(參考答案)2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（3）：數(shù)列

(參考答案)2023高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（3）：數(shù)列高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題訓(xùn)練（3）數(shù)列★熱身訓(xùn)練(江蘇省常州高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題)“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的，第層的貨物的價(jià)格為______，若這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，則的值為______.答案:

6【解析】由題意可得第層的貨物的價(jià)格為，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可求出.【解析】解：由題意可得第n層的貨物的價(jià)格為，設(shè)這堆貨物總價(jià)是，①，則，②，由①?②可得，，∵這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，，故答案為：；.2.(江蘇省常州高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題)對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)M，同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：①對(duì)任意，都有成立；②存在，使得．則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若，，判斷數(shù)列和是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由；（5分）(2)若數(shù)列滿足，，求實(shí)數(shù)p的取值集合．（5分）答案：【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的定義依次判定數(shù)列、即可；(2)根據(jù)數(shù)列的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的增減性依次討論當(dāng)、、、時(shí)的情況.(1)不是數(shù)列，是數(shù)列.因?yàn)?N*)，所以，故不是數(shù)列；因?yàn)?N*)，所以，又，所以是數(shù)列；(2)若數(shù)列為數(shù)列，則對(duì)于成立，且，有.當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)最大，，又，則且；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以即在上恒成立，所以，有，此時(shí)最大，，又，故不存在滿足題意的，舍去；當(dāng)時(shí)，，由上述分析知，，結(jié)合，故不存在滿足題意的，舍去；當(dāng)時(shí)，，則，所以，此時(shí)最大，，，又，故且.綜上，實(shí)數(shù)p的取值集合為或,.3.(2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高三階段聯(lián)考)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和★高考引領(lǐng)★難點(diǎn)突破：數(shù)列（一）1.（江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)等三校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的最小值為A．1 B． C．3 D．4答案：B2.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在數(shù)列{an}中，sin(an＋1－an)sin(an＋1＋an)＝eq\f(1,10)，則該數(shù)列項(xiàng)數(shù)的最大值為A．9B．10C．11D．123.（江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三)數(shù)學(xué)試題）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中，且從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則斐波那契數(shù)列中，A. B. C. D..【答案】D【解析】，選D.4.（江蘇省泰興中學(xué)、南菁高級(jí)中學(xué)、常州市第一中學(xué)三校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題）（多選題）在數(shù)列eq{a\s\do(n)}中，已知a1，a2，…，a10是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差為dn的等差數(shù)列，其中n∈N*，則下列說(shuō)法正確的是（

）ACDA．當(dāng)d＝1時(shí)，a20＝20B．若a30＝70，則d＝2C．若a1＋a2＋…＋a20＝320，則d＝3D．當(dāng)0＜d＜1時(shí)，a10(n＋1)＜eq\f(10,1－d)5.(鹽城市2022-2023高三年級(jí)第一學(xué)期12月初調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷)（多選題）【答案】CD解：A：32n?32(n?1)=B：an?an?1=(C：由題{an}是等差數(shù)列，且an=a1+(n?1)p，

所以an=[a1+(n?1)p]2，

所以akn=[D：由題意，an?an?1=p且an?an?1=m，m為常數(shù)，

則m=p(an+an?1)，

所以m,p≠0時(shí)an+a故選：CD6.（江蘇省南師附中、天一中學(xué)、海安中學(xué)、海門中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)f(x)的定義域R，f(0)≠0，f(1)＝eq\r(,2)，且f(x＋y)＝f(x)f(y)，若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，則f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝．【答案】1023【解析】f(x＋y)＝f(x)f(y)，令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝1，令y＝1得到feq(x＋1)＝\r(,2)f(x),即eqf(x＋2)＝\r(,2)f(x＋1)＝2f(x),所以f(eqx＋4)＝2\s\up6(2)f(x),f(x＋6)＝2\s\up6(3)f(x)，…，因此eqf(a\s\do(1))＋…＋f(a\s\do(10))＝f(0)＋f(2)＋…＋f(18)＝1＋2＋…＋2\s\up6(9)＝1023．7.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）我們利用“錯(cuò)位相減”的方法可求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可利用該法求數(shù)列{(2n－1)3n}的前n項(xiàng)和Sn，其操作步驟如下：由于Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－1)3n，3Sn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)3EQ\S\UP6(n＋1)，從而2Sn＝－3－(2×32＋…＋2×3n)＋(2n－1)3EQ\S\UP6(n＋1)，所以Sn＝(n－1)3EQ\S\UP6(n＋1)＋3，始比如上方法可求數(shù)列{n23n}的前n項(xiàng)和Tn，則2Tn＋3＝．8.(江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)等三校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)已知等比數(shù)列的公比，且，則使成立的正整數(shù)的最大值為▲.答案：49.（全國(guó)大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列的通項(xiàng)為，且數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】化簡(jiǎn)得，采用疊加法求得，則原不等式等價(jià)于，分為奇偶分離參數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可求的取值范圍.【詳解】∵，∴，∵，∴．當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，，令，易知單減，故，∴；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，，令，易知單增，故，∴．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：

10.（全國(guó)大聯(lián)考2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，若，求的值．【答案】（1）（2）25【分析】（1）根據(jù)遞推公式得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，最后再合并即可；（2）根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，所以，∴的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列且公差均為2．∵，則，∴對(duì),，所以n為奇數(shù)時(shí)，，對(duì),，所以n為偶數(shù)時(shí)，，綜上可知，，．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，∴，解得．11.（江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(三)數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，為其數(shù)列的項(xiàng)積，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為其前項(xiàng)和，求滿足不等式的最小的正整數(shù).【解析】（1）∵為前項(xiàng)積，且而，，∴時(shí)上式也成立∴成首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴.（2），∴由∴，∴最小的正整數(shù).12.（江蘇省蘇州中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月G4聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）在數(shù)列{an}中，a＝1，其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＝(n＋1)an，n∈N*．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)若m為正整數(shù)，記集合{an|EQ\F(a\S\DO(n),2)＋EQ\F(2,a\S\DO(n))≤m}的元素個(gè)數(shù)為bm，求數(shù)列{bm}的前20項(xiàng)和．

13,（江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)等三校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，；數(shù)列的首項(xiàng)，且對(duì)任意正整數(shù)，恒有.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

14.(鹽城市2022-2023高三年級(jí)第一學(xué)期12月初調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷)解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，

由a4是a2和a8的等比中項(xiàng)，得a42=a2a8，即(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，

解得d=1．

∴an=1+1×(n?1)=n；

(2)保持?jǐn)?shù)列{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak+1(k=1,2,…)之間插入2k，

則新數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)為：

1，21，2，22，3，23，4，215.(鹽城市2022-2023高三年級(jí)第一學(xué)期12月初調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷)

(1)證明：an+1=4an因?yàn)閍1+2=4，故數(shù)列an因此，an+2(2)解：b=3×所以，T=3因此，Tn16.(湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，平方后求出，再利用可表示出，從而可得數(shù)列的公差為，從而可表示出，然后可求出為常數(shù)，（2）由（1），，則，化簡(jiǎn)后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)數(shù)列的公差為，則，，所以所以.所以所以的公差為，因?yàn)樗?，即，所以，所以為常?shù)，所以數(shù)列為常數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1），，對(duì)也成立，因?yàn)椋?，所?所以.★難點(diǎn)突破：數(shù)列（二）1.（2023屆12月?三年級(jí)蘇州?校聯(lián)盟第?次適應(yīng)性檢測(cè)）答案：2.（浙江省寧波市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垜與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則__________．【答案】【分析】由累加法即可求得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由題可知：，即有，所以，當(dāng)n=1成立所以，所以.故答案為：3.（湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列滿足：我們稱其為n項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于8．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________．答案：或4.（2023屆12月?三年級(jí)蘇州?校聯(lián)盟第?次適應(yīng)性檢測(cè)）5.（浙江省衢州市普通高中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的