chIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實用

會計學(xué)1chIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實用2數(shù)字濾波器(DF,DiginalFilter)，是一種具有頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)，即選頻濾波器。它在確定信號與隨機信號的數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其系統(tǒng)函數(shù)H(z)并實現(xiàn)的過程。6.1

數(shù)字濾波器的基本概念第1頁/共69頁3數(shù)字濾波器和模擬濾波器一樣，從頻率響應(yīng)上可以分為低通，高通，帶通和帶阻四類。但要注意，DF的幅頻特性是序列的傅立葉變換，而序列的傅立葉變換具有以２為周期的周期性，DF的幅頻特性也具有這一特性。第2頁/共69頁4DF的理想幅頻特性低通頻帶位于2的整數(shù)倍附近高通頻帶位于的奇數(shù)倍附近第3頁/共69頁5理想濾波器是物理不可實現(xiàn)的。（由于從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）要物理可實現(xiàn)：應(yīng)從一個帶到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或0。應(yīng)給以較小容限。我們在進(jìn)行濾波器設(shè)計時，需要確定其性能指標(biāo)。1、數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)第4頁/共69頁6在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)鍵的問題是用一個可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近給定的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)，而濾波器的相位響應(yīng)可以通過級聯(lián)全通濾波器來校正。在設(shè)計數(shù)字濾波器前，通常要事先給定DF的頻域指標(biāo)，即頻域容差圖。一個實際DF的幅度特性在通帶內(nèi)允許有一定的波動（或起伏），阻帶內(nèi)衰減大于給定的衰減，且在通帶與阻帶間有一定寬度的過渡帶。

第5頁/共69頁7在通帶(0~p)范圍內(nèi)，起伏不超過（通帶容限）

在阻帶(s~)范圍內(nèi)，起伏不超過

（阻帶容限）

在過渡帶(p~s)范圍內(nèi)，一般要單調(diào)下降設(shè)計時要給出：通帶截止頻率p，阻帶截止頻率s，通帶允許的最大衰減P，阻帶允許的最小衰減s。理想低通濾波器通帶阻帶（1）低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)第6頁/共69頁8一般情況下都規(guī)定|H(ej0)|被歸一化為１。P，

s通常用dB來表示，其定義分別為：當(dāng)|H(ejw)|下降到時，P=3dB，w=

wc，故稱wc為3dB截止頻率。第7頁/共69頁9（2）高通濾波器的性能指標(biāo)wswp1w|H(ejw)|通帶截止頻率：wp，又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：阻帶截止頻率：ws，又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：0第8頁/共69頁10（3）帶通濾波器的性能指標(biāo)ws1wp11w|H(ejw)|通帶截止頻率：上限截止頻率wp2，下限截止頻率wp1。通帶衰減：阻帶截止頻率：上限截止頻率ws2，下限截止頻率ws1。阻帶衰減：wp2ws20第9頁/共69頁11（4）帶阻濾波器的性能指標(biāo)ws1wp11w|H(ejw)|通帶截止頻率：上限截止頻率wp2，下限截止頻率wp1。通帶衰減：阻帶截止頻率：上限截止頻率ws2，下限截止頻率ws1。阻帶衰減：wp2ws20第10頁/共69頁121)按任務(wù)要求確定頻域容差圖；2)理想濾波器是非因果的、不可實現(xiàn)的，因此，我們要用一因果（可實現(xiàn)的）穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近理想濾波器；確定階數(shù)N、M，所有的ak

、bk

確定N，h(n)=bnIIR:FIR:3）用有限精度算法實現(xiàn)該系統(tǒng)，包括網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、系數(shù)的量化、運算中間過程的存儲；4）指標(biāo)的驗證。2、數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟第11頁/共69頁13

脈沖響應(yīng)不變法

IIR:

AF的Ha(s)

DF的H(z)

雙線性變換法

窗函數(shù)法FIR:

頻率采樣法3、數(shù)字濾波器的設(shè)計方法

IIR濾波器的設(shè)計是將一個模擬的原型系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個數(shù)字的系統(tǒng)函數(shù)；FIR濾波器的設(shè)計則是基于對指定幅度響應(yīng)的直接逼近。第12頁/共69頁14FIR濾波器可以設(shè)計為線性相位，并且總是穩(wěn)定的。

在多數(shù)情況下，F(xiàn)IR濾波器的階數(shù)

NFIR

顯著大于具有等效幅度響應(yīng)的IIR濾波器階數(shù)NIIR

。NFIR/NIIR

通常為10的量級或更高。

IIR濾波器通常計算更簡便。

在很多應(yīng)用中，并不要求濾波器具有嚴(yán)格的線性相位，此時通常會因計算簡便而選擇IIR濾波器。4、濾波器類型的選擇第13頁/共69頁15借助模擬濾波器(AF)來設(shè)計數(shù)字濾波器(DF)。典型的

AF：巴特沃斯Butterworth、

切比雪夫ChebyshevAF的設(shè)計：給定AF的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)使其滿足技術(shù)指標(biāo)。

因為

P，

s和幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2

有關(guān)，因此根據(jù)幅度平方函數(shù)可以確定Ha(s)。6.2

模擬濾波器的設(shè)計第14頁/共69頁16根據(jù)FT的共軛對稱性：

|Ha(j)|2=Ha(j)Ha(-j)，令s=j：

|Ha(s)|2=Ha(s)Ha(-s)由此，給定|Ha(j)|2的形式，即可得到Ha(s)。求：

Ha(s)。[例]

已知第15頁/共69頁17零點：s=j5(二階）；極點：s=7;s=6，所以(2)求系統(tǒng)的增益k0：(1)令j=s即=s/j代入等式，得：解：第16頁/共69頁18一、

Butterworth濾波器的設(shè)計其中：

N為濾波器的階數(shù)；

c為3dB截止角頻率。歸一化頻率

1、Butterworth濾波器的特性：最大平坦幅度特性

Butterworth濾波器的幅度平方函數(shù)為：第17頁/共69頁19

給定Ha(j)，求Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s):P=0,1,2,…,2N-1

（1）令s=j，代入幅度平方函數(shù)，得：第18頁/共69頁202N個極點以2/2N=/N

等間隔均勻分布在半徑為c

的圓上，這一圓稱Butterworth圓。所有的極點以虛軸（即j軸）為對稱軸，成軸對稱分布，且沒有根落在j軸上（落在此軸上是臨界穩(wěn)定的）。當(dāng)N是奇數(shù)時，實軸上有2個極點；當(dāng)N是偶數(shù)時，實軸上無極點。（3）為了得到穩(wěn)定的Ha(s)，取全部左半平面的極點：第19頁/共69頁21

當(dāng)>c時，隨增加，幅度迅速下降，下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，

N愈大，幅度下降越快，過渡帶越窄。Butterworth低通濾波器的幅度特性第20頁/共69頁22由幅頻特性可以看出Butterworth濾波器的特性：(1)最大平坦性：可以證明Butterworth函數(shù)在=0點附近一帶范圍內(nèi)“最平直”，所以濾波器具有最大平坦幅度特性。也就是Butterworth濾波器是以原點的最大平坦性來逼近理想低通濾波器的。(2)通帶、阻帶下降的單調(diào)性：因而這種濾波器具有良好的相頻特性（相對于切比雪夫來講）。(3)3dB不變性：不管N是多少,所有特性都通過

3dB點。第21頁/共69頁232、Butterworth低通濾波器的設(shè)計方法1)首先確定技術(shù)指標(biāo)： 通帶截止頻率p

和通帶允許的最大衰減p

阻帶截止頻率s

和阻帶允許的最小衰減s2)確定階數(shù)N：第22頁/共69頁24第23頁/共69頁253)確定3dB截止頻率：(N取大于該值的最小整數(shù))或第24頁/共69頁264)求N個極點Sp

(左半平面）

：5)寫出:4）查表6.2.1（P157）得歸一化系統(tǒng)函數(shù)：5）寫出實際的系統(tǒng)函數(shù)：第25頁/共69頁273、舉例已知通帶截止頻率fp=5kHz,通帶最大衰減阻帶截止頻率fs=10kHz，阻帶最小衰減=30dB,試根據(jù)以上要求設(shè)計Butterworth低通濾波器。解：(1)求階數(shù)Ｎ第26頁/共69頁28(3)求極點(2)求

(4)寫出系統(tǒng)函數(shù)第27頁/共69頁293、舉例已知通帶截止頻率fp=5kHz,通帶最大衰減阻帶截止頻率fs=10kHz，阻帶最小衰減=30dB,試根據(jù)以上要求設(shè)計Butterworth低通濾波器。解二：用MATLAB函數(shù)實現(xiàn)。（1）buttord()（2）butter()P160第28頁/共69頁30二、chebyshev濾波器的設(shè)計

其中：表示通帶內(nèi)起伏大小的系數(shù)，越大，通帶內(nèi)波動越大。CN(x)是Ｎ階切比雪夫多項式。切比雪夫Ⅰ型濾波器：通帶等波紋，與理想低通逼近的一種方式切比雪夫Ⅱ

型濾波器：阻帶等波紋切比雪夫Ⅲ型濾波器：橢圓濾波器

幅度平方函數(shù)第29頁/共69頁31切比雪夫濾波器所需要的階數(shù)比巴特沃斯低，因而結(jié)構(gòu)上簡單；通帶有等波紋起伏，使得相位非線性失真比巴特沃斯大。第30頁/共69頁32chebyshevⅠ型低通濾波器的設(shè)計方法1)首先確定技術(shù)指標(biāo)： 通帶截止頻率p

和通帶允許的最大衰減p

阻帶截止頻率s

和阻帶允許的最小衰減s2)確定階數(shù)N和參數(shù)ε：第31頁/共69頁333)求歸一化極點pk和歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)：(k=1,2,…,N)4)求實際的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：第32頁/共69頁34三、模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計如果要設(shè)計模擬高通濾波器，可以通過頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系，將高通指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通指標(biāo)，先設(shè)計出一低通，再轉(zhuǎn)換成高通。第33頁/共69頁35例：設(shè)計巴特沃斯高通濾波器，要求fp=200Hz,fs=50Hz,

p=3dB,s=10dB。解：（1）確定高通濾波器技術(shù)指標(biāo)：歸一化頻率：p=3dB,s=10dB（2）確定相應(yīng)低通濾波器技術(shù)指標(biāo)：p=3dB,s=10dB第34頁/共69頁36解：（3）設(shè)計相應(yīng)的歸一化低通濾波器G(p)：（4）頻率轉(zhuǎn)換，得到高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)：對巴特沃斯濾波器關(guān)于３dB截止頻率歸一化的系統(tǒng)函數(shù)稱為歸一化低通原型，記為G(p)

。第35頁/共69頁37帶通濾波器：第36頁/共69頁38DF的間接設(shè)計法，步驟：(1)先設(shè)計一模擬濾波器Ha(s)（上述方法）（s平面）(2)再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 H(z)

(z平面)所以問題變成了:將s平面上的AFHa(s)

z平面的DFH(z)。6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器Ha(s)是按技術(shù)要求設(shè)計的，為了使得保證轉(zhuǎn)換后的H(z)仍滿足技術(shù)要求，Ha(s)H(z)的轉(zhuǎn)換應(yīng)滿足以下要求：第37頁/共69頁39AF是因果穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)換后的DF也應(yīng)該是。

AF因果穩(wěn)定，則Ha(s)的極點位于s平面的左半平面

DF因果穩(wěn)定，則H(z)的極點位于z平面的單位圓內(nèi)∴由Ha(s)到H(z)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該使s平面的左半平面影射到z平面的單位圓內(nèi)(2)s平面的虛軸（穩(wěn)定不穩(wěn)定的交界處)j映射到z平面的單位圓上。注意這種映射只適應(yīng)于低通濾波器的映射關(guān)系。第38頁/共69頁40已求得AF的傳輸函數(shù)Ha(s)，通過拉氏逆變換可求得它所對應(yīng)的單位沖激響應(yīng)ha(t)；對單位沖激響應(yīng)ha(t)等間隔采樣，設(shè)采樣間隔為T,得到ha(nT)=h(n)；將h(n)作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，對h(n)的取z變換，即為DF的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。由雷道（Rader)、戈爾登(Golden)提出脈沖響應(yīng)不變法的思路：第39頁/共69頁41設(shè)ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，它可表示為（1）取Ha(s)拉氏逆變換，得到ha(t)：1、變換方法第40頁/共69頁42（2）對ha(t)等間隔采樣，采樣間隔為T，得到h(n)：（3）求h(n)的z變換，得DF的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：對照Ha(s)和H(z):s平面的極點si，變成z平面的極點第41頁/共69頁43例：一個RC模擬低通濾波器UoUi則這一低通DF的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：Z-1y(n)x(n)1/RcRC第42頁/共69頁442、優(yōu)缺點在w=的奇數(shù)倍附近，脈沖響應(yīng)不變法的頻譜產(chǎn)生混疊，因此，在此處DF的頻率響應(yīng)會偏離AF的頻率響應(yīng)，混疊的結(jié)果使頻率特性在高頻端嚴(yán)重失真。模擬域：以為周期的延拓數(shù)字域：以為周期的延拓第43頁/共69頁45脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點：優(yōu)點：（1）從時域出發(fā)，使得數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好。

（2）AFDF的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系是w=T，是線性的，不會扭曲；缺點：高頻端會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，只適合低通、帶通濾波器的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。對于帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。第44頁/共69頁46

當(dāng)給定DF的技術(shù)指標(biāo)時，采樣周期T的取值對頻譜混疊程序的影響很小，因此為了計算方便，一般取T=1s。若要用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計高通和帶阻濾波器，則必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶。它會增加設(shè)計的復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)系時才使用。第45頁/共69頁473、設(shè)計舉例設(shè)計一低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時，容許幅度誤差在1dB內(nèi)，在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通，用脈沖響不變法求該DF的系統(tǒng)函數(shù)。解：1)確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)：2)將DF的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的指標(biāo)：第46頁/共69頁48解：3)設(shè)計AF：MATLAB中，用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器可用函數(shù)impinvar()

實現(xiàn)。4)利用脈沖響應(yīng)不變法得DF的H(z)：第47頁/共69頁49脈沖響應(yīng)不變法的缺點是會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，而雙線性變換法的優(yōu)點之一是不會產(chǎn)生頻率混疊。雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法。6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器1、變換方法由凱塞(Kaiser)和戈爾登(Golden)提出雙線性變換法：是從頻域出發(fā)，使DF的頻率響應(yīng)與AF的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。第48頁/共69頁50由上式得合稱為雙線性變換法則：已知Ha(s)，利用，可以直接求得H(z)。由s平面到z平面的變換關(guān)系是：第49頁/共69頁51[例]已知模擬濾波器Ha(s)=2/(s+1),試?yán)秒p線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成

DF的H(z)。解：第50頁/共69頁52雙線性變換主要用在：用反雙線性變換來將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波器的性能指標(biāo)用雙線性變換來從模擬系統(tǒng)函數(shù)得到所希望的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)參數(shù)T對H(z)的表達(dá)式?jīng)]有影響，可以選擇T=2來簡化設(shè)計的過程。第51頁/共69頁53Im(z)Re(z)-1100j采用這種轉(zhuǎn)換方法得到的

H(z)是否滿足技術(shù)要求？第52頁/共69頁54、模擬角頻率到數(shù)字頻率

w的映射關(guān)系

s=jz=ejw第53頁/共69頁55s平面上的與z平面上的w成非線性正切關(guān)系，是一對一的轉(zhuǎn)換。反雙線性變換則取T=2s：第54頁/共69頁56在w=0附近，接近線性關(guān)系；當(dāng)w增加時，增加的越來越快；當(dāng)w時，無窮。：0

w:0正是因為這種非線性頻率壓縮關(guān)系，消除了高頻端的頻率混疊現(xiàn)象。第55頁/共69頁573、優(yōu)缺點優(yōu)點：（1）雙線性變換沒有任何混疊，都是單值一一對應(yīng)關(guān)系。（2）可用于設(shè)計任意類型（低通，高通，帶通，帶阻）的DF。缺點：雙線性變換是非線性變換，因而給頻率特性帶來失真，這種失真還包括相位特性的失真，在要求線性相位的情況下，要考慮這種失真是否可以容忍，否則就不能應(yīng)用。第56頁/共69頁584、設(shè)計舉例wp=0.25，p=0.5dBws=0.55，s=15dB用雙線性變換法，設(shè)計該DF。已知低通DF的設(shè)計指標(biāo)為：解：（1）將DF的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成AF的指標(biāo)：

第57頁/共69頁59解：（2）設(shè)計AF：∴取N=3第58頁/共69頁60∴三階歸一化低通Butterworth系統(tǒng)函數(shù)：解：（2）設(shè)計AF：∴低通Butterworth實際系統(tǒng)函數(shù)：第59頁/共69頁61由雙線性變換法得：解：（3）設(shè)計DF：MATLAB中，用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器可用函數(shù)bilinear()

實現(xiàn)。第60頁/共69頁62一、變換原理低通數(shù)字濾波器的設(shè)計：脈沖響應(yīng)不變法，在濾波器的高頻端產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，因此只適應(yīng)于低通濾波器的設(shè)計；而雙線性變換法，可適用于任意種類的濾波特性，但存在非線性失真。如果希望設(shè)計一個數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器，有兩種實現(xiàn)方法。6.5

數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計第61頁/共69頁63第二條途徑先設(shè)計模擬低通模擬濾波器數(shù)字化所需數(shù)字濾波器在模擬域進(jìn)行，通過頻率轉(zhuǎn)換得到滿足指標(biāo)的