸曲線，若q(x)>0,彎矩為上凸曲線，彎矩圖的凹凸方向與q(x)指向一致.

9.4.2常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關(guān)系1.剪力圖與荷載的關(guān)系(1)在均布荷載作用的區(qū)段，當(dāng)x坐標(biāo)自左向右取時(shí)，若q(x)方向向下，則FQ圖為下斜直線；若q(x)方向向上，F(xiàn)Q圖為上斜直線。(2)無荷載作用區(qū)段，即q(x)=0，

FQ圖為平行x軸的直線。(3)在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數(shù)值等于該集中力的大小。(4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQ圖是連續(xù)無變化。2.彎矩圖與荷載的關(guān)系在均布荷載作用的區(qū)段，M圖為拋物線。(2)當(dāng)q(x)朝下時(shí)，M圖為上凹下凸。當(dāng)q(x)朝上時(shí)，M圖為上凸下凹。(3)在集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力向下，則M圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。(4)在集中力偶作用處，M圖產(chǎn)生突變，順時(shí)針方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。(2)當(dāng)FQ圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段的M圖為二次拋物線。當(dāng)FQ圖為平行于x軸的直線時(shí)，M圖為斜直線。3.彎矩圖與剪力圖的關(guān)系(3)剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、負(fù)號(hào)的截面，彎矩也具有極值。解：1.求約束反力例題3.7

簡支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。2.畫FQ圖各控制點(diǎn)處的FQ值如下：FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.畫M圖MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mM-D右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=0例題3.8

一外伸梁如圖示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的FQ、M圖。解：1.求約束力2.畫內(nèi)力圖(1)剪力圖ACB段：

FQA右=FQC=FQB左=－5kNFQ圖為一水平直線

BD段：FQ圖為右下斜直線。FQB右=4kN/m×2m=8kN，F(xiàn)QD=0作梁的剪力圖

(2)彎矩圖

AC段：FQ<0，故M圖為一右上斜直線MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m

CB段：

FQ<0,故M圖為一右上斜直線，在C處彎矩有突變。MC右=－5kN×2m+12kN.mMB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.mBD段：

段內(nèi)有向下均布荷載，M圖為下凸拋物線，MB