《復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算》設(shè)計(jì)

《復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算．2．理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律．【教學(xué)重點(diǎn)】掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算．【教學(xué)難點(diǎn)】掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】新知初探1．復(fù)數(shù)的乘法法則(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是否完全相同？[提示]復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法雖然類似的，但有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝z2·z1結(jié)合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3思考2：|z|2＝z2，正確嗎？[提示]不正確．例如，|-i|2＝1，而＝－1.2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)小試牛刀1.若復(fù)數(shù)z1＝1-i，z2＝3+i，則z1·z2＝()A．4-2iB．2＋iC．2＋2iD．3iA[z1·z2＝(1－i)·(3+i)＝3＋1＋(－3+1)i＝4－2i.]()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i3.已知復(fù)數(shù)，eq\o(z,\s\up10(－))是z的共軛復(fù)數(shù)，則eq\o(z,\s\up10(－))的模等于()A．4B．2C．1\f(1,4)C[|eq\o(z,\s\up10(－))|＝|z|＝]4.若a為實(shí)數(shù)，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i,則a＝2[eq\f(2＋ai,1＋i)＝eq\f(2＋ai1－i,1＋i1－i)＝eq\f(a＋2,2)＋eq\f(a－2,2)i＝3＋i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)＝3，,\f(a－2,2)＝1，))解得a＝4]例題講解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【例1】(1)若復(fù)數(shù)(1+2i)(a－i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是⑵計(jì)算下列各題①(1－i)2；②(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；③(2－i)(－1＋5i)(3－4i)(1)[z＝(1+2i)(a-i)＝(a＋2)＋(2a-1)i，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以解得.](2)①(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i；②(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.③(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＝(3＋11i)(3－4i)＝9－12i＋33i－44i2＝53＋21i.方法總結(jié)1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)式乘法的一般方法首先按多項(xiàng)式的乘法展開；再將i2換成－1；然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.當(dāng)堂練習(xí)(1)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)(2)復(fù)數(shù)z＝(1-2i)(3+i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是．(1)C(2)-5[(1)A項(xiàng)，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是純虛數(shù)．B項(xiàng)，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)．C項(xiàng)，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)．D項(xiàng)，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C.(2)(1－2i)(3+i)＝3+i－6i－2i2＝5－5i，所以z的虛部是－5.]復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算[例2](1)設(shè)z＝eq\f(10i,3＋i)，則z的共軛復(fù)數(shù)為()A．－1＋3iB．－1－3iC．1＋3iD．1－3i(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i是虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i⑴D⑵A⑴[因?yàn)閦＝eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(30i－10i2,10)＝1＋3i，所以eq\o(z,\s\up10(－))＝1－3i，故選D.]⑵[∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.故選A]方法總結(jié)1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟(1)首先將除式寫為分式；(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式(1)eq\f(1,i)＝－i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i.當(dāng)堂練習(xí)2(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，則復(fù)數(shù)eq\f(z1,z2)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)計(jì)算：(1)B[由復(fù)數(shù)的幾何意義知，z1＝－2－i，z2＝i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－i,i)＝－1＋2i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．](2)解：實(shí)系數(shù)方程的根例3.已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根(b，c為實(shí)數(shù))．(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是否是方程的根．思路點(diǎn)撥：(1)由1＋i是方程的根，代入方程．(2)利用復(fù)數(shù)相等求值．【解析】(1)因?yàn)?＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2.(2)方程化為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，顯然方程成立，∴1－i也是方程的一個(gè)根.與復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程有關(guān)的問(wèn)題，一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化進(jìn)行求解．根與系數(shù)的關(guān)系仍適用，但根的判別式“Δ”不再適用．當(dāng)堂練習(xí)3設(shè)關(guān)于x的方程x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0有實(shí)數(shù)根，若θ是一個(gè)三角形的內(nèi)角，則θ的值為________．eq\f(π,4)[根據(jù)題意x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0(x∈R)，∴(x2－xtanθ－2)＋(－x－1)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－xtanθ－2＝0，,－x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,tanθ＝1.))∵θ為三角形內(nèi)角，∴θ＝eq\f(π,4).]課堂小結(jié)1．由比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算給出的復(fù)數(shù)，求其共軛復(fù)數(shù)，可先按復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，將復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形