D104對(duì)面積曲面積分35725

會(huì)計(jì)學(xué)1D104對(duì)面積曲面積分357252023/1/17定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),叫做積分曲面.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共27頁2023/1/17則對(duì)面積的曲面積分存在.?對(duì)積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共27頁2023/1/17定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明:由定義知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共27頁2023/1/17而(光滑)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共27頁2023/1/17說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分.(見本節(jié)后面的例4,例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共27頁2023/1/17例1.

計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共27頁2023/1/17思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共27頁2023/1/17例2.

計(jì)算其中是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示在平面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共27頁2023/1/17例3.

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共27頁2023/1/17機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:

若例3中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?第10頁/共27頁2023/1/17例4.

求半徑為R

的均勻半球殼的重心.解:

設(shè)的方程為利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo)而用球坐標(biāo)思考題:

例3是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算

?例3目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共27頁2023/1/17例5.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共27頁2023/1/17例6.計(jì)算其中是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共27頁2023/1/17例7.計(jì)算其中是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共27頁2023/1/17例8.

求橢圓柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共27頁2023/1/17例9.

設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000km,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面的半頂角為

,利用球坐標(biāo)系,則衛(wèi)星覆蓋面積為第16頁/共27頁2023/1/17機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:

此題也可用二重積分求A

(見下冊(cè)P109例2).第17頁/共27頁2023/1/17內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共27頁2023/1/17思考與練習(xí)P158題1；3；4(1);7解答提示:P158題1.P158題3.

設(shè)則P184題2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共27頁2023/1/17P158題4(1).在

xoy

面上的投影域?yàn)檫@是的面積!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共27頁2023/1/17P159題7.

如圖所示,有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共27頁2023/1/17P184題2.

設(shè)一卦限中的部分,則有().(2000考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共27頁2023/1/17作業(yè)

P1584(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共27頁2023/1/17備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上部分的的面密度質(zhì)量M.解:

在xoy

面上的投影為

故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回