2023年教師資格《初中數(shù)學學科知識與能力》模擬真題一

2023年教師資格《初中數(shù)學學科知識與能力》模擬真題一1[單選題]與向量a=(2，3，1)垂（江南博哥）直的平面是()。A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x—y+z=3正確答案：C參考解析：本題考查空間解析幾何中平面的法向量的相關知識。平面的法向量是垂直于平面的非零向量。在空間直角坐標系中，平面Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不同時為零)的一個法向量為n=(A，B，C)。本題中，向量a=(2，3，1)為平面2x+3y+z=3的法向量，故垂直于平面2x+3y+z=3。故本題選C。2[單選題]設函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且則()。A.f(0)=1且f'(0)=2B.f(0)=0且f'(0)=2C.f(0)=1且f'+(x)=2D.f(0)=0且f'+(0)=2正確答案：D參考解析：

t=x2)。3[單選題]常數(shù)α>0，則級數(shù)的斂散性為()。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.收斂性與α的取值有關正確答案：C參考解析：

4[單選題]設區(qū)域D={(X，Y)|X2+y2≤4}A.8πB.2πC.16πD.4π正確答案：D參考解析：根據(jù)二重積分的意義，被積函數(shù)為1時表示積分區(qū)域的面積，所以。5[單選題]已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線為，mx-y=0，若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一個值，使得雙曲線的離心率大于3的概率是()A.B.C.D.正確答案：C參考解析：

6[單選題]設A是3階不可逆矩陣，E是3階單位矩陣。若齊次線性方程組(A一3E)x=0的基礎解系由兩個線性無關的解向量構成，則行列式|A+E|=()A.16B.8C.4D.2正確答案：A參考解析：因為A為3階不可逆矩陣，所以|A|=0，且0必是A的特征值。又齊次線性方程組(A一3E)x=0的基礎解系由兩個線性無關的解向量構成，則矩陣A-3E有兩個相同的特征值0，即A有二重特征值3。故3階矩陣A的三個特征值分別為0，3和3，矩陣A+E的三個特征值分別為1，4和4，從而行列式|A+E|=1·4·4=16。7[單選題]依據(jù)22-1=3，23-1=7，25-1=31，27-1=127，得出結論：當P為素數(shù)(質數(shù))時，2p-1也是素數(shù)。這里運用的是()。A.歸納推理B.類比推理C.演繹推理D.合情推理同時也是演繹推理正確答案：A參考解析：推理分為合情推理和演繹推理，演繹推理是思維進程中從一般到特殊的推理，這種推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，有三段論、關系推理等推理模式；合情推理是一種合乎情理的、似以為真的推理，合情推理包括歸納推理和類比推理，歸納推理是由個別事實概括出一般結論的推理，是由部分到整體、個別到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理。本題中，是通過歸納推理得出結論，沒有進行嚴謹?shù)淖C明，故該推理過程運用了合情推理中的歸納推理，沒有運用演繹推理。故本題選A。8[單選題]“對知識的含義有感性的、初步的認識，能夠說出這一知識是什么，能夠在有關問題中識別它”，這個教學要求所屬的層次是()A.了解B.理解C.掌握D.靈活運用正確答案：A參考解析：了解的同類詞有“知道”“初步認識”等。9[簡答題]求由曲面z=x2+2y2及z=6—2x2一y2所圍成的立體的體積。參考解析：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x-y2所圍成的立體的體積。

曲面Ω是由z=+2y及2x+y=6-z圍成，消掉z得x2+2y2=6-2x-y2，所以可得投影區(qū)域D：x2+y2≤2，則圍成的立體圖形

10[簡答題]設實對稱矩陣求正交矩陣Q，使得QTAQ為對角矩陣。參考解析：

11[簡答題]一項“過關游戲”規(guī)定：在第n關拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于2n，則算過關。(假設骰子是各面上分別標有1，2，3，4，5，6的均勻正方體，拋擲骰子落地靜止后，向上的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù))

(1)某人在這項游戲中最多能過幾關?(3分)

(2)連過前三關的概率是多少?(4分)參考解析：12[簡答題]求曲面z-e^z+2xy=3在點(1，2，0)處的切平面及法線方程。參考解析：

13[簡答題]《義務教育數(shù)學課程標準》（2022年版）提出的課程總目標是從哪幾個方面進行闡述的？說說這幾方面的關系。參考解析：《義務教育數(shù)學課程標準》(2022年版)提出的課程總目標是從三個方面具體闡述的，即：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生逐步會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界(簡稱“三會”)。學生能:(1)獲得適應未來生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。

(2)體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題。

(3)對數(shù)學具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學的價值，欣賞數(shù)學美，提高學習數(shù)學的興趣，建立學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神。14[簡答題]設R2為二維歐氏平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在-個實數(shù)ρ，O<ρ<1，使得對于任意的P，Q∈R2，有d(F(P)，F(xiàn)(Q))≤ρd(P，Q)(其中d(P，Q)表示P，Q兩點間的距離)，則稱F是壓縮映射。

設映射T：R2→R2

(1)證明：映射T是壓縮映射。(4分)

(2)設P0=P0(x0，y0)為R2中任意-點，令Pn=T(Pn-1)，n=1，2，3，…，求(6分)參考解析：

15[簡答題]“抽象與具體相結合”是數(shù)學教學原則中的內容。

(1)怎樣理解數(shù)學的抽象性與具體性；

(2)在中學數(shù)學教學中如何做到抽象與具體相結合。參考解析：(1)抽象是指在認識上把事物的規(guī)定、屬性、關系從原來有機聯(lián)系的整體中孤立地抽取出來；具體是指尚未經(jīng)過這種抽象的感性對象。數(shù)學是以現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系作為研究對象的，它拋開了對象的具體內容，具有高度的抽象性。數(shù)學廣泛而系統(tǒng)地使用了數(shù)學符號，具有字詞、詞義、符號三位一體的特性。數(shù)學的抽象性必須以具體素材為基礎，更以廣泛的具體性為歸宿。

(2)在中學數(shù)學教學中，要做到抽象與具體相結合。第一，要著重培養(yǎng)學生的抽象思維能力。所謂抽象思維能力，是指脫離具體形象，運用概念、判斷、推理等進行思維的能力。按抽象思維不同的程度，可分為經(jīng)驗型抽象思維和理論型抽象思維。在教學中，我們應著重發(fā)展理論型抽象思維，因為只有理論型抽象思維得到充分發(fā)展的人，才能很好地分析和綜合各種事物，才有能力去解決問題。第二，要培養(yǎng)學生的觀察能力，提高學生的抽象、概括能力。在教學中，可通過實物教具，利用數(shù)形結合，以形代數(shù)等手段，貫徹抽象與具體相結合的原則。例如，講二次函數(shù)有關性質時，可先畫出圖像，再觀察圖像抽象出有關性質。16[簡答題]以下為某教師在進行“一元一次不等式組”教學中設計的相關教學活動：

出示例題：小寶和爸爸、媽媽三人在操場上玩蹺蹺板，爸爸體重為72千克，坐在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在另一端。這時，爸爸的一端仍然著地，后來小寶借來一副質量為6千克的啞鈴，加在他和媽媽坐的一端，結果，爸爸被高高地蹺起。猜猜看，小寶的體重約多少千克?

教師問學生：“你們玩過蹺蹺板嗎?先看看題，一會兒請同學復述一下?！睂W生復述后，基本已經(jīng)熟悉了題目。接著教師讓學生思考：他們三人坐了幾次蹺蹺板?第一次坐時情況怎樣?第二次呢?

學生議論了一會兒，自主發(fā)言，很快發(fā)現(xiàn)本題中存在的兩種文字形式的不等關系：

爸爸體重>小寶體重+媽媽體重

爸爸體重<小寶體重+媽媽體重+一副啞鈴重量

教師順勢引導：你還能怎么判斷小寶體重?學生安靜了幾分鐘后，開始議論。一學生舉手：“可以列不等式組?！苯處熃o出提示：“小寶的體重應該同時滿足上述的兩個條件。怎么把這個意思表達成數(shù)學式子呢?”這時學生們七嘴八舌地討論起來，都搶著回答，該教師注意到一位平時不愛說話的學生緊鎖眉頭，便讓他發(fā)言：“可以設小寶的體重為x千克，能列出兩個不等式?？墒墙酉聛砦揖筒恢懒??！苯處熉犃诵闹幸粍樱庾R到這應是思想滲透的好機會，便解釋說：“我們在初中遇到的許多問題都可以用類似的方法來研究解決，比方說前面列方程組……”不等教師說完，學生都齊聲答：“列不等式組?！比?2個小組都積極投入到解題活動中了。5分鐘后，教師請學生板演，自己下去巡查、指導，發(fā)現(xiàn)學生的解題思路都很清楚，只是部分學生對答案的表達不夠準確。于是提議學生說說列不等式組解應用題分幾步，應注意什么。此時學生也基本上形成了對建立不等式組解題方法的完整認識。

問題：

(1)請結合《義務教育數(shù)學課程標準》簡要分析該教師的教學過程；(8分)

(2)本節(jié)課所蘊含的數(shù)學思想方法包括什么?(6分)

(3)請設置一道開放題檢測學生對本節(jié)知識的掌握情況。(6分)參考解析：(1)《義務教育數(shù)學課程標準》要求，讓學生在實際背景中理解問題涉及的基本數(shù)量關系和變化規(guī)律，注重使學生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程。在實際：亡作中讓學生學會從具體問題情境中抽象出數(shù)學問題，使用各種數(shù)學語言表達問題，建立數(shù)學關系式，獲得合理的解答，理解并掌握相應的數(shù)學知識與技能，多數(shù)教師雖然注意到了這些，但要做好，仍有一定難度在教學過程中，該教師在課堂教學中設置了幾個臺階，這也正好符合了循序漸進的教學原則。例題貼近學生實際，在教學中又采用了更親近的教學語言，有利于激發(fā)學生的探究欲望。關注學生的學習狀態(tài)，隨時采取靈活適宜的教學方法，師生互動，生生互動，課堂教學才更加有效。學生在學習后，確實感受到“不等式的方法”就像“方程的方法”一樣是從字母表示數(shù)開始研究解決的。這種方法可以幫助學生用數(shù)學的方式解決實際問題。

(2)化歸思想，類比思想。

(3)問題：一次考試共25道選擇題，做對一道得4分，做錯一道減2分，不做得0分。若小明想確?？荚嚦煽冊?0分以上，那么他至少要做對多少題?17[簡答題]在學習了三個“三角形相似的判定定理”后，某教師設計了一節(jié)習題課的教學目標：

①進一步鞏固“三角形相似的判定定理”，并學會靈活應用；

②在解決問題的過程中，學生能感受到圖形運動變化的思想，能用運動變化的觀點看問題，感受數(shù)形結合思想、分類討論思想等數(shù)學思想；

③學會從題設或結論出發(fā)尋求論證思路的分析方法，提高分析問題、解決問題的能力。

他的教學設計中包含了這樣的一道例題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B，C，且AB=8，

DC=6．BC=14。

問題一：BC上是否存在一點P使△ABP與△DCP相似。

問題二：若有這樣的點P存在，點P的位置有幾個?并求出此時BP的長。

針對上述材料，完成下列任務：

(1)結合該教師的教學目標，分析該例題的設計意圖；(10分)

(2)設計例題的簡要教學流程，并給出解題后的小結提綱；(12分)

(3)類比題干例題中的問題二，設計一個例題，使之符合教學目標②的要求。(8分)參考解析：(1)該例題的設計意圖如下：解決這道題目需要學生利用三角形相似的判定定理得到兩個三角形的對邊成相同比例，進而得知點P的位置。因此，在練習過程中，加深學生對三角形相似判定定理的理解，從而使學生靈活掌握基礎基礎知識，提高解決問題的能力，順利達成教學目標①和③。

問題一可以鼓勵學生與周圍同學進行討論，理解三角形全等與三角形相似的區(qū)別與聯(lián)系，發(fā)散思維，開拓思路。

問題二可以一題多解，既鍛煉學生的發(fā)散思維，又能加深其對三角形相似的判定定理的理解，進而熟練運用，最終達成教學目標②。

(2)多媒體展示題目和問題，學生進行思考、作答。如果學生順利作答，將課堂放手交還給學生，如果學生遇到了一定的困難?？梢越M織學生進行討論，或者教師通過問題進行啟發(fā)引導，降低題目的難度。

對于問題一可以提出問題：若這樣的點P存在，你能確定點P的位置嗎?

對于問題二可以提出問題：①全等的三角形是相似三角形嗎?②根據(jù)題干和圖形，還可以得到哪兩組對應邊成比例