初中數(shù)學(xué)特殊平行四邊形的證明及詳細(xì)答案

/32.?.△EFA竺AACE(AAS),.?.ZAEC=ZEAF.?.AF〃CE四邊形ACEF是平行四邊形;(2)當(dāng)ZB=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形?證明如下:VZB=30°,ZACB=90°.\Z1=Z2=60°.?.ZAEC=60。.?.AC=EC點(diǎn)評(píng)：本題綜合利用了中垂線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形和判定和性質(zhì)、菱形的判定求解，有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練?涉及的知識(shí)點(diǎn)有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.（2015福建模擬）已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使得EF=BE，連接CF.求證：四邊形BCFE是菱形.考點(diǎn)：菱形的判定.專題：證明題.分析：由題意易得，EF與BC平行且相等，四邊形BCFE是平行四邊形?又EF=BE，.四邊形BCFE是菱形.解答：解：?.?BE=2DE,EF=BE，.?.EF=2DE.（1分）YD、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，.?.BC=2DE且DE〃BC.（2分）.?.EF=BC.（3分）又EF〃BC,四邊形BCFE是平行四邊形.（4分）又EF=BE,四邊形BCFE是菱形.（5分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的判定，綜合利用了平行四邊形的性質(zhì)和判定.3.（2015深圳一模）如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,AC平分ZBAD,CE〃AD交AB于E.（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷厶ABC的形狀，并說(shuō)明理由.考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì).專題：幾何圖形問(wèn)題.分析：（1）利用兩組對(duì)邊平行可得該四邊形是平行四邊形，進(jìn)而證明一組鄰邊相等可得該四邊形為菱形；（2）利用菱形的鄰邊相等的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得兩組角相等，進(jìn)而證明ZACB為直角即可.解答：解：（1）TAB〃CD,CE〃AD,???四邊形AECD為平行四邊形，Z2=Z3,又VAC平分ZBAD,Z1=Z2,Z1=Z3,AD=DC,四邊形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由：VAE=ECZ2=Z4,VAE=EB,EB=EC,Z5=ZB,又因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°,.?.Z2+Z4+Z5+ZB=180。，.?.ZACB=Z4+Z5=90。，△ACB為直角三角形.點(diǎn)評(píng)：考查菱形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；菱形的4條邊都相等.4.(2015?濟(jì)南模擬)如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn).求證：EB=EC.廿匚考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：利用矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△ABE竺ADCE(SAS)，即可得出答案.解答：證明：：?四邊形ABCD是矩形，.\AB=DC,ZA=ZD=90°,??點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，.?.AE=ED,在厶ABE和厶DCE中，rAB=DCZA=ZD，lAE=DE..△ABE^ADCE(SAS)，.?.EB=EC.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，得出△ABE^^DCE是解題關(guān)鍵.5.(2015?臨淄區(qū)校級(jí)模擬)如圖所示，在矩形ABCD中，DE丄AC于點(diǎn)E,設(shè)ZADE=a，且3cosa〒，AB=4，則AC的長(zhǎng)為多少？5考點(diǎn)：矩形的性質(zhì).分析：根據(jù)等角的余角相等，得ZBAC=ZADE=a；根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可求AC的長(zhǎng).解答：解：??四邊形ABCD是矩形，.?.ZABC=90。，AD〃BC,.\ZEAD=ZACB，??在△ABC與氐A(chǔ)ED中，?DE丄AC于E,ZABC=90°AZBAC=ZADE=a.cosZBAC=cosa=?AC==!匚旳NEAL齊點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了銳角三角函數(shù)的知識(shí)、勾股定理、矩形的性質(zhì).6.(2015春?宿城區(qū)校級(jí)月考)如圖，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,BE〃AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD=BE.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD，對(duì)邊平行可得AB〃CD，再求出四邊形ABEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AC=BE，從而得證.解答：證明：：?四邊形ABCD是矩形，AC=BD，AB〃CD,又?BE〃AC,四邊形ABEC是平行四邊形，AC=BE，BD=BE.點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出四邊形ABEC是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.7.(2014?雅安)如圖：在ABCD中，AC為其對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線與BC的延長(zhǎng)線交于E.求證：AABC竺ADCE；若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形.考點(diǎn)：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).專題：證明題.分析：(1)利用AAS判定兩三角形全等即可；(2)首先證得四邊形ACED為平行四邊形，然后證得AC=AD，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可.解答：證明：(1)T四邊形ABCD為平行四邊形,.?.AB〃CD,AB=CD,.?.ZB=Z1,又?.?DE〃AC.?.Z2=ZE,在厶ABC與厶DCE中，rAB=CD〈Z2=ZE,lZB=Z1..△abc^adce；(2)V平行四邊形ABCD中，.?.AD〃BC,即AD〃CE,由DE〃AC,.?.ACED為平行四邊形，VAC=BC,.\ZB=ZCAB,由AB〃CD,.\ZCAB=ZACD,又VZB=ZADC,.\ZADC=ZACD,.?.AC=AD,四邊形ACED為菱形.衛(wèi)D2\/l點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定定理，難度不大.8.(2014貴陽(yáng))如圖，在RtAABC中，ZACB=9O。，D、E分別為AB,AC邊上的中點(diǎn)，連接。已，將厶ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，連接AF,AC.求證：四邊形ADCF是菱形；若BC=8,AC=6,求四邊形ABCF的周長(zhǎng).考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE=CE,DE=EF，可判定四邊形ADCF是平行四邊形，然后證明DF丄AC,可得四邊形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)定義可得AD=5，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AF=FC=AD=5，進(jìn)而可得答案.解答：（1）證明：：?將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，.?.AE=CE,DE=EF,四邊形ADCF是平行四邊形，?.?D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，.DE是厶ABC的中位線，.?.DE〃BC,VZACB=90°，.?.ZAED=90。，.?.DF丄AC,四邊形ADCF是菱形；（2）解：在RtAABC中，BC=8,AC=6,.?.AB=10,?D是AB邊上的中點(diǎn)，.?.AD=5,??四邊形ADCF是菱形，.?.AF=FC=AD=5,???四邊形ABCF的周長(zhǎng)為8+10+5+5=28.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.9.（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是CD中點(diǎn),連結(jié)OE.過(guò)點(diǎn)C作CF〃BD交線段OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)DF?求證：(1)△ODE^^FCE；考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.專題：證明題.分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得ZODE=ZFCE,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE,然后利用“角邊角”證明△ODE和厶FCE全等；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OD=FC,再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OC=OD,然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.解答：證明：（1）TCF〃BD,/.ZODE=ZFCE,VE是CD中點(diǎn)，.?.CE=DE,在厶O(píng)DE和厶FCE中，'Z0DE=ZFCE“CE=DE,;Zdeo=Zcef.△ODE竺AFCE(ASA)；(2)MODE竺AFCE,.?.OD=FC,?.?CF〃BD,四邊形ODFC是平行四邊形，在矩形ABCD中,OC=OD,四邊形ODFC是菱形.點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，熟記各性質(zhì)與平行四邊形和菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵.10.(2014?寧德)如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AC,DE,AC=AB,DE〃AB.求證：四邊形AECD是矩形.考點(diǎn)：矩形的判定.專題：證明題.分析：先判斷四邊形AECD為平行四邊形，然后由ZAEC=90°即可判斷出四邊形AECD是矩形.解答：證明：TAD/BC,DE〃AB,???四邊形ABED是平行四邊形..?.AD=BE.?.?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，.EC=BE=AD.四邊形AECD是平行四邊形.?AB=AC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，.?.AE丄BC，即ZAEC=90°.AECD是矩形.點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形和矩形的判定，難度適中，解題關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定定理.11.(2014?欽州)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF?求證:CE=DF.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD,ZB=ZBCD=90。，然后求出BE=CF，再利用“邊角邊”證明厶BCE和厶CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.解答：證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD,ZB=ZBCD=90°,VAE=BF,.?.AB-AE=BC-BF，即BE=CF，在厶BCE和厶CDF中，'EC二CD〈ZB=ZBCD=90°，、BE=CF.△BCE竺ACDF(SAS),.?.CE=DF.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.12.(2014?貴港)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CE=CD,過(guò)點(diǎn)E作EF丄AC交AD于點(diǎn)F,連接BE.求證：DF=AE；當(dāng)AB=2時(shí)，求BE2的值.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理.分析：(1)連接CF,根據(jù)“HL”證明RtACDF和RtACEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=EF，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得ZEAF=45°,求出△AEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EF，然后等量代換即可得證；(2)根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的I2倍求出AC,然后求出AE,過(guò)點(diǎn)E作EH丄ABV2于H,判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE,再求出BH,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.解答：(1)證明：如圖，連接CF,在RtACDF和RtACEF中，rCF=CF1CE=CD，.?.RtACDF竺RtACEF(HL),.?.DF=EF,VAC是正方形ABCD的對(duì)角線，.?.ZEAF=45。，AEF是等腰直角三角形，.?.AE=EF,.?.DF=AE；(2)解：_VAB=2，.?.ac=，2ab=2一2,VCE=CD，.?.AE=2l龍-2,過(guò)點(diǎn)E作EH丄AB于H,則厶AEH是等腰直磚角形，.?.EH=AH=AE=x(2P-2)=2-一2,22.?.BH=2-(2-妊)血,在RtABEH中，BE2=BH2+EH2=('.：2)2+(2-l'2)2=8-4'2.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.13.(2014吳中區(qū)一模)已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，ZBAF=ZDAE.求證：AE=AF；若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求證：△AEF為等邊三角形.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定.專題：證明題.分析：（1）首先利用菱形的性質(zhì)得出AB=AD,ZB=ZD，進(jìn)而得出△ABE竺AADF（ASA）,即可得出答案；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出△ABC和厶ACD都是等邊三角形，進(jìn)而得出ZEAF=ZCAE+ZCAF=60。，求出△AEF為等邊三角形.解答：（1）證明：：?四邊形ABCD是菱形，.\AB=AD,ZB=ZD,又VZBAF=ZDAE，.\ZBAE=ZDAF，在厶ABE和厶ADF中，rZB=ZDAB二AD，lZBAE=ZDAF.?.△ABE竺AADF（ASA），.?.AE=AF；（2）解：連接AC，VAE垂直平分BC，AF垂直平分CD，?:AB=AC=AD，VAB=BC=CD=DA，.△ABC和厶ACD都是等邊三角形，.\ZCAE=ZBAE=30°，ZCAF=ZDAF=30°，.\ZEAF=ZCAE+ZCAF=60°，又VAE=AF，.△AEF是等邊三角形.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.14.（2014新鄉(xiāng)一模）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖的風(fēng)箏，其中，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，點(diǎn)C在AF上，點(diǎn)E，G分別在BC，CD上，若ZBAD=135°,ZEAG=75。，AE=1OOcm,求菱形ABCD的邊長(zhǎng).

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì).分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出ZBAE=30°,ZB=45。，過(guò)點(diǎn)E作EM丄AB于點(diǎn)M,設(shè)EM=x，則可得出AB、AE的長(zhǎng)度，繼而可得出詈的值，求出AB即可.AE解答：解：?.?ZBAD=135°,ZEAG=75。，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，.\ZB=180°-ZBAD=45°，ZBAE=ZBAC-ZEAC=30。，過(guò)點(diǎn)E作EM丄AB于點(diǎn)M,設(shè)EM=x，_在RtAAEM中，AE=2EM=2x,AM=l3x，在RtABEM中，BM=x,則塑_酬+冊(cè)_近+1則伍=AE=戈，_°.°AE=100cm,.°.AB=50（■遼+1）cm,???菱形ABCD的邊長(zhǎng)為：50（匚3+1）cm.點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角.15.（2014槐蔭區(qū)三模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,ZD=120°.求對(duì)角線AC的長(zhǎng).考點(diǎn)：菱形的性質(zhì).分析：連接BD與AC交于點(diǎn)O,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AD,AC=2AO,ZADB^ZADC,AC丄BD,然后判斷出△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AO,再根據(jù)AC=2AO計(jì)算即可得解.解答：解：如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O,?.?四邊形ABCD是菱形，?AB=AD,AC=2AO,ZADB=i：ZADC,AC丄BD,ZADB=60°,△ABD是等邊三角形,.?AO=ADxsin.?AO=ADxsinZADB?AC=2AO=-3.點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵.16.(2014?歷城區(qū)一模)如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為6cm、8cm,AE丄BC考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理.分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出CO、BO,再利用勾股定理列式求出BC,然后利用菱形的面積等于底乘以高和對(duì)角線乘積的一半列出方程求解即可.解答：解：：?四邊形ABCD是菱形,C=3cm,BO^^BD=4cm,AOC=3cm,BO^^BD=4cm,AO丄BO,.?.BC===5cm,???s菱形bJ：C=bc?ae,即2x6x8=5?AE,224解得AE=cm.24答:AE的長(zhǎng)是莘cm.點(diǎn)評(píng):本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟記菱形的對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)點(diǎn)評(píng):在于利用菱形的面積列出方程.17.(2014?湖南校級(jí)模擬)如圖，AE=AF，點(diǎn)B、D分別在AE、AF上，四邊形ABCD是菱形,連接EC、FC求證：EC=FC；若AE=2,ZA=60°，求△AEF的周長(zhǎng).考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：（1）連接AC,根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得ZCAE=ZCAF，然后利用“邊角邊”證明△ACE和厶ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EC=FC；（2）判斷出△AEF是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等解答.解答：（1）證明：如圖，連接AC,?.?四邊形ABCD是菱形，.\ZCAE=ZCAF，在厶ACE和厶ACF中，rAE=A?〈ZCAE=ZCAF，、AC=AC.?.△ACE竺△ACF（SAS），.?.EC=FC；（2）解：連接EF，VAE=AF，ZA=60°，.△AEF是等邊三角形，.△AEF的周長(zhǎng)=3AE=3x2=6.點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵.18.（2014?清河區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn).求證：四邊形ADEF是菱形._D考點(diǎn)：菱形的判定；三角形中位線定理.專題：證明題.分析：刀析：利用三角形中位線的性質(zhì)得出DEAC，EF;AB,進(jìn)而得出四邊形ADEF為平行四邊形?，再利用DE=EF即可得出答案.解答：證明：TD、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，.?.DEAC,EFAB,四邊形ADEF為平行四邊形.又TAC=AB,.?.DE=EF.四邊形ADEF為菱形.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形判定定理是解題關(guān)鍵.19.(2014春防城區(qū)期末)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，DE丄AB,DF丄BC,垂足分別是為E,F,并且DE=DF.求證：四邊形ABCD是菱形.考點(diǎn)：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).專題：證明題.分析：首先利用已知條件和平行四邊形的性質(zhì)判定△ADE^^CDF,再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可證明四邊形ABCD是菱形.解答：證明：在厶ADE和厶CDF中，?.?四邊形ABCD是平行四邊形，.\ZA=ZC,TDE丄AB,DF丄BC,AZAED=ZCFD=90°.又TDE=DF,.△ADE竺ACDF(AAS).?.DA=DC,平行四邊形ABCD是菱形.點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種圖形的判定和性質(zhì).20.（2014通州區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),G、H分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn).（1）求證：四邊形EGFH是菱形；（2）若AB=1，則當(dāng)ZABC+ZDCB=90°時(shí)，求四邊形EGFH的面積.考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；中點(diǎn)四邊形.分析：（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等，即可證得；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得ZGFH=90。，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長(zhǎng)，則正方形的面積可以求得.解答：（1）證明：：?四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn),VAB=CD，.?.FG=FH=HE=EG.四邊形EGFH是菱形.(2)解：：?四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點(diǎn),.?.GF〃DC,HF〃AB.AZGFB=ZDCB，ZHFC=ZABC.AZHFC+ZGFB=ZABC+ZDCB=90°.AZGFH=90°.菱形EGFH是正方形.?AB=1，點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位線定理是關(guān)鍵.21.（2014?順義區(qū)二模）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,過(guò)點(diǎn)C作CF〃BE交DE的延長(zhǎng)線于F.（1）求證：四邊形BCFE是菱形;考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì).分析：（1）由題意易得，EF與BC平行且相等，故四邊形BCFE是平行四邊形.又麟邊EF=BE,則四邊形BCFE是菱形；（2）連結(jié)BF，交CE于點(diǎn)O?利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定推知厶BCE是等邊三角形?通過(guò)解直角△BOC求得BO的長(zhǎng)度，則BF=2BO.利用菱形的面積?BF進(jìn)行解答.解答：（1）證明：TD、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，.?.DE〃BC,BC=2DE.?.?CF〃BE,四邊形BCFE是平行四邊形.TBE=2DE，BC=2DE，.?.BE=BC..?.□BCFE是菱形；(2)解：連結(jié)BF,交CE于點(diǎn)O.???四邊形BCFE是菱形，ZBCF=120°,.?.ZBCE=ZFCE=60。，BF丄CE,.?.△BCE是等邊三角形..?.BC=CE=4./?BF=2BO=2BC-sin60°=2X4X芳二4怎?仕形BCFE歩噸X4X4靈方.

A“A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的性質(zhì)和判定以及面積的計(jì)算，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用菱形知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題.(2014?祁陽(yáng)縣校級(jí)模擬)如圖，O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE〃AC,CE〃BD.求證：四邊形OCED是菱形.若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的周長(zhǎng).考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；菱形的判定.分析：(1)根據(jù)矩形性質(zhì)求出OC=OD，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)菱形判定推出即可；(2)根據(jù)勾股定理求出AC,求出OC,得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.解答：(1)證明：：?四邊形ABCD是矩形，.?.AC=2OC,BD=2OD,AC=BD,.?.OD=OC,DE〃AC,CE〃BD,四邊形OCED是菱形.(2)解：??四邊形ABCD是矩形，.?.ZABC=90。，AB=6,BC=8,.?.在RtAABC中，由勾股定理得：AC=10,即OC令A(yù)C=5,??四邊形OCED是菱形，.OC=OD=DE=CE=5,???四邊形OCED的周長(zhǎng)是5+5+5+5=20.點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.(2014?荔灣區(qū)校級(jí)一模)已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD=DE,連結(jié)BE交CD于點(diǎn)O,求證：△AOD^ABOC.

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC,根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AD〃BC,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得ZE=ZOBC，再求出BC=DE，然后利用“角角邊”證明△AOD和厶BOC全等即可.解答：證明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD〃BC,.\ZE=ZOBC,VAD=DE,.?.BC=DE,在厶AOD和厶BOC中，'ZE=Z0BC〈zeod=zboc,、BC=DE.△AOD竺ABOC(AAS).點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握矩形的對(duì)邊平行且相等找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.24.(2014?東海縣二模)已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上,且BF=DE,求證：四邊形AECF是菱形；若AB=2,BF=1,求四邊形AECF的面積.衛(wèi)D考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì).分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得正方形的四條邊相等，對(duì)角線平分對(duì)角，根據(jù)SAS,可得△ABF與厶CBF與厶CDE與厶ADE的關(guān)系，根據(jù)三角形全等，可得對(duì)應(yīng)邊相等，再根據(jù)四條邊相等的四邊形，可得證明結(jié)果；(2)根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線，可得直角三角形，根據(jù)勾股定理，可得AC、EF的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的面積公式，可得答案.解答：(1)證明：正方形ABCD中，對(duì)角線BD,.?.AB=BC=CD=DA,ZABF=ZCBF=ZCDE=ZADE=45°.VBF=DE,..△ABF^^CBF^ADCE^ADAE(SAS).AF=CF=CE=AE四邊形AECF是菱形；（2）解：在RtAABD中，由勾股定理，得AD=1BC=AD=2；2,_EF=BC-BF-DE=2l：2-1-1,四邊形AECF的面積=AD?EF一2=2；=4-21’2.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，（1）先證明四個(gè)三角形全等，再證明四邊相等的四邊形是菱形；（2）先求出菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)，再求出菱形的面積.25.（2014?玉溪模擬）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG.求證：BE=DG.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CD=CB，CG=CE,ZBCE=ZDCG=90。，再利用全等三角形的判定定理“SAS”，即可得出△BCE^^DCG，進(jìn)而得出BE=DG.解答：證明：：?四邊形ABCD和四邊形ECGF都是正方形，.?.在厶BCE和厶DCG中，rCD=BC“ZBCE=ZDCG，、CG=EC.△BCE竺ADCG（SAS），.?.BE=DG.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形性質(zhì)的考查經(jīng)常與三角形的全等相結(jié)合綜合考查，同學(xué)們分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)多從這個(gè)角度思考.26.（2014?工業(yè)園區(qū)一模）已知：如圖正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CF（1）求證：△BCE^^DCF；(2)若ZFDC=30。，求ZBEF的度數(shù).考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：(1)根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，BC=CD、ZBCE=ZDCF=90。，又CE=CF，根據(jù)邊角邊定理即可證明△BCE和厶DCF全等；(2)由(1)可知△BCE^^DCF得ZEBC=ZFDC=30°，可得ZBEC=60。，從而可求ZBEF的度數(shù).解答：證明：：?四邊形ABCD是正方形，.\BC=DC，ZBCD=90°F為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，.?.ZDCF=90。，.\ZBCD=ZDCF，在厶BCE和厶DCF中，rBC=DCZBCD=ZDCF，,,CE=CF.△BCE竺ADCF(SAS)；(2)V^BCE^ADCF，.\ZEBC=ZFDC=30°，.?.ZBEC=60。，ZDCF=90°，CE=CF，.?.ZFEC=45。,.?.ZBEF=ZBEC+ZFEC=60°+45°=105°.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的四條邊都相等和四個(gè)角都是直角的性質(zhì)以及三角形全等的判定和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，題目比較簡(jiǎn)單.27.(2014深圳模擬)四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF，連接AE、AF、EF.求證：△ADE^^ABF；若BC=8，DE=6，求△AEF的面積.

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB,ZD=ZABC=90。，然后利用“SAS”易證得△ADE竺AABF；（2）先利用勾股定理可計(jì)算出AE=10,再根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到AE=AF,ZEAF=90°,然后根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可.解答：（1）證明：：?四邊形ABCD是正方形，.\AD=AB,ZD=ZABC=90°,而F是CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，.\ZABF=90°,在厶ADE和厶ABF中，rAB=AD<ZABF^ZADE,,,BF=DE.?.△ADE竺△ABF（SAS）；(2)解:?BC=8,.?.AD=8,在RtAADE中，DE=6,AD=8,.